2020年河南省南阳一中、信阳、漯河、平顶山一中四校高考数学模拟试卷(理科)(3月份)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A ＝{a ﹣1，a +1}，B ＝{1，2}，C ＝{2，3}，若A ∩B ＝∅，且A ∩C ≠∅，则a ＝（ ） A ．1或3
B ．2或4
C ．0
D ．4
【解答】解：∵集合A ＝{a ﹣1，a +1}，B ＝{1，2}，C ＝{2，3}， A ∩B ＝∅，且A ∩C ≠∅， ∴3∈A ，
若a ﹣1＝3，则a ＝4，此时A ＝{3，5}，符合要求；
若a +1＝3，则a ＝2，此时A ＝{1，3}，A ∩B ＝{1}，不合题意， ∴a ＝4． 故选：D ．
2．（5分）设复数z ＝（a +i ）（1﹣i ）（a ∈R ），则复数z 在复平面内对应的点不可能在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【解答】解：∵复数z ＝（a +i ）（1﹣i ）（a ∈R ），设复数z 在复平面内对应点的坐标为（x ，y ），
则{x =a +1y =1−a ，消去参数a ，得点P 的轨迹方程为x +y ＝2， ∴点P 不可能在第三象限． 故选：C ．
3．（5分）已知（2x 2−1
x ）n （n ∈N *）的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中x 2的系数为（ ） A ．280
B ．﹣280
C ．35
D ．﹣35
【解答】解：由题意，2n ＝128，得n ＝7． ∴（2x 2−1x ）n ＝（2x 2−1
x ）7，
其二项展开式的通项T r +1=∁7r •（2x 2）7﹣
r •（﹣x ﹣
1）r ＝（﹣1）r •27﹣
r •∁7r •x
14
﹣3r
；
由14﹣3r ＝2得r ＝4，
∴展开式中含x 2项的系数是（﹣1）423•∁74=280． 故选：A ．
4．（5分）记[x ]表示不超过x 的最大整数，已知2a ＝3b ＝6c ，则[a+b
c
]=（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【解答】解：由已知可得：alg 2＝clg 6，blg 3＝clh 6，则：
a+b c
=
lg6lg2
+
lg6lg3=lg2+lg3lg2+
lg2+lg3lg3=2+lg3lg2+lg2lg3＞2+2√lg3lg2⋅lg2
lg3=4， 又
a+b c
=2+lg3lg2
+
lg2lg3
＜2+
lg4lg2
+
lg3lg3
=2+2+1=5，
∴[
a+b
c
]=4， 故选：C ．
5．（5分）函数f(x)=2x +
x
x+1
的图象大致为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：f(x)=2x +x
x+1=2x −1
x+1+1的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）． ∴f ′（x ）＝2x ln 2+
1(x+1)
2＞0
恒成立成立，
∴f （x ）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）单调递增，
当x ＞x 0时，f ′（x ）＞0，函数单调递增，故排除C ，D ， 当x →﹣∞时，2x →0，
x x+1
→1，
∴f （x ）→1，故排除B ， 故选：A ．
6．（5分）元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于“松竹并生”问题的一个程序框图，则计算机输出的结果是（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
【解答】解：模拟程序的运行，可得 第一次执行循环体，可得a ＝64+
64
2=96，b ＝2×27＝54，此时a ＞b ； 第二次执行循环体，可得a ＝96+96
2=144，b ＝2×54＝108，此时a ＞b ； 第三次执行循环体，可得a ＝144+144
2
=216，b ＝2×108＝216，此时a ＝b ， 终止循环，输出n 的值为3． 故选：D ．
7．（5分）在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的点，且BD →
=2DC →
，若BE →
=λAB →
+34
AD →
，则λ＝（ ） A ．−54
B ．−43
C ．−45
D ．−34
【解答】解：如图，
