2014年高考数学文科(高考真题+模拟新题)分类汇编：C单元-三角函数

数 学
C 单元 三角函数
C1 角的概念及任意角的三角函数 2．[2014·全国卷] 已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－45
2．D [解析] 根据题意，cos α＝
－4
（－4）2＋32
＝－4
5.
C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛
⎭⎫
5π4的值；
(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．
18．解：方法一： (1)f ⎝⎛
⎭
⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4
＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π
4＝2.
(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x
＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
4＋1，
所以T ＝2π
2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.
由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8
，k ∈Z .
所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π
8，k ∈Z .
方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x
＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
4＋1.
(1)f ⎝⎛
⎭
⎫
5π4＝2sin 11π4＋1
＝2sin π
4
＋1 ＝2.
(2)因为T ＝2π
2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.
由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8
，k ∈Z .
所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π
8，k ∈Z .
2．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( )
A ．sin α＞0
B ．cos α＞0
C ．sin 2α＞0
D ．cos 2α＞0 2．C [解析]
因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2
α＝2tan α
1＋tan 2α
>0，所以选C. 17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝
6
3，B ＝A ＋π2
. (1)求b 的值；
(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中， 由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33
. 又因为B ＝A ＋π
2
，
所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝6
3.
由正弦定理可得，b ＝a sin B
sin A
＝
3×
63
33＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－3
3.
由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，
所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )
＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝
33×⎝⎛⎭⎫－3
3＋63×63
＝13
.
因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝32
2
.
C3 三角函数的图象与性质 16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值． 16．解： 由三角形面积公式，得
12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±
1－89＝±1
3
. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×1
3＝8，
所以a ＝2 2.
②当cos A ＝－1
3时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.
7．[2014·福建卷] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π
2个单位，得到函数y ＝f (x )的图像，
则下列说法正确的是( )
A ．y ＝f (x )是奇函数
B ．y ＝f (x )的周期为π
C ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π
2对称
D ．y ＝f (x )的图像关于点⎝⎛⎭
⎫－π
2，0对称
7．D [解析] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位后，得到函数y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
2的图像，即f (x )＝cos x ．由余弦函数的图像与性质知，f (x )是偶函数，其最小正周期为2π，且图像关于直线x ＝k π(k ∈Z )对称，关于点⎝⎛⎭
⎫π
2＋k π，0(k ∈Z )对称，故选D.
图1-2
5．、[2014·江苏卷] 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π
3
的交点，则φ的值是________．
5.
π6 [解析] 将x ＝π3分别代入两个函数，得到sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝12
，解得2
3π＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或2
3π＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，化简解得φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )或φ＝π6
＋2k π
(k ∈Z )．又φ∈[0，π)，故φ＝π
6
.
7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝
cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π
4中，最小正周期为π的所有
函数为( )
A ．①②③
B ．①③④
C ．②④
D ．①③
7．A [解析] 函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6的最小正周期
为π，③正确；函数y ＝tan ⎝
⎛⎭⎫2x －π
4的最小正周期为π2，④不正确．
C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质
8．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π
3
，则f (x )的最小正周期为( )
A.π2
B.2π
3
C ．π
D ．2π 8．C [解析] ∵f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫ωx ＋π
6＝1，
∴sin ⎝
⎛⎭⎫ωx ＋π6＝1
2，∴ωx 1＋π6＝π6＋2k 1π(k 1∈Z )或 ωx 2＋π6＝5π6＋2k 2π(k 2∈Z )，则
ω(x 2－x 1)＝2π3＋2(k 2－k 1)π.又∵相邻交点距离的最小值为π
3
，∴ω＝2，∴T ＝π.
7．[2014·安徽卷] 若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )
A.π8
B.π4
C.3π8
D.3π4
7．C [解析] 方法一：将f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
4的图像向右平移φ个单位，得到y ＝2
sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图像，由所得图像关于y 轴对称，可知sin ⎝⎛⎭⎫π4－2φ＝±1，即sin ⎝⎛⎭⎫2φ－π
4＝±1，故2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，又φ>0，所以φmin ＝3π8
.
13．[2014·重庆卷] 将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π
2图像上每一点的横坐
标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像，则f ⎝⎛⎭⎫π
6＝________．
13.
