2015届高考文科数学第二轮高效课时检测试卷13

课时跟踪训练
1．在等差数列{a n }中，a 4＝2，则前7项的和S 7等于( ) A ．28 B ．14 C ．3.5
D ．7
解析：S 7＝7×(a 1＋a 7)2＝7×2a 4
2＝7a 4＝14，故选B.
答案：B
2．在等比数列{a n }中，若a 4，a 8是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则a 6的值是( ) A ．±2 B ．－ 2 C. 2
D ．±2
解析：依题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 4＋a 8＝3＞0
a 4a 8＝2＞0，因此a 4＞0，a 8＞0，a 6＝a 4a 8＝2，选C.
答案：C
3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＋3a 8＋a 12＝120，则2a 11－a 14＋S 15＝( ) A ．384 B ．382 C ．380
D ．352
解析：由a 4＋3a 8＋a 12＝120得5a 8＝120，即a 8＝24，∴S 15＝15×a 1＋a 152＝15×2a 8
2＝15a 8
＝360，∴2a 11－a 14＋S 15＝a 14＋a 8－a 14＋S 15＝384.
答案：A
4．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S n
a n ＝( )
A ．4n －
1
B ．4n －1
C ．2n －
1
D ．2n －1
解析：设{a n
}的公比为q ，∵⎩⎨⎧
a 1＋a 3＝
5
2
a 2
＋a 4
＝5
4
∴⎩⎨⎧
a 1＋a 1q 2＝5
2
①
a 1
q ＋a 1q 3
＝5
4
②
，由①②可得1＋q 2
q ＋q
3＝2， ∴q ＝1
2
，代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝42n ，
∴S n ＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12
＝4⎝⎛⎭⎫
1－12n ，
∴S n a n
＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 42n
＝2n －1，选D.
答案：D
5．(2014年大庆模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( )
A ．a 2 014＝－1，S 2 014＝2
B ．a 2 014＝－3，S 2 014＝5
C ．a 2 014＝－3，S 2 014＝2
D ．a 2 014＝－1，S 2 014＝5
解析：由已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，知a n ＋2＝a n ＋1－a n ，a n ＋2＝－a n －
1(n ≥2)，a n ＋3＝－a n ，a n ＋6＝a n ，又
a 1＝1，a 2＝3，a 3＝2，a 4＝－1，a 5＝－3，a 6＝－2，所
以当k ∈N 时，a k ＋1＋a k ＋2＋a k ＋3＋a k ＋4＋a k ＋5＋a k ＋6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，a 2 014＝a 4＝－1，S 2 014＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋3＋2＋(－1)＝5.
答案：D
6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 8＝13，S 7＝35，则a 8＝( ) A ．8 B ．9 C ．10
D ．11
解析：设a n ＝a 1＋(n －1)d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧
2a 1＋9d ＝13
7a 1＋21d ＝35，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝2
d ＝1，所以a 8＝9.
答案：B
7．(2014年荆州二模)已知数列{a n }，则“{a n }为等差数列”是“a 1＋a 3＝2a 2”的( ) A ．充要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分而不必要条件 D ．既不充分也不必要条件
解析：若{a n }为等差数列，则a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，所以a 1＋a 3＝2a 2；反之，若a 1＋a 3＝2a 2，则只能证明a 1，a 2，a 3成等差数列，并不能保证{a n }为等差数列．故选C.
答案：C
8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n ＝4(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)，a 1a 2a 3＝27，则数列{a n }的通项公式是( )
A ．a n ＝3n ＋
1
B ．a n ＝2·3n －
1
C ．a n ＝3n －1
D ．a n ＝3n
解析：由a 1a 2a 3＝27得a 32＝27，所以a 2＝3，因为S 2n ＝4(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)，所以n ＝1时，有S 2＝a 1＋a 2＝4a 1，得a 1＝1，从而公比q ＝3，所以a n ＝a 1q n －1＝3n －1.故选C.
答案：C
9．已知函数f (x )＝(1－3m )x ＋10(m 为常数)，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且a 1＝2，则数列{a n }前100项的和为( )
A ．39 400
B ．－39 400
