高三数学专题总复习

高考数学复习专题
专题一会合、逻辑与不等式
会合看法及其基本理论，是近代数学最基本的内容之一，会合的
语言、思想、看法浸透于中学数学内容的各个分支．有关简略逻辑的知
识与原理一直贯串于数学的剖析、推理与计算之中，学习对于逻辑的
有关知识，能够使我们对数学的有关看法理解更透辟，表达更准
确．不等式是高中数学的重点内容之一，是工具性很强的一部分内容，解不等式、不等式的性质等都有很重要的应用．
关注本专题内容在其余各专题中的应用是学习这一专题内容时
要注意的．
§1－1集合
【知识重点】
1．会合中的元素拥有确立性、互异性、无序性．
2．会合常用的两种表示方法：列举法和描绘法，此外还有大写字
母表示法，图示法 ( 韦恩图 ) ，一些数集也能够用区间的形式表示．3．两类不一样的关系：
(1)附属关系——元素与会合间的关系；
(2)包含关系——两个会合间的关系 ( 相等是包含关系的特别情
况) ．
4．会合的三种运算：交集、并集、补集．
【复习要求】
1．对于给定的会合能认识它表示什么会合．在中学常有的会合
有两类：数集和点集．
2．能正确划分和表示元素与会合，会合与会合两类不一样的关系．
3．掌握会合的交、并、补运算．能使用韦恩图表达会合的关系
及运算．
4．把会合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不
等式的解集等．
【例题剖析】
例 1给出以下六个关系：
(1)0 ∈N*(2)0{ －1，1}(3)∈{0}
(4){0}(5){0}∈{0 ，1}(6){0}{0}
此中正确的关系是 ______．
解答： (2)(4)(6)
【评析】 1．熟习会合的常用符号：不含任何元素的会合叫做空集，记作；N表示自然数集； N＋或 N*表示正整数集； Z 表示整数集；Q表示有理数集； R表示实数集．
2．明确元素与会合的关系及符号表示：假如a是会合A的元素，记作： a∈A；假如 a 不是会合 A 的元素，记作： a A．
3．明确会合与会合的关系及符号表示：假如会合 A 中随意一个元素都是会合 B 的元素，那么会合A叫做会合 B的子集．记作： A B 或B A．
假如会合 A 是会合 B 的子集，且 B 中起码有一个元素不属于 A，
那么，会合 A 叫做会合 B 的真子集． A B 或 B A．
4．子集的性质：
①任何会合都是它自己的子集： A A；
②空集是任何会合的子集：A；
提示：空集是任何非空会合的真子集．
③传达性：假如 A B，B C，则 A C；假如 A B，B C，则 A C．
例 2已知全集U＝{小于10的正整数}，其子集A，B知足条件
( U A) ∩( U B) ＝{1 ，9} ，A∩B＝{2} ，B∩( U A) ＝{4 ，6，8} ．求会合A，B．
解：依据已知条件，获得如图1－1 所示的韦恩图，
图 1－1
于是，韦恩图中的暗影部分应填数字3，5，7．
故 A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．
【评析】 1、明确会合之间的运算
对于两个给定的会合 A、B，由既属于 A 又属于 B 的全部元素构
成的会合叫做 A、B 的交集．记作： A∩B．
对于两个给定的会合A、B，把它们全部的元素并在一同组成的
会合叫做 A、B 的并集．记作： A∪B．
假如会合 A 是全集 U的一个子集，由 U中不属于 A 的全部元素组
成的会合叫做 A 在 U中的补集．记作U A．
2、会合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且”、“或”、“非”的逻辑关系运算，而韦恩图能够将这种复杂的逻辑关系直观化，
是解决会合运算问题的一个很好的工具，要习惯使用它解决问题，要存
心识的利用它解决问题．
例 3设会合M＝{x｜－1≤x＜2}，N＝{x｜x＜a}．若M∩N＝，
则实数 a 的取值范围是 ______．
答： ( －∞，－ 1] ．
【评析】本题能够经过数轴进行剖析， 要特别注意当 a 变化时是
否能够取到区间端点的值． 象韦恩图相同， 数轴相同是解决会合运算
问题的一个特别好的工具．
例 4 设 a ，b ∈R ，会合 { 1, a
, }
{ 0, b
, b} ，则－＝
．
b a
a
b a
______
【剖析】 因为 {1,a b,a}
{ 0, b
, b} ，所以 a ＋b ＝0 或 a ＝0( 舍去，
a
不然 b
没存心义 ) ，
a
所以， a ＋b ＝0， b
a
＝－ 1，所以－ 1∈{1 ，a ＋b ，a } ，a ＝－ 1，
联合 a ＋b ＝0，b ＝1，所以 b －a ＝2．
练习 1－1
一、选择题
1．给出以下关系： ①
1
R ；② 2
Q ；③｜－ 3｜ N * ；④|
3 | Q ．其
2
中正确命题的个数是 (
)
(A)1 (B)2
(C)3
(D)4
2．以下各式中， A 与 B 表示同一会合的是 (
)
(A) A ＝{(1 ，2)} ，B ＝{(2 ，1)}
(B) A ＝{1 ，2} ，B ＝{2 ，1}
( C ) A ＝{0} ，B ＝
(D) A ＝ { y ｜ y ＝
x 2＋1} ，B ＝{ x ｜y ＝x 2＋1}
3．已知 M ＝{( x ，y ) ｜x ＞0 且 y ＞0} ，N ＝{( x ，y ) ｜xy ＞0} ，则 M ，N
的关系是 ( )
(A) M N (B) N M (C) M ＝N
(D) M ∩N ＝
4．已知全集U＝N，会合 A＝{ x｜x＝2n，n∈N}，B＝{ x｜x＝4n，n ∈N} ，则下式中正确的关系是( )
(A) U＝A∪B(B) U＝( U A) ∪B(C) U＝A∪( U B) (D) U＝ (U A)∪( U B)
二、填空题
5．已知会合A＝{ x｜x＜－ 1 或 2≤x＜3} ，B＝{ x｜－2≤x＜4} ，则A ∪B＝______．
6．设M＝{1 ，2} ，N＝{1 ，2，3} ，P＝ { c｜c＝a＋b，a∈M，b∈N} ，则会合 P 中元素的个数为______．
7．设全集U＝R，A＝{ x｜x≤－ 3 或x≥2} ，B＝{ x｜－ 1＜x＜5} ，则(U A)∩B＝______.