2
2
[解析] 函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，得到y ＝sin(2ωx ＋φ)的图像，再向右平移π6个单位长度，得到y ＝sin2ωx －π
6
＋φ＝
sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －ωπ3＋φ的图像．由题意知sin ⎝⎛⎭
⎫2ωx －ωπ
3＋φ＝sin x ，所以2ω＝1，－ωπ3＋φ
＝2k π(k ∈Z )，又－π2≤φ≤π2，所以ω＝12，φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π
6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝
sin ⎝⎛⎭
⎫12×π6＋π
6＝sin π4＝22.
16．[2014·北京卷] 函数f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
6的部分图像如图1-4所示．
图1-4
(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π
12上的最大值和最小值．
16．解：(1)f (x )的最小正周期为π. x 0＝7π
6
，y 0＝3.
(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π
6，0.
于是，当2x ＋π
6
＝0，
即x ＝－π
12时，f (x )取得最大值0；
当2x ＋π6＝－π
2
，
即x ＝－π
3
时，f (x )取得最小值－3.
18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛
⎭⎫
5π4的值；
(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．
18．解：方法一： (1)f ⎝⎛
⎭
⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cos π4⎝⎛⎭
⎫－sin π4－cos π
4＝2.
(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
4＋1，
所以T ＝2π
2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.
由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8
，k ∈Z .
所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π
8，k ∈Z .
方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x
＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
4＋1.
(1)f ⎝⎛
⎭
⎫
5π4＝2sin 11π4＋1
＝2sin π
4
＋1 ＝2.
(2)因为T ＝2π
2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.
由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8
，k ∈Z .
所以f (x )的单调递增区间为⎣
⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π
8，k ∈Z .
9．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥
l 4，则下列结论一定正确的是( )
A ．l 1⊥l 4
B ．l 1∥l 4
C ．l 1与l 4既不垂直也不平行
D ．l 1与l 4的位置关系不确定
9．D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可． 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AD 是直线
l 3，则DD 1是直线l 4，此时l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，A 1D 1是直线l 3，则C 1D 1是直线l 4，此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．
18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：
f (t )＝10－3cos π12t －sin π
12
t ，t ∈[0，24)．
(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．
18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭
⎫π
12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×
⎝⎛⎭⎫－12－32
＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.
(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭
⎫32cos π12t ＋12sin π
12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，
又0≤t <24，
所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭
⎫π12t ＋π
3≤1.
当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π
3＝1；
当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭
⎫π12t ＋π
3＝－1.
于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
11．[2014·辽宁卷] 将函数y ＝3sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对
应的函数( )
A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π
12上单调递减
B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π
12上单调递增
C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π
3上单调递减
D ．在区间⎣⎡⎦
⎤－π6，π
3上单调递增
11．B [解析] 将函数y ＝3sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
3的图像向右平移π2个单位长度，得到y ＝
3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图像 ，函数单调递增，则－π2＋2k π≤2x －2
3π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12
＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π
12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，可知函数在区间⎣⎡⎦
⎤π12，7π
12上单调递增．
14．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． 14．1 [解析] f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1.
7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝
cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π
4中，最小正周期为π的所有
函数为( )
A ．①②③
B ．①③④
C ．②④
D ．①③
7．A [解析] 函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6的最小正周期
为π，③正确；函数y ＝tan ⎝
⎛⎭⎫2x －π
4的最小正周期为π2，④不正确．
12．，[2014·山东卷] 函数y ＝3
2
sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 12．π [解析] 因为y ＝
3
2sin 2x ＋1＋cos 2x 2
＝ sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1
2，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π .
2．[2014·陕西卷] 函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
4的最小正周期是( )
A.π
2 B ．π C ．2π D ．4π 2．B [解析] T ＝2π
2
＝π.
4．[2014·浙江卷] 为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )
A ．向右平移π
12个单位
B ．向右平移π
4个单位
C ．向左平移π
12个单位
D ．向左平移π
4
个单位
4．A [解析] y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝2cos ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π
12，
故将函数y ＝2cos 3x 的图像向右平移π
12
个单位可以得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，故选A.