设AE →
=xAC →
，且BD →
=2DC →
，则： BE →
=AE →
−AB →
=xAC →
−AB →
=x(AD →
+DC →
)−AB →
=x(AD →+12BD →
)−AB →
=xAD →
+x 2
(AD →
−AB →
)−AB →
=−(x 2+1)AB →+3x 2AD →
，
∵BE →
=λAB →
+34
AD →
，
∴{λ=−(x
2+1)3x 2=34，解得λ=−54．
故选：A ．
8．（5分）设点A 、B 分别在双曲线C ：
x 2a −
y 2b =1(a ＞0，b ＞0）的两条渐近线l 1、l 2上，
且点A 在第一象限，点B 在第四象限，AB ⊥l 1，O 为坐标原点，若|OA |、|AB |、|OB |成等差数列，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2
B ．
√5
2
C ．√3
D ．
√62
【解答】解：因为|OA |、|AB |、|OB |成等差数列，所以|OA |+|OB |＝2|AB |，如图所示：
设l 1的倾斜角为α，因为OA ⊥AB ，则|OA |＝|OB |cos2α，|AB |＝|OB |sin2α， 于是cos2α+1＝2sin2α，
即2cos 2α＝4sin α•cos α得tan α=1
2，即b a
=1
2
，
所以离心率e =√c 2a 2=√1+b
2
a
2=√52，
故选：B ．
9．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，
其中图象最高点和最低点的横坐标分别为
π
12
和
7π12
，图象在y 轴上的截距为√3．关于函数
f （x ）有下列四个结论：①f （x ）的最小正周期为π；②f （x ）的最大值为2；①x =−π6
为f （x ）的一个零点；④f(x +π
6)为偶函数． 其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解答】解：根据函数的图象：T =2(7π
12−π
12)=π，所以ω＝2． 由于2×π
12+φ=π
2，解得φ=π
3．
由f （0）=√3，整理得Asin π
3=√3，解得A ＝2． 当x =−π
6时，f （−π
6）＝2sin （−π
3+π
3）＝0， 故x =−π6为f （x ）的一个零点． 由于f （x ）＝2sin （2x +π
3），
所以f （x +π
6
）＝2sin （2x +π3
+π3
）＝2sin （2x +2π
3
）不是偶函数． 故结论①②③正确． 故选：C ．
10．（5分）某单位有800名员工，工作之余，工会积极组织员工参与“日行万步”健身活动．经调查统计，得到全体员工近段时间日均健步走步数（单位：千步）的频率分布直方图如图所示．据直方图可以认为，该单位员工日均健步走步数近似服从正态分布，计算得其方差为6.25．由此估计，在这段时间内，该单位员工中日均健步走步数在2千步至4.5千步的人数约为（ ）
附：若随机变量Z 服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜Z ＜μ+σ）＝0.6826，P （μ﹣2σ＜Z ＜μ+2σ）＝0.9544，P （μ﹣3σ＜Z ＜μ+3σ）＝0.9974．
A．103B．105C．107D．109
【解答】解：由频率分布直方图估计其均值μ＝1×0.04+3×0.08+5×0.16+7×0.44+9×0.16+11×0.1+13×0.02＝6.96≈7．
设日均健步数为X，则X～N（7，6.25），
∵a＝2.5，则μ﹣σ＝4.5，μ﹣2σ＝2，
∴P（2≤X≤4.5）=1
2（0.9544﹣0.6826）＝0.1359，
∵800×0.1359≈109．
∴日均健步走步数在2千步至4.5千步的人数约为109人．
故选：D．
11．（5分）小王想在某市一住宅小区买套新房，据了解，该小区有若干栋互相平行的平顶楼房，每栋楼房有15层，每层楼高为3米，顶楼有1米高的隔热层，两楼之间相距60米．小王不想买最前面和最后面的楼房，但希望所买楼层全年每天正午都能晒到太阳，为此，小王查找了有关地理资料，获得如下一些信息：①该市的纬度（地面一点所在球半径与赤道平面所成的角）为北纬36°34'；②正午的太阳直射北回归线（太阳光线与赤道平面所成的角为23°26'）时，物体的影子最短，直射南回归线（太阳光线与赤道平面所成的角为23°26'）时，物体的影子最长，那么小王买房的最低楼层应为（）A．3B．4C．5D．6
【解答】解：依题意：α＝36°34′+23°26′＝60°，则太阳光与地面的夹角为θ＝90°﹣60°＝30°．