8．设会合S＝{ a0，a1，a2，a3}，在S 上定义运算为： a i a j＝a k，此中k为i＋j被4除的余数，i，j ＝0，1，2，3．则a2a3＝______；
知足关系式( x x)a2＝a0的x( x∈S)的个数为______．
三、解答题
9．设会合A＝{1 ，2} ，B＝{1 ，2，3} ，C＝{2 ，3，4} ，求( A∩B) ∪C．
10．设全集U＝{ 小于 10 的自然数 } ，会合A，B知足A∩B＝{2} ，( U A) ∩ B＝{4，6，8}，(U A)∩(U B)＝{1，9}，求会合 A和 B．11．已知会合A＝{ x｜－ 2≤x≤4} ，B＝{ x｜x＞a} ，
①A∩B≠，务实数 a 的取值范围；
② A∩B≠A，务实数 a 的取值范围；
③ A∩B≠，且 A∩B≠A，务实数 a 的取值范围．
§ 1－ 2常用逻辑用语
【知识重点】
1．命题是能够判断真假的语句．
2．逻辑联络词有“或”“且”“非”．不含逻辑联络词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联络词组成的命题叫做复合命题．能够利用真值表判断复合命题的真假．
3．命题的四种形式
原命题：若 p 则 q．抗命题：若 q 则 p．否命题：若p，则q．逆否命题：若q，则p．注意差别“命题的否认”与“否命题”这两
个不一样的看法．原命题与逆否命题、抗命题与否命题是等价关系．4．充要条件
假如p q，则p 叫做q 的充足条件，q 叫做p 的必需条件．
假如p q且q p，即q p则p叫做q的充要条件，同时，q 也叫做 p 的充要条件．
5．全称量词与存在量词
【复习要求】
1．理解命题的看法．认识“若p，则 q”形式的命题的抗命题、否命题与逆否命题，会剖析四种命题的互相关系．理解必需条件、充
分条件与充要条件的意义．
2．认识逻辑联络词“或”、“且”、“非”的含义．
3．理解全称量词与存在量词的意义．能正确地对含有一个量词
的命题进行否认．
【例题剖析】
例 1 分别写出由以下命题组成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的复合命题，并判断它们的真假．
(1)p：0∈N，q：1 N；
(2)p：平行四边形的对角线相等， q：平行四边形的对角线互相均分．
解： (1) p∨q：0∈N，或 1 N；
p∧q：0∈N，且1N；p：0N．
因为p 真， q 假，所以p∨q 为真， p∧q 为假，p 为假．
(2) p∨q：平行四边形的对角线相等或互相均分．
p∧q：平行四边形的对角线相等且互相均分．
p：存在平行四边形对角线不相等．
因为p 假， q 真，所以p∨q 为真， p∧q 为假，p 为真．
【评析】判断复合命题的真假能够借助真值表．
例 2分别写出以下命题的抗命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．
(1)若 a2＋b2＝0，则 ab＝0；
(2)若 A∩B＝A，则 A B．
解： (1) 抗命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题．
22
否命题：若 a ＋b ≠0，则 ab≠0；是假命题．
22
逆否命题：若 ab≠0，则 a ＋b ≠0；是真命题．
(2)抗命题：若 A B，则 A∩B＝A；是真命题．
否命题：若 A∩B≠A，则 A不是 B 的真子集；是真命题．
逆否命题：若 A 不是 B 的真子集，则 A∩B≠A．是假命题．
评论：原命题与逆否命题互为逆否命题，同真同假；抗命题与逆
否命题也是互为逆否命题．
例 3指出以下语句中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．
(1)p：( x－2)( x－3)＝0；q：x＝2；
(2)p：a≥2；q：a≠0．
【剖析】由定义知，若 p q 且 q p，则 p 是 q 的充足不用要条件；
若 p q 且q p，则p 是q 的必需不充足条件；
若 p q 且q p，p与q互为充要条件．
于是可得(1) 中p是q的必需不充足条件；q是p的充足不用要条件．
(2)中 p 是 q 的充足不用要条件； q 是 p 的必需不充足条
件．【评析】判断充足条件和必需条件，第一要搞清楚哪个是条
件哪
个是结论，剩下的问题就是判断p 与 q 之间谁能推出谁了．例 4 设会合M＝{ x｜x＞2} ，N＝{ x｜x＜3} ，那么“x∈M或x ∈N”是“ x∈M∩N”的( )
