小专题复习课(二)

热点三：正余 弦定理及解三 角形
热点四：向量 的数量积
热 点 聚 焦
考 情 播 报 1.本考点中以向量共线、垂直的充要条件为主要考查对象，
热点五：向量 共线、垂直的 充要条件
常与三角函数、解三角形、解析几何等交汇命题 2.题型以选择题、填空题为主，有时也作为条件出现在解
答题中，突出考查向量的应用，属中低档题
cos45cos45abad????2abacadabadacad???????????????????????????????????????ac????ad????答案
小专题复习课（二）
三角函数、解三角形、平面向量、复数
热 点 聚 焦
考 情 播 报 1.利用同角三角函数的基本关系、三角函数的诱导公式、 两角和与差以及二倍角的三角函数进行三角恒等变换是 高考的热点之一.特别是给值求值问题，在考题中多有 涉及 2.多以选择题、填空题的形式考查求值问题，也可作为 解题的步骤出现在解答题中，属中档题 1.重点考查正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性 质，具体考查：①涉及三角函数的性质：定义域、值域 (最值)、单调性、奇偶性和周期性；②两种作图方法： “五点法”和变换作图(平移、对称、伸缩)；③已知三 角函数的部分图象求解析式 2.从考查形式看，三种题型都可能出现，属中档题
2 2 3 3
∵ α ( π , π),
2
∴ cos α 1 sin 2α 1 1 2 2 .
9 3
π 2 2 ∴α+β∈( π , 3π ), 2 2 又sin(α+β)=- 3 ,得cos(α+β)=- 4 . 5 5
(2)∵α∈( , π ),β∈( 0, π ),
(A)［ kπ π , kπ 5π ］,k∈Z
12 12 (B)［ kπ 5π , kπ 11π ］,k∈Z 12 12 (C)［ kπ π , kπ π ］,k∈Z 3 6
(D)［kπ π , kπ 2 π ］,k∈Z
6 3
【解析】选C.f(x)=2sin(ωx+ π )，
∴sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C
2 1 1 3 2 2 3 2 . 3 2 3 2 6
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热点 三
正余弦定理及解三角形 )
1.在△ABC中，AB=7，BC=5，CA=6，则 AB BC =( (A)-19 (B)19 (C)-38 (D)38
∴sin β=sin［(α+β)-α］ =sin(α+β)·cos α-cos(α+β)·sin α
3 2 2 4 1 6 2 4 ( ) ( ) ( ) . 5 3 5 3 15
4.如图，以Ox为始边作角α 与β (0＜β ＜α ＜π )，它们的终 边分别与单位圆相交于点P，Q，
2
5
5
1

