2021年高考数学解答题专项练习《解三角形》(含答案)

2021年高考数学解答题专项练习《解三
角形》(含答案)
1.
已知△ABC中，b=3,c=4,C=2B，求cosB的值。

2.
已知△ABC中，b=2，求角B的值；若△ABC的面积为S，求S。

3.
已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+csinA=b+c，求A；若a=2，b+c=3，求b，c。

4.
已知△ABC中，B=150°，a=c=2，求△ABC的面积；若sinA+sinC=1，求C。

5.
已知△ABC中，b=3，c=4，求角A；若a=5，求△ABC
的面积。

6.
已知△ABC中，ab+a^2=c^2，证明：△ABC是直角三角形；若△ABC的面积为S，求角C的大小。

7.
已知锐角△ABC中，b=2，c=3，求角C的大小；若a=4，求△ABC的面积。

8.
已知△ABC中，b+c=5，且△ABC的面积为S，求角A
的大小；若a=3，求S；若a=4，求角B的大小。

9.
已知△ABC中，sinA=3/5，求∠B的大小；若a=4，求
b+c的范围；若S=6，求a的值。

10.
已知△ABC中，cosB=1/2，求角B的大小；求
cosA+cosB+cosC的取值范围。

11.
已知△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC，求A；若BC=3，求△XXX周长的最大值。

12.
已知△ABC中，c=2，ccosAcosB=asinCcosB－ccosC，求角B的大小；若S=16，求△ABC的周长的取值范围。

13.
已知△ABC中，a=3，b=4，满足cosAcosB=1/4，求角A 的值；若S=5，求c的值。

14.
已知△ABC中，a=8，ccosAcosB=2asinCcosB－ccosC，求tanB的值；若S=16，求b的值。

已知三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且3(acos C-b)=asin C，求角A。

解：（1）根据正弦定理和已知条件，可得
sin A = sin (π - B - C) = sin (B + C) = sin B cos C + cos B sin C = sin B cos C + √(1 - sin^2 B) sin C
将sin B = a/2c代入上式，得
sin A = a/2c cos C + √(1 - a^2/4c^2) sin C
又因为3(acos C - b) = asin C，可得
3a/2c cos C - 3b = √(1 - a^2/4c^2) a
将a/b = cosp，代入上式，得
3p cos C - 3 = √(1 - p^2) 2sin C
将sin C = √(1 - cos^2 C)代入上式，整理可得
9p^2 - 4) cos^2 C - 18p cos C + 9 = 0
解得cos C = 3/2p或cos C = 1/3.因为b ≥ a，所以p ≤ 1/2，故cos C = 3/2p。

代入上式可得
cos A = 4p^2 - 3
由于A ∈ (0.π)，所以角A的取值范围为(π/2.π)。

2) 若点D为BC的中点，且AD的长为3，求△ABC面积的最大值。

解：设角BAC为α，则角BAD和CAD均为(π - α)/2.根据余弦定理，可得
BD^2 = \frac{a^2}{4} + 9 - 3a cos \frac{\pi - \alpha}{2} = \frac{a^2}{4} + 9 + \frac{3}{2}a \sin \alpha
CD^2 = \frac{a^2}{4} + 9 - 3a cos \frac{\pi - \alpha}{2} = \frac{a^2}{4} + 9 - \frac{3}{2}a \sin \alpha
又因为S = 1/2 BD × CD × sin α，代入上式可得
S = \frac{a^2}{16} (9 - \frac{9}{4} \sin^2 \alpha)
对XXX求导，得
S' = \frac{9a^2}{16} \sin \alpha \cos \alpha
令S' = 0，可得α = π/4.又因为S'' = 9a^2/16.0，故α = π/4时S取最大值。

代入上式可得
S_max = \frac{9a^2}{32}
解：（1）根据正弦定理可得：$\frac{a}{\sin
A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，其中$R$为三角形外接圆半径。

代入已知条件可得：$\frac{a}{\sin
2\alpha}=\frac{b}{\sin \alpha}=\frac{c}{\sin 3\alpha}=2R$。

解得：$\sin \alpha=\frac{b}{2R}$，$\sin 2\alpha=\frac{a}{2R}$，$\sin 3\alpha=\frac{c}{2R}$。

代入余弦定理可得：
$a^2=b^2+c^2-2bc\cos 2\alpha$，即$a^2=b^2+c^2-2bc\cos^2 \alpha+2bc\sin^2 \alpha$。