(A) 充足非必需条件(B) 必需非充足条件
( C) 充要条件(D) 非充足条件也非必需条件
解：条件 p：x∈M或 x∈N，即为 x∈R；条件 q：x∈M∩N，即为{ x∈R｜2＜x＜3} ．
又 R { x∈R｜2＜x＜3} ，且 { x∈R｜2＜x＜3}R，所以p是q的必需非充足条件，选B．
【评析】当条件 p 和 q 以会合的形式表现时，可用下边的方法判断充足性与必需性：设知足条件p 的元素组成会合 A，知足条件 q 的元素组成会合B，若 A B 且 B A，则 p 是 q 的充足非必需条件；若
A B 且 B A，则 p 是 q 的必需非充足条件；若A＝B，则 p 与 q 互为充要条件．
例 5命题“对随意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否认是()
(A) 不存在x∈R，x3－x2＋1≤0，(B) 存在x∈R，x3－x2＋1≤0
( C) 存在x∈R，x3－x2＋1＞0(D) 对随意的x∈R，x3－x2＋1＞0【剖析】这是一个全称命题，它的否认是一个特称命题．其否认为“存在 x∈R，x3－x2＋1＞0．”
答：选 C．
【评析】注意全 ( 特) 称命题的否认是将全称量词改为存在量词( 或将存在量词改为全称量词) ，并把结论否认．
练习 1－2
一、选择题
1．以下四个命题中的真命题为( )
(A)x∈Z，1＜4x＜3(B)x∈Z，3x－1＝0
( C)x∈R，x2－1＝0(D)x∈R，x2＋
2x＋2＞0
2．假如“p 或q”与“非p”都是真命题，那么()
(A) q必定是真命题(B) q不必定是真命题
( C) p不必定是假命题(D) p与q 的真假相同
3．已知a 为正数，则“a＞b”是“ b 为负数”的()
(A) 充足不用要条件(B) 必需不充足
条件
( C) 充要条件(D) 既不充足也不用要条件
4．“A是B的子集” 能够用以下数学语言表达：“若对随意的x∈A x ∈B，则称 A B”．那么“ A 不是 B 的子集”可用数学语言表达为
( )
(A)若 x∈A 但 x B，则称 A 不是 B 的子集
(B)若 x∈A 但 x B，则称 A 不是 B 的子集
(C)若 x A 但 x∈B，则称 A 不是 B 的子集
(D)若 x A 但 x∈B，则称 A 不是 B 的子集
二、填空题
5．“p 是真命题” 是“p∨q 是假命题的”__________________条件．6．命题“若x＜－ 1，则｜x｜＞ 1”的逆否命题为 _________．7．已知会合A，B是全集U的子集，则“A B”是“U B U A”的______条件．
8．设A、B为两个会合，以下四个命题：
①A B对随意x∈A，有x B② A B A∩B＝
③A B A B④ A B存在x∈A，使得x B
此中真命题的序号是 ______．( 把切合要求的命题序号都填上)三、解答题
9．判断以下命题是全称命题仍是特称命题并判断其真假：
(1)指数函数都是单一函数；
(2)起码有一个整数，它既能被 2 整除又能被 5 整除；
(3)x∈{ x｜x∈Z}，log2x＞0；
(4)x R, x2x 1
0. 4
10．已知实数a，b∈R．试写出命题：“a2＋b2＝0，则ab＝0”的抗命题，否命题，逆否命题，并判断四个命题的真假，说明判断的原由．
§ 1－3不等式(含推理与证明)
【知识重点】
1．不等式的性质．
(1)假如 a＞b，那么 b＜a；
(2)假如 a＞b，且 b＞c，那么 a＞ c；
(3)假如 a＞b，那么 a＋c＞b＋c(假如 a＋c＞b，那么 a＞b－c)；
(4)假如 a＞b，c＞d，那么 a＋c＞b＋d；
(5)假如 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc；假如 a＞b，c＜0，那么 ac
＜b c；
(6)假如 a＞b＞0，c＞d＞0，那么 ac＞bd；
(7)假如 a＞b＞0，那么 a n＞b n( n∈N＋，n＞1)；
(8) 假如＞＞0，那么n a n b x n；
a b
(N ,1)
2．进行不等式关系判断经常用到的实数的性质：
若 a∈R，则a20;| a | 0. a 0(a R ) ．
3．会解一元一次不等式，一元二次不等式，简单的分式不等式、
绝对值不等式．简单的含参数的不等式．
4．均值定理：假如a、b∈R＋，那么a b ab.当且仅当a＝b 时，
2
式中等号建立．
其余常用的基本不等式：假如a、b∈R，那么 a2＋b2≥2ab，( a －b)2≥0．
假如 a、b 同号，那么b a
2.