如图所示：
（1）
（2）
根据题意，得到每栋楼从地面到楼顶的高度为46米．在图（2）中，设AB＝46，BD＝60，∠AEB＝30°，
所以在Rt△ABE中，BE=
AB
tan30°
=46√3，
在Rt△CDE中，DE＝BE﹣BD＝46√3−60，
所以CD＝DE tan30°＝46﹣20√3≈11.36
所以中间的楼房距离地面约11.36米的部分，有些天正午不能晒到太阳．
所以，小王买房的最底层应为5层，
故选：C．
12．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，AD⊥CD，△ABC是边长为3的正三角形．将该四边形沿对角线AC折成一个大小为120°的二面角D﹣AC﹣B，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）
A．12πB．13πC．14πD．15π
【解答】解：设四面体ABCD的外接球的球心为O点．
取AC的中点E，连接BE，上点M为正△ABC的中心，则OM⊥平面ABC．
∵AD⊥DC，则点E为△ACD的外心．∴OE⊥平面ACD．
∵二面角D﹣AC﹣B的大小为120°，
∴∠OEB＝30°．
∵△ABC是边长为3的正三角形，则BE=3√3
2．∴ME=
√3
2．
在△OME中，OE=
ME
cos30°
=1．
在Rt△AEO中，OA=√(3
2
)2+12=√132．
∴四面体ABCD的外接球的表面积S＝4π×(√13
2
)2=13π．
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知数列{a n}满足a n+1﹣a n＝2（n∈N*），S n为数列{a n}的前n项和，若a10＝12，则S10＝30．
【解答】解：数列{a n}满足a n+1﹣a n＝2（n∈N*），可得数列{a n}为等差数列，公差为d＝2，
∵a10＝12，∴a1+18＝12，解得a1＝﹣6，
则S10＝﹣60+45×2＝30．
故答案为：30．
14．（5分）某中学高三年级共有36名教师，将每位教师按1～36编号，其年龄数据如表：编
号
123456789101112131415161718
年
龄
404840413340454243363138394345393836
编
号
192021222324252627282930313233343536
年
龄
274341373442374442343945384253374939
用系统抽样法从这36名教师中抽取一个容量为9的样本，已知在第一组用抽签法抽到的年龄数据为48，则抽取的9名教师年龄的中位数是40．
【解答】解：讲36人分成9组，每组4人，因为在第一组抽取的教师年龄为48，其编号为2，
在所有样本数据的编号为2，6，10，14，18，22，26，30，34，
对应的年龄分别为48，40，36，43，36，37，44，45，37，
讲这9个数从小到达排序可得36，36，37，37，40，43，44，45，48，故中位数为40，故答案为：40．
15．（5分）若过点A（a，0）的任意一条直线都不与曲线C：y＝xe x相切，则a的取值范围是（﹣4，0）．
【解答】解：设点B（x0，x0e x0）为曲线C上任意一点，
∵y′＝e x+xe x＝（x+1）e x，则曲线C在点B处的切线方程为y−x0e x0=(x0+1)e x0(x−x0)，
根据题意，切线l不经过点A，则关于x0的方程0−x0e x0=(x0+1)e x0(a−x0)，即x02−ax0−a=0无实根．
∴△＝a2+4a＜0，解得﹣4＜a＜0．
∴a的取值范围是（﹣4，0）．
故答案为：（﹣4，0）．
16．（5分）在△ABC中，已知顶点A（0，1），顶点B、C在x轴上移动，且|BC|＝2，设点M为△ABC的外接圆圆心，则点M到直线l：2x﹣2y﹣5＝0的距离的最小值为√2．【解答】解：如图，设点M（x，y），取BC的中点D，连结MD，则MD⊥BC，且|BD|＝1，|MD|＝|y|，
因为|MA|＝|MB|，则x2+（y﹣1）2＝y2+1，即x2＝2y，
则点M到直线l的距离d=|2x−2y−5|
2√2
=|2x−x
2−5|
2√2
=(x−1)
2+4
2√2
，
所以当x＝1时，d取最小值√2，故答案为：√2．
三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且有cos 2A +cos A cos （C ﹣B ）＝sin B sin C ． （Ⅰ）求角A ；
（Ⅱ）若△ABC 的内切圆面积为π，当AB →
