专题训练(二)确定二次函数的表达式五种方法

专题训练（二）确定二次函数的表达式五种方法 ►　方法一　利用一般式求二次函数表达式
1．已知抛物线过点A(2，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C，且OC＝2.则这条抛物线的表达式为( )
A．y＝x2－x－2
B．y＝－x2＋x＋2
C．y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2
D．y＝－x2－x－2或y＝x2＋x＋2
2．若二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(－4，0)，(2，6)，则这个二次函数的表达式为
______________．
3．一个二次函数，当自变量x＝－1时，函数值y＝2；当x＝0时，y＝－1；当x＝1时，
y＝－2.那么这个二次函数的表达式为____________．
4．如图2－ZT－1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2，－4)，
O(0，0)，B(2，0)三点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若M是该抛物线的对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．
图2－ZT－1
►　方法二　利用顶点式求二次函数表达式
5．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y ＝－2x 2相同，则这个二次函数的表达式是( )
A ．y ＝－2x 2－x ＋3
B ．y ＝－2x 2＋4
C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8
D ．y ＝－2x 2＋4x ＋6
6．已知y 是x 的二次函数，根据表中的自变量x 与函数y 的部分对应值，可判断此函数的表达式为( )
x …－1012…y
…
－1
54
2
54
…
A .y ＝x 2
B ．y ＝－x 2
C ．y ＝(x －1)2＋2
3
4D ．y ＝－(x －1)2＋2
3
47．[2018·巴中改编]一位篮球运动员在距离篮框中心水平距离4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮框内．已知篮框中心距离地面高度为3.05m ．在如图2－ZT －2所示的平面直角坐标系中，此抛物线的表达式是________．
8．已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标是(1，4)，它与直线y 2＝x ＋1的一个交点的横坐标为2.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在如图2－ZT －3所示的平面直角坐标系中画出抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c 及直线
y 2＝x ＋1，并根据图象，直接写出使得y 1≥y 2成立的x 的取值范围．
图2－ZT －3
►　方法三　利用交点式求二次函数表达式
9．若抛物线的最高点的纵坐标是，且过点(－1，0)，(4，0)，则该抛物线的表达式为( )25
4A ．y ＝－x 2＋3x ＋4 B ．y ＝－x 2－3x ＋4C ．y ＝x 2－3x －4
D ．y ＝x 2－3x ＋4
10．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点坐标为(－1，0)，(3，0)，其形状及开口方向与抛物线y ＝－2x 2相同，则抛物线的函数表达式为( )
A ．y ＝－2x 2－x ＋3
B ．y ＝－2x 2＋4x ＋5
C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8
D ．y ＝－2x 2＋4x ＋6
►　方法四　利用平移求二次函数表达式
11．[2018·广西]将抛物线y ＝x 2－6x ＋21向左平移2个单位后，得到新抛物线的表达式1
2为( )
A ．y ＝(x －8)2＋5
B ．y ＝(x －4)2＋5
1
21
2C ．y ＝(x －8)2＋3
D ．y ＝(x －4)2＋3
121212．如果将抛物线y ＝2x 2＋bx ＋c 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到了抛
物线y＝2x2－4x＋3.
(1)试确定b，c的值；
(2)求出抛物线y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标和对称轴．
►　方法五　利用对称轴求二次函数表达式
13．如图2－ZT－4，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点坐标为(3，0)，那么它对应的函数表达式是______________．
图2－ZT－4
14．如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图2－ZT－5，二次函数y1＝x2＋2x＋2与y2＝x2－2x＋2是“关于y轴对称二次函数”．
(1)直接写出两条“关于y轴对称二次函数”图象所具有的特点．
(2)二次函数y＝2(x＋2)2＋1的“关于y轴对称二次函数”的表达式为__________；二次函数y＝a(x－h)2＋k的“关于y轴对称二次函数”的表达式为____________；
(3)平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的
两个顶点分别为B，C，且BC＝6，顺次连接点A，B，O，C，得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的表达式．
图2－ZT－5
教师详解详析
1．[解析]C 由题意可知点C 的坐标是(0，2)或(0，－2)．设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c .由抛物线经过点(2，0)，(－1，0)，(0，2)，得解得
{4a ＋2b ＋c ＝0，a －b ＋c ＝0，c ＝2，)
则抛物线的表达式是y ＝－x 2＋x ＋2.同理，由抛物线经过点(2，0)，(－1，0)，(0，－2)求
{
a ＝－1，
b ＝1，
c ＝2，)
得该抛物线的表达式为y ＝x 2－x －2.故这条抛物线的表达式为y ＝－x 2＋x ＋2或y ＝x 2－x －2.
2．[答案]y ＝x 2＋3x －4
[解析]将点(－4，0)，(2，6)代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得解得{16－4b ＋c ＝0，4＋2b ＋c ＝6，){b ＝3，
c ＝－4，
)
∴这个二次函数的表达式为y ＝x 2＋3x －4.3．y ＝x 2－2x －1
4．解：(1)把A (－2，－4)，O (0，0)，B (2，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得
{4a －2b ＋c ＝－4，4a ＋2b ＋c ＝0，
c ＝0，)
解这个方程组，得{a ＝－1
2，
b ＝1，
c ＝0，
)
所以抛物线的表达式为y ＝－x 2＋x .