a b
5．合情推理之概括推理与类比推理；演绎推理；综合法、剖析法与反证法．
【复习要求】
1．运用不等式的性质解决以下几类问题：
(1)依据给定的条件，判断给出的不等式可否建立；
(2)利用不等式的性质，实数的性质以及函数的有关性质判断实数值的大小关系；
(3)利用不等式的性质等判断不等式变换中条件与结论间的充足必需关系．
2．娴熟掌握一元一次不等式，一元二次不等式、简单的分式不等式、绝对值不等式的解法．并会解简单的含参数的不等式．
3．认识合情推理和演绎推理的含义，能利用概括和类比等进行
简单的推理．认识演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并
能运用它们进行一些简单推理．能较为灵巧的运用综合法、剖析法与反证法证明数学识题．娴熟运用比较法比较数与式之间的大小关系．比较法：常有“作差比较法”和“作商比较法”；
综合法：从已知推致使结果的思想方法；
剖析法：从结果追忆到产生这一结果的原由的思想方法；
反证法：由证明 p q 转向证明q r t ，而 t 与假定矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判断q 为假，从而推出q 为真的方法，叫做反证法．
一般来讲，由剖析法获得的证明思路常常用综合法的方式来书
写．
【例题剖析】
例 1若a＞b＞c，则必定建立的不等式是( )
A．a｜c｜＞b｜c｜－｜ c｜D．
B．ab＞ac C．a－｜c｜＞b
1 11
a b c
【剖析】对于选项 A．当c＝0 时，a｜c｜＞b｜c｜不建立．
对于选项 B．当a＜0 时，ab＞ac不建立．
对于选项 C．因为a＞b，依据不等式的性质a－｜ c｜＞ b－｜ c｜，正确．
对于选项 D．当a＞b＞0＞c时，1
1
1
不建立．所以，选 C．a b c
例 2a，b∈R，以下命题中的真命题是( )
A．若a＞b，则｜a｜＞｜b｜B．若a＞b，则1
1 a b
C．若a＞b，则a3＞b3D．若a＞b，则a
1
b
【剖析】对于选项 A．当a＝－ 1，b＝－ 2 时，｜a｜＞｜b｜不建立．
对于选项B．当a＞0，b＜0时，11不建立．
a b
对于选项 C．因为a＞b，依据不等式的性质a3＞b3，正确．
对于选项D．当b＜0时，a1不建立．所以，
选
C．
b
【评析】判断不等关系的正误，其一要掌握判断的依照，依照有
关的理论判断，切忌仅凭感觉进行判断；其二要掌握判断的方法．判断不等式的理论依照参看本节的知识重点，此外，后边专题讲
到的函数的有关知识特别是函数的单一性也是解决不等式问题的特别重
要的方法．
判断一个不等式是正确的，就应当给出一个合理的证明( 或说明) ，就像例 1、例 2 对正确的选项判断那样．判断一个不等式是不
正确的，应举出反例．
例 3解以下不等式：
(1)x2－x－1＞0；(2) x2－3x＋2＞0；(3)2 x2－3x＋1≤0；
(4)x10; (5)｜2x－1｜＜3；(6)2x 1 1.
x2x 2
解：(1) 方程x2－x－1＝0 的两个根是x1, x2 1 5联合函数 y＝x2
2
－ x －1的图象，可得不等式x2－ x －1＞0的解集为
{ x | x1
5
或 x 1 5}. 22
(2)不等式 x2－3x＋2＞0等价于( x－1)( x－2)＞0，
易知方程 ( x－1)( x－2) ＝0 的两个根为x1＝1，x2＝2，
联合函数 y＝x2－3x＋2的图象，可得不等式 x2－3x＋2＞0的解集为 { x｜x＜1 或x＞2} ．
(3)不等式 2x2－3x＋1≤0 等价于 (2 x－1)( x－1) ≤0，以下同 (2) 的解法，
可得不等式的解集为11}.
{ x |x
(4) x
1
2
0 等价于(x－1)(x－2)＞0，以下同(2)的解法，可得不x2
等式的解集为 { x｜x＜1 或x＞2} ．
(5)不等式｜ 2x－1｜＜ 3 等价于－ 3＜2x－1＜3，所以－ 2＜ 2x＜4，即－ 1＜x＜2，所以不等式｜ 2x－1｜＜ 3 的解集为 { x｜－ 1≤x＜2} ．
(6) 不等式2x
11能够整理为
x
10, x2x2
x10, 等价于x
10或
x 1
0. 以下同(4)的解法，可得不等式
x2x2x 2
的解集为 { x｜－ 1≤x＜2} ．
【评析】一元一次不等式、一元二次不等式的解法要娴熟掌握．其他不等式的解法合适掌握．
1．利用不等式的性质能够解一元一次不等式．
2．解一元二次不等式要注意函数、方程、不等式三者之间的联系，经过研究与一元二次不等式相对应的一元二次方程的根的状况、
从而联合相应的二次函数的图象便可以解决一元二次不等式解集的
问题了．
所以，解一元二次不等式的步骤为：计算二次不等式相应的方程
的鉴别式；求出相应的一元二次方程的根( 或依据鉴别式说明无根 ) ；画出相应的二次函数的简图；依据简图写出二次不等式的解集．
3、不等式x
a0 与(x－a)(x－b)＞0同解；不等式
x
a0 与(x x b x b
－a)( x－b)＜0同解；
4*、不等式｜f ( x) ｜＜c与－c＜f ( x) ＜c同解；不等式｜f ( x) ｜
＞c与“ f ( x)＞c 或 f ( x)＜－ c”同解．在解简单的分式不等式时
要注意细节，比如 (5) 题对于“≤”号的办理．
例 4解以下对于x的不等式；
(1)ax＋3＜2；(2) x2－6ax＋5a2≤0．
解： (1) 由ax＋3＜2 得ax＜－ 1，
当 a＝0时，不等式解集为；
当 a＞0时，不等式解集为 { x | x 1
} ；a
当 a＜0时，不等式解集为 { x | x 1
} ．a
(2)x2－6ax＋5a2≤0等价于不等式( x－a)( x－5a)≤0，
当 a＝0时，不等式解集为{ x｜x＝0}；
当 a＞0时，不等式解集为{ x｜a≤x≤5a}；
当 a＜0时，不等式解集为{ x｜5a≤x≤a}．