•AC →
的值最小时，求△ABC 的面积． 【解答】解：（Ⅰ）因为在△ABC 中有cos 2A +cos A cos （C ﹣B ）＝sin B sin C ， 则cos A [cos A +cos （C ﹣B ）]＝sin B sin C ，
所以cos A [﹣cos （C +B ）+cos （C ﹣B ）]＝sin B sin C ， 即2cos A sin B sin C ＝sin B sin C ， 即cos A =12
， 又A ∈（0，π）， 故A =π
3；
（Ⅱ）由△ABC 的内切圆面积为π，
由余弦定理得a 2＝b 2+c 2﹣bc ， 由题意可知△ABC 的内切圆半径为1，
如图，设圆I 为三角形ABC 的内切圆，D ，E 为切点， 可得AI ＝2，AD ＝AE =√3， 则b +c ﹣a ＝2√3，
于是（b +c ﹣2√3）2＝b 2+c 2﹣bc ， 化简得4√3+√3bc ＝4（b +c ）≥8√bc ， 所以bc ≥12或bc ≤4
3
， 又b ＞√3，c ＞√3， 所以bc ≥12，
即AB →
•AC →
=1
2bc ∈[6，+∞），
当且仅当b ＝c 时，AB →
•AC →
的最小值为6， 此时三角形ABC 的面积：1
2bc sin A =
1
2×12×sin π3
=3√3． 18．（12分）如图，在矩形ABCD 中，点E 为边AD 上的点，点F 为边CD 的中点，AB ＝AE =2
3AD ，现将△ABE 沿BE 边折至△PBE 位置，且平面PBE ⊥平面BCDE ． （Ⅰ） 求证：平面PBE ⊥平面PEF ； （Ⅱ） 求二面角E ﹣PF ﹣C 的大小．
【解答】（I ）证明：在Rt &△DEF 中， ∵ED ＝DF ，∴∠DEF ＝45°，
在Rt △ABE 中，∵AE ＝AB ，∴∠AEB ＝45°， ∴∠BEF ＝90°，∴EF ⊥BE ，（3分）
∵平面PBE ⊥平面BCDE ，且平面PBE ∩平面BCDE ＝BE ， ∴EF ⊥平面PBE ， ∵EF ⊂平面PEF ，
∴平面PBE ⊥平面PEF ．（6分） （II ）解：由题意，不妨设AD ＝3，
以D 为原点，以DC 方向为x 轴，以ED 方向为y 轴，
以与平面EBCD 向上的法向量同方向为z 轴，建立坐标系．（7分）
∵在矩形ABCD 中，点E 为边AD 上的点，点F 为边CD 的中点，AB ＝AE =2
3AD ， ∴E(0，−1，0)，P(1，−2，√2)，F(1，0，0)，C(2，0，0)， ∴EP →
=(1，−1，√2)，CP →
=(−1，−2，√2)，FP →
=(0，−2，√2)．
设平面PEF 和平面PCF 的法向量分别为n 1→
=（x 1，y 1，z 1），n 2→
=（x 2，y 2，z 2）．
由n →1
⋅EP →
=
0及n →1
⋅FP →
=0，
得到{x 1−y 1+√2z 1=0
−2y 1+√2z 1=0
，∴n 1→=(1，−1，−√2)．
又由n 2→
•CP →
=0及n 2→
•FP →
=0，
得到{−x 2−2y 2+√2z 2=0
−2y 2+√2z 2=0，∴n 2→=(0，1，√2)，（9分）|cos ＜n 1，n 2＞|=
|0−1−2|
1+1+2⋅1+2
=√32，（11分）
综上所述，二面角E ﹣PF ﹣C 大小为150°．（12分）
19．（12分）如图，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b
2=1(a ＞b ＞0)与圆E ：x 2+y 2−y 2−3=0在第一
象限相交于点P ，椭圆C 的左、右焦点F 1，F 2都在圆E 上，且线段PF 1为圆E 的直径． （1）求椭圆C 的方程；
（2）设过点M(0，√3
5)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，证明：OA →
⋅OB
→
为定值，并求出这个定值．
【解答】解：（1）在圆E 中，令y ＝0可得x =±√3，所以由题意可得c =√3， 由圆的方程可得圆的半径为7
4，所以由题意可得PF 1|=7
2
，
连接PF 2，因为F 2在圆上，所以PF 2⊥F 1F 2， 又有|F 1F 2|＝2c ＝2√3，则|PF 2|=√|PF 1|2−|F 1F 2|2=√
494−12=12
， 由题意的定义可得：2a ＝|PF 1|+|PF 2|，可得a ＝2，b 2＝a 2﹣c 2＝1， 所以椭圆的方程为：
x 24
+y 2＝1；
（2）当直线的斜率存在时设l 的斜率为k ，则l 的方程为：y ＝kx +√3
5，代入椭圆的方程可得：