1
2(2)由y ＝－x 2＋x ＝－(x －1)2＋，可得抛物线的对称轴为直线x ＝1，并且对称轴垂直1
21
21
2平分线段OB ，∴OM ＝BM ，∴AM ＋OM ＝AM ＋BM .
连接AB 交直线x ＝1于点M ，则此时AM ＋OM 的值最小．过点A 作AN ⊥x 轴于点N ，在Rt △ABN 中，AB ＝＝＝4，因此AM ＋OM 的最小值为4.
AN 2＋BN 242＋42225．D
6．[解析]D ∵函数图象过点(0，)和(2，)，∴函数图象的对称轴为直线x ＝1，故该函数5
45
4图象的顶点坐标为(1，2)．设函数表达式为y ＝a (x －1)2＋2.把(－1，－1)代入，得
4a ＋2＝－1，解得a ＝－，∴此函数表达式为y ＝－(x －1)2＋2.
3
43
4
7．[答案]y ＝－x 2＋3.5
1
5[解析]∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，∴可设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋3.5.∵篮框中心(1.5，3.05)在抛物线上，将它的坐标代入表达式，得3.05＝a ×1.52＋3.5，
∴a ＝－，∴y ＝－x 2＋3.5.
1
51
58．解：(1)∵抛物线与直线y 2＝x ＋1的一个交点的横坐标为2，∴交点的纵坐标为2＋1＝3，即此交点的坐标为(2，3)．
设抛物线的表达式为y 1＝a (x －1)2＋4.
把(2，3)代入，得3＝a (2－1)2＋4，解得a ＝－1，∴抛物线的表达式为y 1＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3.
(2)令y 1＝0，即－x 2＋2x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝－1，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(3，0)和(－1，0)．在平面直角坐标系中画出抛物线与直线，如图所示：
根据图象可知，使得y 1≥y 2成立的x 的取值范围为－1≤x ≤2.
9．[解析]A 由抛物线的轴对称性可知该抛物线的对称轴为直线x ＝×(－1＋4)＝，故
1
23
2该抛物线的顶点坐标为(，)．设该抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)(x －4)．将(，)代入，得
3225432254＝a (＋1)(－4)，解得a ＝－1，故该抛物线的表达式为y ＝－(x ＋1)(x －4)＝－x 2＋3x ＋4.注2543232意：本题也可运用顶点式求抛物线的表达式．
10．[解析]D 设抛物线的函数表达式为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)．因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点坐标为(－1，0)，(3，0)，所以y ＝a (x －3)(x ＋1)．又因为其形状及开口方向与抛物线y ＝－2x 2相同，所以y ＝－2(x －3)(x ＋1)，即y ＝－2x 2＋4x ＋6.
11．[解析]D y ＝x 2－6x ＋21
1
2＝(x 2－12x )＋21
12
＝[(x －6)2－36]＋211
2＝(x －6)2＋3，
12故y ＝(x －6)2＋3向左平移2个单位后，
1
2得到新抛物线的表达式为y ＝(x －4)2＋3.
1212．解：(1)∵y ＝2x 2－4x ＋3＝2(x 2－2x ＋1－1)＋3＝2(x －1)2＋1，
∴将其向上平移2个单位，再向右平移3个单位可得原抛物线，即y ＝2(x －4)2＋3，∴y ＝2x 2－16x ＋35，∴b ＝－16，c ＝35.(2)由y ＝2(x －4)2＋3得顶点坐标为(4，3)，对称轴为直线x ＝4.13．[答案]y ＝－x 2＋2x ＋3
[解析]∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，∴＝1，解得b ＝2，b
2又∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为(3，0)，∴0＝－9＋6＋c ，解得c ＝3，故函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.
14．解：(1)(答案不唯一)顶点关于y 轴对称，对称轴关于y 轴对称．(2)y ＝2(x －2)2＋1　y ＝a (x ＋h )2＋k (3)若点A 在y 轴的正半轴上，如图所示：
顺次连接点A ，B ，O ，C ，得到一个面积为24的菱形，由BC ＝6，得OA ＝8，则点A 的坐标为(0，8)，点B 的坐标为(－3，4)．设一个抛物线的表达式为y ＝a (x ＋3)2＋4.
将点A 的坐标代入，得9a ＋4＝8，解得a ＝.
4
9二次函数y ＝(x ＋3)2＋4的“关于y 轴对称二次函数”的表达式为y ＝(x －3)2＋4.4
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9根据对称性，开口向下的抛物线也符合题意，则“关于y 轴对称二次函数”的表达式还
可以为y ＝－(x ＋3)2－4，y ＝－(x －3)2－4.
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9综上所述，“关于y 轴对称二次函数”的表达式为y ＝(x ＋3)2＋4，y ＝(x －3)2＋4或
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9y ＝－(x ＋3)2－4，y ＝－(x －3)2－4.
4949。