【评析】含参数的不等式的解法与不含参数的不等式的解法、步骤是完整一致的．
要注意的是，当进行到某一步骤拥有不确立性时，需要进行分类议论．
如 (2) 的解决过程中，当解出方程 ( x－a)( x－5a) ＝0 的两根为x1＝a，x2＝5a 以后，需要画出二次函数 y＝x2－6ax＋5a2的草图，这时两根 a 与5a 的大小不定，需要议论，当分a＝0，a＞0，a＜0三种情况以后，便可以在各自状况下确立 a 与5 a 的大小，画出二次函数 y ＝x2－6ax＋5a2的草图写出解集了．
例 5 已知a＞b＞0，c＜d＜0，m＜0．求证：m m
a c
b d
证明：方法一 ( 作差比较 )
由已知 b－a＜0，c－d＜0，又 m＜0，所以 m[( b－a)＋( c－d)]＞0，
因为 a＞b＞0，c＜d＜0，所以 a－c＞0，b－d＞0，
所以 m[(b a) (c d )]0 ，所以m
m0,即
m
m
(a c)(b d ) a c b d a c b d
方法二
因为 c＜d＜0，所以 c－d＜0，
又 a＞b＞0，所以 a－b＞0，所以 a－b＞c－d，所以 a－c＞b－d ＞0，
所以11，又因为 m＜0，所以m
m
a c
b d a
c b d
例 6已知 a＋b＋c＝0，a＞b＞c，求证：(1)a＞0；(2)c
2. a
证明： (1) 假定a≤0，因为a＞b＞c，所以b＜0，c＜0．所以 a＋b＋c＜0，与 a＋b＋c＝0矛盾．
(2)因为 b＝－ a－c，a＞b，所以，
所以 2a＞－c，又a＞0，所以2c
，所以
c
2.
a a
例 7已知a，b，c∈(0，1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－
c) a 中起码有一个不大于 1 .
4
证明：假定 (1 －a) b，(1 －b) c，(1 －c) a均大于1
，4
即 (1 a)b 1
, (1 b)c
1
,(1 c)a 1 , 444
因为 a，b，c∈(0，1)，所以1－a，1－b，1－c∈(0，1)，
所以 (1 a) b 2 (1 a)b 1 ，同理(1－b)＋c＞1，(1－c)＋a＞1，
所以 (1 －a) ＋b＋(1 －b) ＋c＋(1 －c) ＋a＞3，即 0＞0，矛盾．所以 (1 －a) b，(1 －b) c，(1 －c) a中起码有一个不大于1．
4【评析】证明常用的方法有比较法、综合法、剖析法与反证法
等．证明不等式也是这样．
1、例 5 中的方法一所用到的比较法从思想、书写的角度都较为
简单，也相对易于掌握，要娴熟掌握．
2、例 5 中的方法二所用到的综合法是一般证明题常用的方法，
其书写方法简洁、易读，但要注意的是，这样的题的思路经常是剖析
法．
比方，例 5 中的方法二的思路我们能够以为是这样获得的：欲证m m
, 只要证明m(b－d)＞m(a－c)(因为b－d＞0，a－c＞0)，a c b d
即只要证明 b－d＜a－c，即只要证明 a－b＞c－d，
而由已知a－b＞0，c－d＜0，所以能够循着这个思路依照相反
的次序书写．所以，在好多状况下，剖析法更是思虑问题的方法，而
综合法更是一种书写方法．
3、适适用反证法证明的常有的命题一般是特别不言而喻的问题( 如例 6(1)) 、否认式的命题、存在性的命题、含至多起码等字样的
高三数学专题总复习
命题 ( 如例 7) 等等．
证明的步骤一般是： (1) 假定结论的反面是正确的； (2) 推出矛盾的结论； (3) 得出本来命题正确的结论．
例 8 依据图中图形及相应点的个数找规律，第 8 个图形相应的点数为 ______．
【剖析】第一个图有 1 行，每行有 1＋2 个点；
第二个图有 2 行，每行有 2＋2 个点；
第三个图有 3 行，每行有 3＋2 个点；
第八个图有 8 行，每行有 8＋2 个点，所以共有 8×10＝80 个
点．答： 80．
练习 1－3
一、选择题
1．若1
1
0 则以下各式正确的选项
是()
a b
11
(A) a＞b(B) a＜b
22
(D)
(C) a＞b a2b2
2．已知a，b为非零实数，且a＜b，则以下命题建立的是 () 222211b a
(A) a＜b(B) a b＜ab(C)ab2a2b(D)a b
3．已知A＝{ x｜｜x｜＜a} ，B＝{ x｜x＞1} ，且A∩B＝，则 a 的取值范围是 ()
(A){ a｜a≤1}(B){ a｜0≤a≤1}(C){ a｜a＜ 1}
(D){ a｜0＜a＜1}
4．设会合M＝{1 ，2，3，4，5，6} ，S1，S2，，S k都是M的含有两
个元素的子集，且知足：对随意的S i＝{ a i，b i}、S j＝{ a j，b j }(i
≠j ，i ，j∈{1 ，2，3，，k}) 都有min{a
i,
b
i}min{
a
j ,
b
j }，，b i a i b j(min{ x
a j
y}表示两个数 x，y 中的较小者)，则 k 的最大值是()
(A)10(B)11(C)12(D)13
二、填空题
5．已知数列 { a n} 的第一项a1＝1，且a n 1
a
n (n1,2,3,) ，请计算出1 a n
这个数列的前几项，并据此概括出这个数列的通项公式a n＝______．
6．不等式x2－5x＋6＜0 的解集为 ____________．
7．设会合A＝{ x∈R｜｜ x｜＜4}，B＝{ x∈R｜x2－4x＋3＞0}，则集合{ x∈R｜x∈A，且x A∩B} ＝____________．
8．设a∈R且a≠0，给出下边 4 个式子：
①a3＋1；② a2－2a＋2；③a 1
；④ a21 a a2
此中恒大于 1 的是 ______．( 写出全部知足条件式子的序号)
三、解答题
9．解以下不等式：
2＋x＞0；(2)2x0；(4)｜2－x｜＜ 3；
(1)2 x x ＋3x＋1＜0；(3)
(5) 1 x2x3
2.