x 2+4（kx +√3
5）2＝4，即（1+4k 2）x 2+8√35kx −85
=0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−√35⋅
8k 1+4k
2，x 1x 2=−
8
5(1+4k 2
)
，
所以OA →
⋅OB →
=x 1x 2+y 1y 2＝x 1x 2+（kx 1+√35）（kx 2+√3
5）＝（1+k 2）x 1x 2+√3
5k （x 1+x 2）+3
5 =−8(1+k 2
)5(1+4k 2)−
24k 25(1+4k 2
)
+3
5
=−
8(1+4k 2)5(1+4k 2)
+3
5=−1；
当直线l 的斜率不存在时，直线与y 轴重合，此时点A （0，﹣1），B （0，1） ，OA →
⋅OB →
=−1，
综上所述：OA →
⋅OB →
=−1为定值．
20．（12分）已知函数f （x ）＝lnx +12ax 2−2x +3
2（a ≥0）． （1）讨论函数f （x ）的极值点的个数；
（2）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2，证明：f （x 1）+f （x 2）＜0． 【解答】（1）解：f′(x)=1
x +ax −2=
ax 2−2x+1
x
，x ∈（0，+∞）．
①当a ＝0时，f′(x)=
−2x+1
x
． 当x ∈(0，12
)时，f '（x ）＞0，所以f （x ）在(0，12
)上单调递增； 当x ∈(1
2，+∞)时，f '（x ）＜0，所以f （x ）在(1
2，+∞)上单调递减． 即函数f （x ）只有一个极大值点1
2，无极小值点．
②当0＜a ＜1时，△＝4﹣4a ＞0， 令f '（x ）＝0，得x =1±√1−a
a
． 当x ∈(0，
1−√1−a a )∪(1+√1−a
a
，+∞)时，f '（x ）＞0， 所以f （x ）在(0，1−√1−a a )，(1+√1−a
a
，+∞)上单调递增； 当x ∈(
1−√1−a a ，1+√1−a
a
)时，f '（x ）＜0， 所以f （x ）在(
1−√1−a a ，1+√1−a
a
)上单调递减． 即函数f （x ）有一个极大值点1−√1−a
a
，有一个极小值点
1+√1−a
a
．
③当a ≥1时，△＝4﹣4a ≤0，此时f '（x ）≥0恒成立， 即f （x ）在（0，+∞）上单调递增，无极值点．
综上所述，当a ＝0时，f （x ）有且仅有一个极大值点，即只有1个极值点； 当0＜a ＜1时，f （x ）有一个极大值点和一个极小值点，即有2个极值点； 当a ≥1时，f （x ）没有极值点．
（2）证明：由（1）可知，当且仅当0＜a ＜1时，f （x ）有两个极值点x 1，x 2，且x 1，x 2为方程ax 2﹣2x +1＝0的两根， 即x 1+x 2=2
a ，x 1x 2=1a
，
所以f(x 1)+f(x 2)=lnx 1x 2+a 2(x 12+x 22
)−2(x 1+x 2)+3=ln 1a
+a 2(
4a 2−2a )−4
a
+3=−lna −2
a +2．
令g(a)=−lna −2
a +2，a ∈（0，1）， 则g′(a)=−1
a +
22=2−a
2＞0恒成立， 所以g （a ）在（0，1）上单调递增， 所以g （a ）＜g （1）＝﹣ln 1﹣2+2＝0，
即f （x 1）+f （x 2）＜0．
21．（12分）湖南省会城市长沙又称星城，是楚文明和湖湘文化的发源地，是国家首批历史文化名城．城内既有岳麓山、橘子洲等人文景观，又有岳麓书院、马王堆汉墓等名胜古迹，每年都有大量游客来长沙参观旅游．为合理配置旅游资源，管理部门对首次来岳麓山景区游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中1
3
的人计划只游览岳麓山，另外2
3
的人
计划既游览岳麓山又参观马王堆．每位游客若只游览岳麓山，则记1分；若既游览岳麓山又参观马王堆，则记2分．假设每位首次来岳麓山景区游览的游客计划是否参观马王堆相互独立，视频率为概率．
（1）从游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X ，求X 的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取n 人（n ∈N *），记这n 人的合计得分恰为n +1分的概率为P n ，求P 1+P 2+…+P n ；