3．[2014·四川卷] 为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )
A ．向左平行移动1个单位长度
B ．向右平行移动1个单位长度
C ．向左平行移动π个单位长度
D ．向右平行移动π个单位长度
3．A [解析] 由函数y ＝sin x 的图像变换得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，应该将函数y ＝sin x 图像上所有的点向左平行移动1个单位长度，故选A.
17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎫3x ＋π
4.
(1)求f (x )的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝4
5cos ⎝
⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．
17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦
⎤－π2＋2k π，π
2＋2k π，k ∈Z ，
由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3
，k ∈Z ，
所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤
－π4
＋2k π3，π12＋
2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝
⎛⎭⎫α＋π4＝4
5cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．
所以sin αcos π4＋cos αsin π
4＝
45⎝⎛
⎭
⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝4
5
(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π
4
＋2k π，k ∈Z .
此时，cos α－sin α＝－ 2.
当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝5
4
.
由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－5
2
.
综上所述，cos α－sin α＝－2或－5
2
.
C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 9．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )
A ．l 1⊥l 4
B ．l 1∥l 4
C ．l 1与l 4既不垂直也不平行
D ．l 1与l 4的位置关系不确定
9．D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可． 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AD 是直线
l 3，则DD 1是直线l 4，此时l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，A 1D 1是直线l 3，则C 1D 1是直线l 4，此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．
16．、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝
32
2. (1)求A 的值；
(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭
⎫π
6－θ.
18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满
足函数关系：
f (t )＝10－3cos π12t －sin π
12
t ，t ∈[0，24)．
(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．
18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭
⎫π
12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×
⎝⎛⎭⎫－12－32
＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.
(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭
⎫32cos π12t ＋12sin π
12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，
又0≤t <24，
所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭
⎫π12t ＋π
3≤1.
当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π
3＝1；
当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭
⎫π12t ＋π
3＝－1.
于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 19．、、[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC
＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π
3
.
(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．
图1-4
19．解：设∠CED ＝α.
(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，
于是由题设知，7＝CD 2
＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．
在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CD
sin α
.
于是，sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×
3
27＝21
7，即
sin ∠CED ＝21
7
.
(2)由题设知，0＜α＜π
3
，于是由(1)知，
cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝27
7
.
而∠AEB ＝2π
3
－α，所以
cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭
⎫2π
3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α
＝－12cos α＋3
2sin α
＝－12×277＋32×217＝714
.
在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2
BE
，故
BE ＝2cos ∠AEB ＝2
7
14
＝47.
16．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭
⎫π
4＝0，其
中a ∈R ，θ∈(0，π)．
(1)求a ，θ的值；
(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝
⎛⎭⎫α＋π3的值． 16．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2
x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所
以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π
2
，
所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2
x )．
由f ⎝⎛⎭
⎫π
4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.
(2)由(1)得，f (x )＝－1
2
sin 4x .
因为f ⎝⎛⎭
⎫α4＝－12sin α＝－25，
所以sin α＝4
5，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，
从而cos α＝－3
5
，
所以有sin ⎝
⎛⎭⎫α＋π
3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3 310.
18．、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝1
3
，求B .
18．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝1
3，
所以cos C ＝2sin C ， 所以tan C ＝1
2
，
所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )]
＝－tan(A＋C)
＝tan A＋tan C tan A tan C－1
＝－1，
所以B＝135°.
14．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值为________．14．1[解析] f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x－φ)，其最大值为1.
17．，，[2014·山东卷] △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cos A
＝
6
3，B＝A＋
π
2.
(1)求b的值；
(2)求△ABC的面积．
17．解：(1)在△ABC中，
由题意知，sin A＝1－cos2A＝
3
3.
又因为B＝A＋
π
2，
所以sin B＝sin⎝⎛⎭⎫
A＋
π
2＝cos A＝
6
3.
由正弦定理可得，b＝
a sin B
sin A＝
3×
6
3
3
3
＝3 2.
(2)由B＝A＋
π
2得cos B＝cos⎝
⎛
⎭
⎫
A＋
π
2＝－sin A＝－
3
3.
由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)，
所以sin C＝sin[π－(A＋B)]
＝sin(A＋B)
＝sin A cos B＋cos A sin B
＝
3
3×⎝
⎛
⎭
⎫
－
3
3
＋
6
3×
6
3
＝
1
3.