x
10．已知a＋b＋c＝0，求证：ab＋bc＋ca≤0．11．解以下对于x的不等式：
(1)x2－2ax－3a2＜0；(2) ax2－x＞0；
习题 1
一、选择题
1．命题“若x是正数，则x＝｜x｜”的否命题是 ( )
(A)若 x 是正数，则 x≠｜ x｜(B)若 x 不是正数，则 x＝｜ x｜
(C)若 x 是负数，则 x≠｜ x｜(D)若 x 不是正数，则 x≠｜ x｜2．若会合M、N、P是全集U的子集，则图中暗影部分表示的会合是()
(A)(M∩N)∪P(B)(M∩N)∩P
(C)(M∩N)∪(U P)(D)(M ∩N)∩(U P)
3．“a 1 ”是“对随意的正数x,2x a1”的()
8x
(A) 充足不用要条件(B) 必需不充足条件
(C) 充要条件(D) 既不充足也不用要条件
4．已知会合P＝{1 ，4，9，16，25，} ，若定义运算“ &”知足：“若a∈P，b∈P，则 a&b∈P”，则运算“&”能够是()
(A) 加法(B) 减法(C) 乘法(D) 除法
5．已知a，b，c知足c＜b＜a，且ac＜0，那么以下选项中不必定成
．．．立的是( )
(A) ab＞ac(B) c( b－a) ＜0 (C) cb2＜ab2(D) ac( a－c) ＜0
二、填空题
6．若全集U＝{0 ，1，2，3} 且U A＝{2} ，则会合A＝______．
7．命题“x∈A，但 x A∪B”的否认是____________．
8．已知A＝{－2，－1，0，1}，B＝{ y｜y＝｜ x｜， x∈A}，则 B＝____________．
9．已知会合A＝{ x｜x2－3x＋2＜0} ，B＝{ x｜x＜a} ，若A B，则实数 a 的取值范围是____________．
10．设a，b是两个实数，给出以下条件：
①a＋b＞1；② a＋b＝2；③ a＋b＞2；
④ a2＋b2＞2；⑤ ab＞1，
此中能推出“ a，b 中起码有一个大于1”的条件是______．(写出全部正确条件的序号)
三、解答题
11．解不等式1
2. x
12．若 0＜a＜b且a＋b＝1．
(1)求 b 的取值范围；
(2)试判断 b 与 a2＋b2的大小．
13．设a≠b，解对于x的不等式：a2x＋b2(1 －x) ≥[ ax＋b(1－x)]2．14．设数集A知足条件：①A R；②0 A且 1A；③若 a∈A，则1 A.
1a
(1)若 2∈A，则A中起码有多少个元素；
(2)证明： A 中不行能只有一个元素．
专题一会合、逻辑与不等式参照答案
练习 1－1
一、选择题
1．B 2．B3．A4．C
提示：
4．会合A表示非负偶数集，会合 B 表示能被4整除的自然数集，所以{ 正奇数 } ( U B) ，从而U＝A∪( U B) ．
二、填空题
5．{ x｜x＜4} 6．4个7．{x｜－1＜x＜2}8．a1；2个(x
为 a1或
a3)．三、解
答题
9．( A∩B) ∪C＝{1 ，2，3，4}
10．剖析：画以下图的韦恩图：得A＝{0，2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8} ．
11．答：①a＜4；②a≥－ 2；③－ 2≤a＜4
提示：画数轴剖析，注意 a 可否取到“临界值”．
练习 1－2
一、选择题
1．D 2．A3．B4．B
二、填空题
5．必需不充足条件6．若｜x｜≤ 1，则x≥－ 1 7．充要条件8 ．④提示：
8．因为A B，即对随意x∈A，有x∈B．依据逻辑知识知，A B，即为④．
此外，也能够经过文氏图来判断．
三、解答题
9．答： (1) 全称命题，真命题． (2) 特称命题，真命题．
(3)特称命题，真命题； (4) 全称命题，真命题．
10．略解：答：抗命题：若ab＝0，则 a2＋b2＝0；是假命题；比如a ＝0，b＝1
否命题：若 a2＋b2≠0，则 ab≠0；是假命题；比如 a＝0，b＝1
逆否命题：若 ab≠0，则 a2＋b2≠0；是真命题；因为若 a2＋b2＝
0，则a＝b＝0，所以ab＝0，即原命题是真命题，所以其逆否命
题为真命题．
练习 1－3
一、选择题
1．B2．C3．A4．B
二、填空题
5．1
6 ．{ x｜2＜x＜3} 7．{ x∈R｜1≤x≤3｜ 8 ．④n
三、解答题
9．答： (1)
{ x | x
或
1
} ；
(2)
3535
}
；
0 x2{ x |2x2
(3) { x | 0 x 3
} ；(4){x｜－1＜x＜5}；(5){ x | 0x
1
} ．23
10．证明：ab＋bc＋ca＝b( a＋c) ＋ac＝－ ( a＋c)( a＋c) ＋ac＝－a2－a c－c2
所以 ab＋bc＋ca≤0．
11．解： (1) 原不等式( x＋a)( x－3a) ＜0．
分三种状况议论：
①当a＜0时，解集为{ x｜3a＜x＜－a} ；
②当a＝0时，原不等式x2＜0，解集为；
③当 a ＞0 时，解集为 { x ｜－ a ＜x ＜3a } ．