（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n 分的概率为a n ，随着抽取人数的无限增加，a n 是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，说明理由． 【解答】解：（1）据题意，每位游客计划不参观马王堆的概率为1
3
，参加马王堆的概率为
23
，
则X 的可能取值为3，4，5，6， P （X ＝3）=(1
3
)3=
127， P （X ＝4）=C 31
⋅23⋅(1
3)2=2
9， P （X ＝5）=C 32⋅(23)2⋅13=4
9，
P （X ＝6）＝（2
3
）3=
8
27
， ∴X 的分布列为：
X 3 4
5 6 P
127
2
9
4
9
8
27
∴EX =3×1
27+4×2
9+5×4
9+6×8
27=5．
（2）∵这n 人的合计得分为n +1分，则其中只有1人计划参观马王堆，
∴P n =C n 1
⋅23⋅(1
3)n−1=
2n
3
n ，
设S n ＝P 1+P 2+…+P n =2
3+432+63
3+⋯+2n 3n ， 则1
3S n =
23+
43+
63+⋯+2(n−1)3+
2n 3，
∴两式相减，得：
23
S n =
23
+
232
+
233
+⋯+
23n
−
2n
3n+1=2×13(1−13n )1−13
−2n 3n+1=1−
2n+3
3
n+1， ∴P 1+P 2+…+P n ＝S n =3
2
（1−
2n+3
3
n+1）． （3）在随机抽取的若干人的合计得分为n ﹣1分的基础上再抽取1人， 则这些人的合计得分可能为n 分或n +1分，
记“合计得n 分“为事件A ，“合计得n +1分”为事件B ，A 与B 是对立事件， ∵P （A ）＝a n ，P （B ）=2
3
a n−1，∴a n +23
a n−1=1，（n ≥2）， 即a n −
35=−23(a n−1−3
5)，（n ≥2）， ∵a 1=13
，则数列{a n −35
}是首项为−415，公比为−2
3
的等比数列， ∴a n −35=−415（−2
3）n ﹣
1，
∴a n =
35−415（−23）n ﹣1=35+25⋅(−2
3)n ， ∵0＜|−23
|＜1，则当n →∞时，（−23
）n →0，∴a n →35
， ∴随着抽取人数的无限增加，a n 趋近于常数3
5．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在极坐标系中，已知点P 的极坐标为(2，π
2)，曲线C 的极坐标方程为ρ=
2
√5cos θ−1
．以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．
（1）求点P 的直角坐标和曲线C 的直角坐标方程；
（2）过点P 作斜率为√3的直线l ，交曲线C 于A ，B 两点，求|P A |•|PB |的值． 【解答】解：（1）已知点P 的极坐标为(2，π
2)，转换为直角坐标为（0，2）． 曲线C 的极坐标方程为ρ=
√5cos θ−1
．转换为直角坐标方程为x 2−y 2
4=1，
（2）过点P 作斜率为√3的直线l ，则直线的参数方程为{
x =1
2
t
y =2+√3
2t （t 为参数）．
把直线的参数方程代入x 2−y 24=1，得到4×(1
2t)2−(2+√32
t)2=4， 即1
4t 2−2√3t −8=0，
所以t 1t 2＝﹣32， 则：|P A |•|PB |＝|t 1t 2|＝32． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数f （x ）＝|x |﹣2．
（1）求不等式f （x ﹣1）+f （x +2）≤1的解集； （2）若|a |＜2，|b |＜2，证明：f （ab ）+2＞2f （a +b ）．
【解答】解：（1）由f （x ﹣1）+f （x +2）≤1，得|x ﹣1|+|x +2|≤5．
又|x ﹣1|+|x +2|={2x +1，x ≥1
3，−2≤x ＜1
−2x −1，x ＜−2
，
∴{2x +1≤5
x ≥1或﹣2≤x ＜1或{−2x −1≤5x ＜−2，∴﹣3≤x ≤2，
∴不等式的解集为[﹣3，2]．
（2）要证f （ab ）+2＞2f （a +b ），只需证|ab |＞2（|a +b |﹣2），即证|ab |+4＞2|a +b |． ∵|a |＜2，|b |＜2，∴（|a |﹣2）（|b |﹣2）＞0， ∴|ab |﹣2（|a |+|b |）+4＞0，即|ab |+4＞2（|a |+|b |）． ∵|a |+|b |⩾|a +b |，∴|ab |+4＞2|a +b |， ∴f （ab ）+2＞2f （a +b ）成立．。