又因为$\sin^2 \alpha+\cos^2
\alpha=1$，所以$\cos^2 \alpha=1-\sin^2 \alpha=1-
\frac{b^2}{4R^2}$。

代入原式得：$a^2=b^2+c^2-2bc+2bc\cdot \frac{b^2}{4R^2}$，化简可得：
$a^2=\frac{3b^2+4bc+c^2}{4}$。

所以三角形的面积
$S=\frac{1}{2}bc\sin 2\alpha=\frac{bc\cdot 2\sin \alpha \cos
\alpha}{2}=\frac{bc\cos \alpha}{2R}=\frac{abc}{4R}$。

代入已知条件可得：$S=\frac{a^2\sin 3\alpha}{12}$。

2）由余弦定理可得：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，即$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$。

代入已知条件可得：$\cos
\alpha=\frac{b}{2R}$，$\cos 3\alpha=\frac{a}{2R}$。

所以$\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\cos A=\cos (2\alpha+\alpha)=\cos
2\alpha \cos \alpha-\sin 2\alpha \sin \alpha=2\cos^2 \alpha \cos
\alpha-\cos \alpha \sin^2 \alpha$。

代入$\cos
\alpha=\frac{b}{2R}$，化简可得：$b^2+c^2-
a^2=\frac{b^3}{2R}+\frac{b^2c}{2R}$。

同理可得：$a^2+c^2-b^2=\frac{c^3}{2R}+\frac{bc^2}{2R}$，$a^2+b^2-
c^2=\frac{a^3}{2R}+\frac{ab^2}{2R}$。

将三式相加可得：$2(a^2+b^2+c^2)=\frac{a^3+b^3+c^3}{R}+3abc$。

代入已知条件可得：$a^3+b^3+c^3=27abc$。

所以三角形的周长
$2(a+b+c)=\frac{a^3+b^3+c^3}{S}+9R=\frac{27abc}{S}+9R$。

解：（1）由正弦定理可得：$\frac{a}{\sin
A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，其中$R$为三角形外接圆半径。

代入已知条件可得：$\frac{a}{\sin
A}=\frac{2a}{\sin 2\alpha}=\frac{b}{\sin \alpha}=\frac{c}{\sin 3\alpha}=2R$。

解得：$\sin \alpha=\frac{b}{2R}$，$\sin
2\alpha=\frac{a}{2R}$，$\sin 3\alpha=\frac{c}{2R}$。

代入余弦定理可得：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos 2\alpha$，即$a^2=b^2+c^2-2bc\cos^2 \alpha+2bc\sin^2 \alpha$。

又因为$\sin^2
\alpha+\cos^2 \alpha=1$，所以$\cos^2 \alpha=1-\sin^2 \alpha=1-\frac{b^2}{4R^2}$。

代入原式得：$a^2=b^2+c^2-2bc+2bc\cdot \frac{b^2}{4R^2}$，化简可得：
$a^2=\frac{3b^2+4bc+c^2}{4}$。

所以三角形的周长为
$a+b+c=\frac{3b+4c}{2}$。

2）因为$AD$是$BC$边上的中线，所以
$AD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(b+c)$。

代入已知条件可得：$3a^2=b^2+c^2+2bc$。

所以
$\frac{a^2}{bc}=\frac{b^2+c^2+2bc}{3bc}-
2=\frac{(b+c)^2}{3bc}-2=\frac{4}{3}(\frac{AD}{bc})^2-2$。

又
因为$\frac{AD}{bc}=\frac{1}{2}$，所以
$\frac{a^2}{bc}=\frac{2}{3}$。

代入海伦公式可得：
$S=\sqrt{\frac{a^2bc}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{a^2}{bc}\cdot abc}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{4}{3}\cdot
abc}=\frac{\sqrt{3}}{4}bc$。

所以三角形的周长为
$a+b+c=2(b+c)=2\sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}}=4\sqrt{\frac{S}{\sqr t{3}}}$。

解：由正弦定理可得：$a=2R\sin A$，$b=2R\sin B$，$c=2R\sin C$。

代入已知条件可得：$\sin A+\sin B+\sin
C=\frac{3}{2}$。

由Jensen不等式可得：$\sin A+\sin B+\sin
C\leq 3\sin(\frac{A+B+C}{3})=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，等号成立当且仅当$A=B=C=\frac{\pi}{3}$。

所以三角形的周长
$a+b+c=2R(\sin A+\sin B+\sin C)=3\sqrt{3}R$。