(2) 不等式 ax 2 －x ＞0 x ( ax －1) ＞0．分三种状况议论：
①当 a ＝0 时，原不等式
－x ＞0，解集为 { x ｜x ＜0} ；
② 当 a ＞ 0 时， x ( ax － 1) ＞ 0
x ( x － 1
) ＞ 0 ， 解集为
a
1
{ x | x 0或 x
} ；
③ 当 a ＜ 0 时， x ( ax － 1) ＞ 0 x ( x － 1
a
) ＜0，解集为
{ x | 1
x 0} ．
a
习题 1
一、选择题
1．D 2 ．D
3 ．A
4 ．C
5 ．C
提示：
5．A 正确． B 不正确． D ．正确．
当 b ≠0 时， C 正确；当 b ＝0 时， C 不正确，∴ C 不必定建立．二、填空题
6．{0 ，1，3} 7
． x ∈A ，x ∈A ∪B 8 ．{0 ，1，2} 9 ．{ a ｜
a ≥2} 10
．③．
提示：
10、均可用举反例的方式说明①②④⑤不正确．
对于③：若 a 、b 均小于等于 1．即， a ≤ 1，b ≤1，则 a ＋b ≤2，
与 a ＋b ＞2 矛盾，所以③正确．三、解答题
11．解：不等式1
2 即
1
2 0,12x0,
所以 2x 1x x x
1 ，0，此不等式等价于 x(
2 x－1)＞0，解得 x＜0或x
x1
} ．2
所以，原不等式的解集为 { x｜x＜0 或x
2 12．解： (1) 由a＋b＝1 得a＝1－b，因为 0＜a＜b，
所以 1－b＞0 且 1－b＜b，所以1
b 1.
2
31
(2) a2＋b2－b＝(1 －b) 2＋b2－b＝2b2－3b＋1＝2(b)2
因为1
3)21
48
b 1 ，所以 2(b0,
248
即 a2＋b2＜b．
13．解：原不等式化为 ( a2－b2) x＋b2≥( a－b) 2x2＋2b( a－b) x＋b2，移项整理，得 ( a－b) 2( x2－x) ≤0．
因为 a≠b，故( a－b)2＞0，所以 x2－x≤0．
故不等式的解集为 { x｜0≤x≤1} ．
14．解： (1) 若 2∈A，则1
1 A,11A,1
2 A.
1 21( 1)211
2
∴ A中起码有－1，
1
2
，2 三个元素．
(2) 假定A中只有一个元素，设这个元素为a，由已知
1
A ，则
1 a
a
1
．即a2－a＋1＝0，此方程无解，这与A中有一个元素a 1a
矛盾，所以 A 中不行能只有一个元素．
专题二函数
函数是中学数学中的重点内容，是描绘变量之间依靠关系的重要
数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，
二是研究几种详细的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要环绕以下几个方面：函
数的看法，函数的图象与性质，函数的有关应用等．
§2－1函数
【知识重点】
要认识映照的看法，映照是学习、研究函数的基础，对函数看法、函数性质的深刻理解在好多状况下要借助映照这一看法．
1、设A，B是两个非空会合，假如依照某种对应法例 f ，对 A 中的随意一个元素 x，在 B 中有一个且仅有一个元素y 与 x 对应，则称f是会合 A 到会合 B的映照．记作 f ：A→B，此中 x 叫原象， y 叫象．
2、设会合A是一个非空的数集，对A中的随意数x，依照确立的法例 f ，都有独一确立的数y 与它对应，则这种映照叫做会合 A 上的一个函数．记作y＝f ( x)，x∈A．
此中 x 叫做自变量，自变量取值的范围( 数集A) 叫做这个函数的定义域．全部函数值组成的会合 { y｜y＝f ( x) ，x∈A} 叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应法例完整确立．
3、函数是一种特别的映照．其定义域和值域都是非空的数集，
值域中的每一个元素都有原象．组成函数的三因素：定义域，值域和
对应法例．此中定义域和对应法例是中心．
【复习要求】
1．认识映照的意义，对于给出对应关系的映照会求映照中指定
元素的象与原象．
2．能依据函数三因素判断两个函数能否为同一函数．
3．掌握函数的三种表示法( 列表法、图象法和分析法) ，理解函数符号 f ( x)(对应法例)，能依照必定的条件求出函数的对应法例．4．理解定义域在三因素的地位，并会求定义域．
【例题剖析】
例 1 设会合A和B都是自然数会合 N．映照f：A→B把会合A中的元素 x 映照到会合 B 中的元素2x＋x，则在映照 f 作用下，2的象是______；20 的原象是 ______．
【剖析】由已知，在映照 f 作用下 x 的象为2x＋x．
所以， 2 的象是 22＋2＝6；
设象 20 的原象为x，则x的象为 20，即 2x＋x＝20．
因为 x∈N，2x＋x 跟着 x 的增大而增大，又能够发现24＋4＝20，所以 20 的原象是 4．