因此△ABC的面积S＝
1
2ab sin C＝
1
2×3×32×
1
3＝
32
2.
8．、[2014·四川卷] 如图1-3所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角
分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度BC等于()
图1-3
A ．240(3－1)m
B ．180(2－1)m
C ．120(3－1)m
D ．30(3＋1)m
8．C [解析] 由题意可知，AC ＝60
sin 30°
＝120.
∠BAC ＝75°－30°＝45°，∠ABC ＝180°－45°－30°＝105°，所以sin ∠ABC ＝sin
105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋2
4
.
在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC
∠BAC
，
于是BC ＝120×
2
22＋64
＝240 2
2＋6＝120(3－1)(m)．故选C.
17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎫3x ＋π
4.
(1)求f (x )的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝4
5cos ⎝
⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．
17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦
⎤－π2＋2k π，π
2＋2k π，k ∈Z ，
由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3
，k ∈Z ，
所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤
－π4
＋2k π3，π12＋
2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝
⎛⎭⎫α＋π4＝4
5cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．
所以sin αcos π4＋cos αsin π
4＝
45⎝⎛
⎭
⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝4
5
(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π
4
＋2k π，k ∈Z .
此时，cos α－sin α＝－ 2.
当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝5
4
.
由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－5
2
.
综上所述，cos α－sin α＝－2或－5
2
.
18．、[2014·重庆卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.
(1)若a ＝2，b ＝5
2，求cos C 的值；
(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A
2
＝2sin C ，
且△ABC 的面积S ＝9
2
sin C ，求a 和b 的值．
18．解：(1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝7
2
.
由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
＝
22＋⎝⎛⎭⎫522
－⎝⎛⎭⎫7222×2×
52
＝－15. (2)由sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A
2
＝2sin C 可得
sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A
2
＝2sin C ，
化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .
因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C . 由正弦定理可知a ＋b ＝3c .又a ＋b ＋c ＝8，所以a ＋b ＝6.
由于S ＝12ab sin C ＝9
2
sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，所以b ＝3.
C6 二倍角公式 18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛
⎭⎫
5π4的值；
(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．
18．解：方法一： (1)f ⎝⎛
⎭
⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π
4＝2.
(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x
＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
4＋1，
所以T ＝2π
2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.
由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8
，k ∈Z .
所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π
8，k ∈Z .
方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x
＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
4＋1.
(1)f ⎝⎛
⎭
⎫
5π4＝2sin 11π4＋1
＝2sin
π
4
＋1
＝2.
(2)因为T ＝2π
2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.
由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8
，k ∈Z .
所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π
8，k ∈Z .
14．、[2014·全国卷] 函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________．
14.32 [解析] 因为y ＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin x 2＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，所以当sin
x ＝12时函数y ＝cos 2x ＋2sin x 取得最大值，最大值为3
2
. 16．、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．
16.4
3 [解析] 如图所示，根据题意知，OA ⊥P A ，OA ＝2，OP ＝10，所以P A ＝OP 2－OA 2＝2 2，所以tan ∠OP A ＝OA P A ＝22 2＝1
2，故tan ∠APB ＝2tan ∠OP A 1－tan 2∠OP A ＝43，
即l 1与l 2的夹角的正切值等于4
3
.
2．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( ) A ．sin α＞0 B ．cos α＞0 C ．sin 2α＞0 D ．cos 2α＞0 2．C [解析]
因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2
α＝2tan α
1＋tan 2α
>0，所以选C. 17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎫3x ＋π
4.
(1)求f (x )的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝4
5cos ⎝
⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．
17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦
⎤－π2＋2k π，π
2＋2k π，k ∈Z ，
由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3
，k ∈Z ，
所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤
－π4
＋2k π3，π12＋
2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝
⎛⎭⎫α＋π4＝4
5cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．
所以sin αcos π4＋cos αsin π
4＝
45⎝⎛
⎭
⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝4
5
(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π
4
＋2k π，k ∈Z .
此时，cos α－sin α＝－ 2.
当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝5
4
.
由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－5
2
.
综上所述，cos α－sin α＝－2或－5
2
.
C7 三角函数的求值、化简与证明
16．、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝
32
2. (1)求A 的值；
(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭
⎫π
6－θ.
