20-21版：7.3.2 正弦型函数的性质与图像(二)（步步高）

7．3.2 正弦型函数的性质与图像(二)

学习目标 1.能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像求其解析式.2.会求正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期、单调性、最值、对称性.3.能利用y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质与图像解决有关综合问题．

知识点 正弦型函数

一般地，形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，称为正弦型函数，其中A ，ω，φ都为常数，且A ≠0，ω≠0.

正弦型函数的性质

函数 性质 y ＝A sin x

y ＝sin(x ＋φ)

y ＝sin ωx

y ＝A sin(ωx ＋φ)

定义域 R R R R 值域 [－|A |，|A |]

[－1,1] [－1,1] [－|A |，|A |]

周期

2π

2π

2π

|ω|

2π|ω|

一、正弦型函数的性质

例1 (1)关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π

3(x ∈R )，有下列说法： ①y ＝f ⎝⎛⎭

⎫x ＋4

3π为偶函数； ②要得到函数g (x )＝－4sin 2x 的图像，只需将f (x )的图像向右平移π

3个单位；

③y ＝f (x )的图像关于直线x ＝－π

12

对称；

④y ＝f (x )在[0,2π]内的增区间为⎣⎡⎦⎤0，512π和⎣⎡⎦⎤11

12π，2π. 其中正确说法的序号为________． 答案 ②③

解析 ①f ⎝⎛⎭⎫x ＋43π＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋83π－π

3 ＝4sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋7

3π，

所以y ＝f ⎝⎛⎭

⎫x ＋4

3π不是偶函数，所以①错误； ②把函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像向右平移π

3个单位，得到函数f 1(x )＝4sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3－π3 ＝4sin(2x －π)＝－4sin 2x ＝g (x )的图像，所以②正确； ③当x ＝－π

12

时，f (x )取得最小值，所以③正确；

④由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5

12π，k ∈Z ，代入k ＝0,1，可知④

错误．

(2)函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)，周期为2π

3. ①求ω；

②求f (x )的单调递增区间；

③若x ∈⎝⎛⎭⎫－π6，π

6，求f (x )的取值范围． 解 ①T ＝2πω＝2π

3，∴ω＝3.

②∵ω＝3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4， 令－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π

2＋2k π，k ∈Z ，

解得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π

3

，k ∈Z .

∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π

3，k ∈Z . ③∵x ∈⎝⎛⎭⎫－π6，π

6， ∴3x ＋π

4∈⎝⎛⎭⎫－π4，3π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4∈⎝⎛⎦⎤ －2

2，1， ∴f (x )∈(－2，2]．

故当x ∈⎝⎛⎭⎫－π6，π

6时，f (x )的取值范围是(－2，2]． 反思感悟 形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数的性质的解题策略： 1．求最小正周期的方法： (1)用公式T ＝

2π

|ω|

. (2)形如y ＝|A sin ωx |的函数的周期常结合图像来求解． 2．求单调区间的方法：

采用“换元法”整体代换，将“ωx ＋φ”看作一个整体“z ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间而求出原函数的单调区间．当A >0时y ＝A sin z 与y ＝sin x 的单调性相同，当A <0时，y ＝A sin z 与y ＝sin x 的单调性相反．

3．求最值(值域)的方法：

形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的三角函数，令t ＝ωx ＋φ，根据题中x 的取值范围，求出t 的取值范围，再利用正弦函数的图像、有界性求出y ＝A sin t 的最值(值域)． 4．求对称轴、对称中心的方法：

正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴，对称中心的求法 (1)①令ωx ＋φ＝π

2＋k π，(k ∈Z)可得到对称轴方程．

②令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)可得到对称中心的横坐标．

(2)利用对称轴和对称中心的几何意义，对称轴处的函数值最大或最小，对称中心点在函数图像上，所以对称中心的点坐标满足函数解析式．

跟踪训练1 (1)函数y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π

4的周期为________；单调递增区间为________． 答案 4π ⎣⎡⎦⎤4k π＋3π2，4k π＋7π

2，k ∈Z 解析 y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫12x －π

4＋1， ∴T ＝2π|ω|＝2π

1

2

＝4π；

由2k π＋π2≤12x －π4≤2k π＋3π

2(k ∈Z )．

解得4k π＋3π2≤x ≤4k π＋7π

2

(k ∈Z )．

∴原函数的单调递增区间为⎣

⎡⎦⎤4k π＋3π2，4k π＋7π

2，k ∈Z . (2)在函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π

3的图像的对称中心中，离原点最近的一个对称中心的坐标是________，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π

12时的最大值为________． 答案 ⎝⎛⎭

⎫π

12，0 3

解析 由4x ＋2π3＝k π，k ∈Z ，得x ＝－π6＋14k π，k ∈Z ，所以当k ＝1时，x ＝π4－π6＝π

12，即⎝⎛⎭⎫π12，0离原点最近．

由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12，得t ＝4x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤2π

3

，π，