例 2 设函数f (x)x 1, x0,则
f (1)＝；若
f (0)
x22x 2, x0,
______
＋f ( a)＝－2，则 a 的全部可能值为______．
【剖析】从映照的角度看，函数就是映照，函数分析式就是映照的法例．
所以 f (1)＝3．
又 f (0)＝－1，所以 f ( a)＝－1，当
a≤0时，由 a－1＝－1得 a＝0；
当 a＞0时，由－ a2＋2a＋2＝－1，即 a2－2a－3＝0得 a＝3或 a ＝－1( 舍)．
综上， a＝0或 a＝3．
例 3以下四组函数中，表示同一函数的是( )
(A) (C)y x2 , y ( t )2
y
x
2
1, y x 1
x 1
(B)
(D)
y| x |, y t 2
y x, y
x2
x
【剖析】 (A)(C)(D) 中两个函数的定义域均不一样，所以不是同一函数．(B) 中两个函数的定义域相同，化简后为y＝｜x｜及y＝｜t｜，法例也相同，所以选 (B) ．
【评析】判断两个函数能否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与法例能否完整相同．
一般有两个步骤： (1) 在不对分析式进行变形的状况下求定义域，看定义域能否一致． (2) 对分析式进行合理变形的状况下，见解例是
否一致．
例 4求以下函数的定义域
(1)y x 1 1;(2)y1;
x22x 3
(3)y lg( 3x)( x 1)0 ;(4)y1x2;
x|2 x|2
解：(1) 由｜x－1｜－ 1≥0，得｜x－1｜≥ 1，所以x－1≥1 或x －1≤－ 1，所以x≥2 或x≤0．
所以，所求函数的定义域为{ x｜x≥2 或x≤0} ．
(2)由 x2＋2x－3＞0得， x＞1或 x＜－3．
所以，所求函数的定义域为{ x｜x＞1 或x＜－ 3} ．
3 x0,
(3) 由x0,得x＜3，且x≠0，x≠1，
x 10,
所以，所求函数的定义域为{ x| x＜3，且x≠0，x≠1}
(4) 由1 x
2
，
得 1 x2
， 1 x1,
00 即
且
| 2 x | 2 0,
， x0,x 4,
| 2 x | 2
所以－ 1≤x≤1，且x
≠0．
所以，所求函数定义域为{ x｜－1≤x≤1，且x≠0} ．
例 5 已知函数f ( x) 的定义域为 (0 ，1) ，求函数f ( x＋1) 及f ( x2) 的定义域．
【剖析】本题的题设条件中未给出函数 f ( x)的分析式，这就要求我们依据函数三因素之间的互相限制关系明确两件事情：①定义域是指 x 的取值范围；②受对应法例 f 限制的量的取值范围在“已知”
和“求”中间是一致的．那么由 f ( x)的定义域是(0，1)可知法例f
限制的量的取值范围是 (0 ，1) ，而在函数f ( x＋1) 中，受f直接限制
的是 x＋1，而定义域是指 x 的范围，所以经过解不等式0＜x＋1＜1得
－ 1＜x＜0，即f ( x＋1) 的定义域是 ( －1，0) ．同理可得f ( x2) 的定
义域为 { x｜－ 1＜x＜1，且x≠0} ．
例6 如图，用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为 2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出定义域．
解：依据题意， AB＝2x．
所以， y 2x l2
x
π
1
πx2(2π2lx.
x) x
222
x0,
l
依据问题的实质意义． AD＞0，x＞0．解l 2 x πx得 0 x.
2
0, 2 π所以，所求函数定义域为 { x | 0x l}
2π
【评析】求函数定义域问题一般有以下三种种类问题．
(1)给出函数分析式求定义域( 如例4) ，这种问题就是求使分析式存心义的自变量的取值范围．正确的解不等式或不等式组在解决这种问题中是重要的．
中学数学中常有的对变量有限制的运算法例有：①分式中分母不
为零；②偶次方根下被开方数非负；③零次幂的底数要求不为零；④
对数中的真数大于零，底数大于零且不等于1；⑤y＝ tan x，则
x kππ
，k∈Z．2
(2)不给出 f ( x)的分析式而求定义域(如例5)．其解决方法见例5的剖析．
(3)在实质问题中求函数的定义域 ( 如例 6) ．在这种问题中除了考虑分析式对自变量的限制，还应试虑实质问题对自变量的限制．
此外，在办理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的．比方在研究函数单一性、奇偶性、最值等问题时，第一要考虑的就是函数的定义域．
例 71x
(1) 已知f ()
x 1 x2
，求 f ( x)的分析式；
(2) 已知f ( x 1 ) x21
x x2
，求 f (3)的值；
(3) 假如f ( x) 为二次函数，f (0) ＝2，而且当x＝1 时，f ( x) 获得。