18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满
足函数关系：
f (t )＝10－3cos π12t －sin π
12
t ，t ∈[0，24)．
(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．
18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭
⎫π
12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×
⎝⎛⎭⎫－12－32
＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.
(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭
⎫32cos π12t ＋12sin π
12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，
又0≤t <24，
所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭
⎫π12t ＋π
3≤1.
当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π
3＝1；
当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭
⎫π12t ＋π
3＝－1.
于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 5．、[2014·江苏卷] 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横
坐标为π
3
的交点，则φ的值是________．
5.
π6 [解析] 将x ＝π3分别代入两个函数，得到sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝12
，解得2
3π＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或2
3π＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，化简解得φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )或φ＝π6＋2k π
(k ∈Z )．又φ∈[0，π)，故φ＝π
6
.
15．[2014·江苏卷] 已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝5
5.
(1)求sin ⎝⎛
⎭⎫π
4＋α的值； (2)求cos ⎝⎛
⎭
⎫5π
6－2α的值． 15．解： (1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝5
5，
所以cos α＝－1－sin 2α＝－2 5
5.
故sin ⎝⎛⎭⎫π
4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝
22×⎝⎛⎭⎫－2 55＋22×55＝－10
10. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×
5
5
× ⎝
⎛⎭⎫－2 55＝－45，
cos 2α＝1－2sin 2
α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35
，
所以cos ⎝⎛
⎭
⎫5π
6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝ ⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭
⎫－45＝－4＋3 310.
16．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭
⎫π
4＝0，其
中a ∈R ，θ∈(0，π)．
(1)求a ，θ的值；
(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝
⎛⎭⎫α＋π3的值． 16．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2
x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所
以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π
2
，
所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2
x )．
由f ⎝⎛⎭
⎫π
4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.
(2)由(1)得，f (x )＝－1
2
sin 4x .
因为f ⎝⎛⎭
⎫α4＝－12sin α＝－25，
所以sin α＝4
5，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，
从而cos α＝－3
5
，
所以有sin ⎝
⎛⎭⎫α＋π
3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3 310.
17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知
BA →·BC →
＝2，cos B ＝13
，b ＝3.求：
(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．
17．解：(1)由BA →·BC →
＝2，得c ·a cos B ＝2，
又cos B ＝1
3
，所以ac ＝6.
由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.
联立⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.
(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223
.
由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝42
9
.
因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝
1－⎝⎛⎭⎫4292
＝79
. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝ 13×79＋2 23×4 29＝2327.
21．、[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )＝π(x －cos x )－2sin x －2，g (x )＝(x －π)1－sin x
1＋sin x
＋
2x
π
－1.证明： (1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，使f (x 0)＝0；
(2)存在唯一x 1∈⎝⎛⎭
⎫π
2，π，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1＞π.
21．证明：(1)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＝π＋πsin x －2cos x ＞0，所以f (x )在区间⎝
⎛⎭⎫0，π
2上为增函数．又f (0)＝－π－2＜0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝π22－4＞0，所以存在唯一x 0∈⎝
⎛⎭⎫0，π2，使f (x 0)
＝0.
(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，化简得g (x )＝(π－x )·cos x 1＋sin x ＋2x
π
－1.
令t ＝π－x 则t ∈⎣
⎡⎦⎤0，π
2.记u (t )＝g (π－t )＝
－
t cos t 1＋sin t －2
πt ＋1，则u ′(t )＝f （t ）π（1＋sin t ）
.
由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u ′(t )＜0；当t ∈⎝⎛⎭⎫x 0，π2时，u ′(t )＞0.所以在⎝
⎛⎭⎫x 0，π
2上u (t )
为增函数，由u ⎝⎛⎭⎫π2＝0知，当t ∈⎣⎡⎭⎫x 0，π2时，u (t )＜0，所以u (t )在⎣
⎡⎭⎫x 0，π
2上无零点．
在(0，x 0)上u (t )为减函数，
由u (0)＝1及u (x 0)＜0知存在唯一t 0∈(0，x 0)，使u (t 0)＝0.
于是存在唯一t 0∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，使u (t 0)＝0.