C ．78 800
D ．－78 800
解析：∵a 1＝f (1)＝(1－3m )＋10＝2，∴m ＝3，∴a n ＝f (n )＝－8n ＋10，∴S 100＝－8(1＋2＋…＋100)＋10×100＝－8×101×100
2
＋10×100＝－39 400，故选B.
答案：B
10．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8
a 7＜－1，则( )
A ．S n 的最大值是S 8
B ．S n 的最小值是S 8
C ．S n 的最大值是S 7
D ．S n 的最小值是S 7
解析：由(n ＋1)S n ＜nS n ＋1得(n ＋1)n (a 1＋a n )2＜n (n ＋1)(a 1＋a n ＋1)
2，整理得a n ＜a n ＋1，所以
等差数列{a n }是递增数列，又a 8
a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，所以数列{a n }的前7项为负值，
即S n 的最小值是S 7，故选D.
答案：D
11．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．
解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 1,2S 2,3S 3成等差数列得，4S 2＝S 1＋3S 3，∴4(a 1
＋a 1q )＝a 1＋3a 1＋3a 1q ＋3a 1q 2，解之得，q ＝1
3
(q ＝0舍去)．
答案：13
12．(2014年安徽高考)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.
解析：解法一 因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5也成等差数列，又a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5是常数列，故q ＝1.
解法二 因为数列{a n }是等差数列，所以可设a 1＝t －d ，a 3＝t ，a 5＝t ＋d ，故由已知得(t ＋3)2＝(t －d ＋1)(t ＋d ＋5)，得d 2＋4d ＋4＝0，即d ＝－2，所以a 3＋3＝a 1＋1，即q ＝1.
答案：1
13．数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1
a n
，若b 10·b 11＝2，则a 21＝________.
解析：∵b 1＝a 2a 1＝a 2，b 2＝a 3a 2，∴a 3＝b 2a 2＝b 1b 2，∵b 3＝a 4
a 3
，∴a 4＝b 1b 2b 3，…，a n ＝b 1b 2b 3·…·b n
－1，∴a 21＝b 1b 2b 3·
…·b 20＝(b 10b 11)10＝210＝1 024. 答案：1 024
14．(2014年北京高考)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9＞0，a 7＋a 10＜0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．
解析：∵数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，∴a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，∴a 9＜0.∴当n ＝8时，其前n 项和最大．
答案：8
15．已知数列{a n }(n ＝1,2,3，…，2 012)，圆C 1：x 2＋y 2－4x －4y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2a n x －2a 2 013－n y ＝0，若圆C 2平分圆C 1的周长，则{a n }的所有项的和为________．
解析：设圆C 1与圆C 2交于A ，B 两点，则直线AB 的方程为：x 2＋y 2－4x －4y －(x 2＋y 2
－2a n x －2a 2 013－n y )＝0，
化简得：(a n －2)x ＋(a 2 013－n －2)y ＝0.
又圆C 2平分圆C 1的周长，则直线AB 过C 1(2,2)，将C 1(2,2)代入AB 的方程得：a n ＋a 2 013
－n ＝4，
∴a 1＋a 2＋…＋a 2 012＝(a 1＋a 2 012)＋(a 2＋a 2 011)＋…＋(a 1 006＋a 1 007)＝1 006×4＝4 024. 答案：4 024
16．(2014年贵阳一模)已知等差数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，满足2S 2
＝a 2(a 2＋1)，且a 1＝1，则2S n ＋13
n
的最小值是________．
解析：由2S 2＝a 2(a 2＋1)得2(a 1＋a 2)＝a 2
2＋a 2，因为a 1＝1，所以a 22－a 2－2＝0，解得a 2
＝2(舍去a 2＝
－1)，所以公差d ＝1，所以S n ＝n (n ＋1)2，所以2S n ＋13n ＝n 2＋n ＋13n ＝n ＋13n ＋1.由基本
不等式知n ＋13n ≥213，当且仅当n ＝13n ，即n ＝13时，n ＋13
n 取得最小值，又n ∈N *，所
以n ＝3时，n ＋13n ＝223，n ＝4时，n ＋13n ＝294，因为223＞294，所以当n ＝4时，n ＋13
n 取得最
小值294，所以2S n ＋13n 的最小值为33
4
.
答案：334
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。

佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。

东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。

莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。