设x 1＝π－t 0∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则g (x 1)＝g (π－t 0)＝u (t 0)＝0.因此存在唯一的x 1∈⎝⎛⎭
⎫π
2，π，
使g (x 1)＝0.
由于x 1＝π－t 0，t 0＜x 0，所以x 0＋x 1＞π.
12．，[2014·山东卷] 函数y ＝3
2
sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 12．π [解析] 因为y ＝
3
2sin 2x ＋1＋cos 2x 2
＝ sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π6＋1
2，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π .
17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎫3x ＋π
4.
(1)求f (x )的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝4
5cos ⎝
⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．
17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦
⎤－π2＋2k π，π
2＋2k π，k ∈Z ，
由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3
，k ∈Z ，
所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤
－π4
＋2k π3，π12＋
2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝
⎛⎭⎫α＋π4＝4
5cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．
所以sin αcos π4＋cos αsin π
4＝
45⎝⎛
⎭
⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝4
5
(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π
4
＋2k π，k ∈Z .
此时，cos α－sin α＝－ 2.
当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝5
4
.
由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－5
2
.
综上所述，cos α－sin α＝－2或－5
2.
16．[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 a －c ＝
6
6
b ，sin B ＝6sin C .
(1)求cos A 的值；
(2)求cos ⎝
⎛⎭⎫2A －π
6的值．
16．解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝c
sin C
，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝
6
6
b ，有a ＝2
c . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝6
4. (2)在△ABC 中，由cos A ＝
64，可得sin A ＝104.于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－1
4
，sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝
15
4
. 所以cos ⎝
⎛⎭⎫2A －π
6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.
C8 解三角形
18．[2014·浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin 2
A －B
2
＋4sin A sin B ＝2＋ 2.
(1)求角C 的大小；
(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值． 18．解：(1)由已知得
2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2， 化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B ＝2， 故cos(A ＋B )＝－
22
， 所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π
4.
(2)因为S △ABC ＝1
2
ab sin C ，
由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π
4
，得a ＝3 2.
由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10. 16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值． 16．解： 由三角形面积公式，得
12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±
1－89＝±1
3
. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×1
3
＝8，
所以a ＝2 2.
②当cos A ＝－1
3时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.
12．[2014·北京卷] 在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝1
4，则c ＝________；sin A ＝________．
12．2
158 [解析] 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2×2×1×1
4
＝4，即c ＝2；cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4＋4－12×2×2＝7
8
，∴sin A ＝
1－⎝⎛⎭⎫782＝158
.
14．[2014·福建卷] 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________．
14．1 [解析] 由BC sin A ＝AC
sin B ，得sin B ＝2sin 60°3＝1，
即B ＝90°，所以△ABC 为以AB ，BC 为直角边的直角三角形， 则AB ＝AC 2－BC 2＝22－（3）2＝1，即AB 等于1.
7．、[2014·广东卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”
是“sin A ≤sin B ”的( )
A ．充分必要条件
B ．充分非必要条件
C ．必要非充分条件
D ．非充分非必要条件 7．A [解析] 设R 是三角形外切圆的半径，R ＞0，由正弦定理，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ．故选A.
∵sin ≤A sin B ，∴2R sin A ≤2R sin B ，∴a ≤b .同理也可以由a ≤b 推出sin A ≤sin B .
13．[2014·湖北卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π
6
，a
＝1，b ＝3，则B ＝________．
13.π3或2π3 [解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即1sin π6
＝3sin B
，解得sin B ＝32.又因为b >a ，所以B ＝π3或2π
3
.
19．、、[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC
＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π
3
.
(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．
图1-4
19．解：设∠CED ＝α.
(1)在△CDE 中，由余弦定理，得
EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，
于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．
在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CD
sin α
.
于是，sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×
3
27＝21
7，即
sin ∠CED ＝
217
. (2)由题设知，0＜α＜π
3
，于是由(1)知，
cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝27
7
.
而∠AEB ＝2π
3
－α，所以
cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭
⎫2π
3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α
＝－12cos α＋3
2sin α
＝－12×277＋32×217＝714
.
在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2
BE
，故
BE ＝2cos ∠AEB ＝2
7
14
＝47.
14．、[2014·江苏卷] 若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是______．
14.
6－2
4
[解析] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则由正弦定理得a ＋2b ＝2c .故
cos C ＝a 2
＋b 2
－c
2
2ab
＝
a 2
＋b 2
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋2b 222ab
＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab ＝34a 2＋12b 22ab －24
≥
2
34a 2·12b 2
2ab －2
4＝6－24
，
当且仅当3a 2＝2b 2，即a b ＝2
3
时等号成立．
18．、、、[2014·江苏卷] 如图1-6所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝4
3
.
(1)求新桥BC 的长．
(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？
图1-6
18．解： 方法一：
(1)如图所示， 以O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系xOy .
由条件知A (0, 60), C (170，0)，
直线 BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－4
3.
又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB ＝3
4.
设点 B 的坐标为(a ，b )，
则k BC ＝b －0a －170＝－4
3， k AB ＝b －60a －0＝34，
解得a ＝80, b ＝120，
所以BC ＝（170－80）2＋（0－120）2＝150.
因此新桥BC 的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM ＝d m (0≤d ≤60)． 由条件知， 直线BC 的方程为y ＝－4
3
(x －170)，
即4x ＋3y －680＝0.
由于圆M 与直线BC 相切， 故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ，
即r ＝|3d － 680|42＋32
＝680－3d 5.
因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩
⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，
r －（60－d ）≥80，
即⎩⎨5
680 － 3d
5－（60－d ）≥80，
解得10≤d ≤35.
故当d ＝10时， r ＝680 － 3d
5最大， 即圆面积最大，
所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 方法二：
(1)如图所示， 延长 OA, CB 交于点F .
因为 tan ∠FCO ＝4
3
，
所以sin ∠FCO ＝45， cos ∠FCO ＝3
5.
因为OA ＝60，OC ＝170，
所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803， CF ＝OC cos ∠FCO ＝8503， 从而AF ＝OF －OA ＝500
3.
因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝4
5
.
又因为 AB ⊥BC ，所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝400
3
， 从而BC ＝CF －BF ＝150.
因此新桥BC 的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ，连接 MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD ＝r m ，OM ＝d m (0≤d ≤60)．
因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO .
故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r 6803－d ＝3
5， 所以r ＝680－3d 5
.
因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，
即⎩⎨5
680－3d
5－（60－d ）≥80，
解得10≤d ≤35.
故当d ＝10时， r ＝680 － 3d
5
最大，即圆面积最大，
所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 5．[2014·江西卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A
sin 2A
的值为( )
A ．－19 B.13 C ．1 D.72
5．D [解析] 由正弦定理得，原式＝2b 2－a 2a 2
＝2⎝⎛⎭⎫b a 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫322－1＝72
. 17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知
BA →·BC →
＝2，cos B ＝13
，b ＝3.求：
(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．
17．解：(1)由BA →·BC →
＝2，得c ·a cos B ＝2，
又cos B ＝1
3
，所以ac ＝6.
由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.
联立⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2.
因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.
(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223
.
由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝42
9
.
因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝
1－⎝⎛⎭⎫4292＝79
. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝ 13×79＋2 23×4 29＝2327. 18．、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝1
3
，求B .
18．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝1
3，
所以cos C ＝2sin C ， 所以tan C ＝1
2
，
所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝
tan A ＋tan C
tan A tan C －1
＝－1，
所以B ＝135°. 17．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.
(1)求C 和BD ；
(2)求四边形ABCD 的面积． 17．解：(1)由题设及余弦定理得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．②
由①②得cos C ＝1
2，故C ＝60°，BD ＝7.
(2)四边形ABCD 的面积
S ＝12AB ·DA sin A ＋1
2BC ·CD sin C ＝⎝⎛⎭
⎫12×1×2＋1
2×3×2sin 60°＝2 3. 16．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-3，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C
为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°，以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.
图1-3
16．150 [解析] 在Rt △ABC 中，BC ＝100，∠CAB ＝45°，所以AC ＝100 2.在△MAC
中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，所以∠AMC ＝45°，由正弦定理有AM sin ∠MCA ＝AC
sin ∠AMC ，
即AM ＝sin 60°
sin 45°
×100 2＝1003，于是在Rt △AMN 中，有MN ＝sin 60°×1003＝150 .
17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝
6
3，B ＝A ＋π2
. (1)求b 的值；
(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中，。