sin α cos α
2cos α(sin α cos α) 2cos 2 α sin α cos α cos α
3 18 2 ( ) 2 . 5 25
(2)∵ OP OQ 0, ∴ α β π , ∴ β α π ,
∴sin β=sin(α- π )=-cos α= 3 ,
2
3 3
(2)因为B为锐角，所以B=
2 2
π . 3
由a=6,S= 6 3 ,得 1 ac 3 6 3, ∴c=4.
π 3 =36+16-2×6×4×1 =28, 2
由b2=a2+c2-2accos
∴ b 28 2 7.
热点 四
向量的数量积
1.(2012·重庆高考)设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2)， 且 a ⊥ b, 则 | a + b| ＝ (
(B) 4 2 3
【解析】选A.sin A=sin 75°=sin(30°+45°) =sin 30°cos 45°+sin 45°cos 30° 2 6 ,
4
由 a c 6 2 可知，C=75°, 所以B=30°,sin B=
1 , 2
由正弦定理得 b
a sin B sin A
4
(D) π
2
4.设函数f(x)=cos(2x+ π )+sin2x.
3
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期. (2)设A，B，C为△ABC的三个内角，若cos B= 1 ,f( C )=- 1 ，
3 2 4
且C为锐角，求sin A. 【解析】(1)f(x)=cos(2x+ π )+sin2x =cos2xcos π -sin 2xsin π + 1 cos 2x
4 ). 已知点P的坐标为( 3， 5 5
(1)求 sin 2α cos 2α 1 的值.
1 tan α
(2)若 OP OQ 0， 求sin(α +β ).
【解析】(1)由三角函数定义得 cos α 3 ,sin α 4 , ∴原式 2sin αcos α 2cos α
(A) 2 3
)
(B) 2 3 (C) 1 2 (D) 1 2
【解析】选B.由图象可得最小正周期为 2 π ,
3 于是f(0)=f( 2 π ),注意到 2 π 与 π 关于 7 π 对称， 2 3 12 3 所以 f ( 2π ) f ( π ) 2 . 3 2 3
3.如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点( 那么|φ|的最小值为( (A) π
1.试题主要体现对复数代数形式的四则运算的考查，以考 热点六：复数 的运算 查乘除运算为主 2.题型主要以选择题、填空题为主，考查学生的运算能力， 属容易题
热点 一
简单的三角恒等变换
25 2 π 2cos( α) 的值为( 4 (D) 1 5
π 1.已知 sin 2α 24 ， 0＜α＜ , 则 (A) 1 5 (B) 1 5 (C) 7 5
)
【解析】选C.∵ 2cos( π α) sin α cos α,
4 π 2 ∴ ［ 2cos( α)］ (sin α cos α) 2 4 1 sin 2α 1 24 49 . 25 25 2 4 4 4
∵0＜α＜ π .∴- π ＜-α＜0,- π＜ π -α＜ π ,
6
由题设知f(x)的周期为T=π,∴ω=2, 由 2kπ π 2x π 2kπ π ， k∈Z
2 6 2
得 kπ π x kπ π , k Z.
3 6
2.已知函数f(x)=Acos(ω x+φ) 的图象如图所示，f ( π ) 2 ,
2 3
则f(0)=(
(A) 5 (B) 10
)
(D)10
(C)2 5
【解析】选B.a⊥b⇒a·b=0⇒x-2=0⇒x=2, ｜a+b｜=|(2,1)+(1,-2)| 32 (1)2 10.
2.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的 a=(m,n)，b=(p,q)，令a⊙b=mq-np，下面说法错误的是( (A)若a与b共线，则a⊙b=0 (B)a⊙b=b⊙a (C)对任意的λ ∈R，有(λ a)⊙b=λ (a⊙b) (D)(a⊙b)2+(a·b)2=|a|2|b|2 )
【解析】选B.若a与b共线，则有a⊙b=mq-np=0，故A正确； 因为b⊙a=pn-qm，而a⊙b=mq-np，所以a⊙b=b⊙a不一定成 立，选项B错误.对于C，由于λa=(λm,λn),因此(λa)⊙b =λmq-λnp，又λ(a⊙b)=λ(mq-np)=λmq-λnp,故C正确. 对于D，(a⊙b)2+(a·b)2=m2q2-2mnpq+n2p2+(mp+nq)2= m2(p2+q2)+n2(p2+q2)=(m2+n2)(p2+q2)=|a|2|b|2,故D正确. 故选B.
2 π π ∴cos( -α)＞0,∴ 2 cos( -α)= 7 . 4 4 5
2．在△ABC中，A，B为锐角，角A，B，C所对的边分别为a,b,c， 且sin A=
5 sin B= , 5 10 则A+B=_______. ， 10 5 sin B= 10 ， , 10 5
10
【解析】∵A,B为锐角，sin A=
π 4 B 2
【解析】(1)由m· n= 3 1 得 4sin Bcos 2 ( π B ) cos 2B 3 1.
π 1 cos( B) 2 ∴ 4sin B 1 2sin 2 B 3 1. 2
4 2
∴2sin B-1= 3 1 .
∴sin B= 3 ，∴B= π 或 B 2 π .
2 2 2 BA BC CA 【解析】选A.∵ cos B 2AB BC 2 2 2 7 5 6 19 , 2 75 35
∴ AB BC BA BC | BA | | BC | cos B
19 7 5 19. 35
2.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,a c 6 2, A=75°,则b=( (A)2 ) (C)4 2 3 (D) 6 2
6
4π ,0)中心对称， 3
) (C) π
3
(B) π
4π 【解析】选A.∵函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点( ,0) 3 中心对称，∴ 2 4π φ kπ π k Z , 3 2 ∴ φ kπ 13π k Z , 6 π 由此易得|φ|min= . 6
3 3 3 2

所以函数f(x)的最大值为 1 3 , 最小正周期为π.
2
1 3 sin 2x. 2 2
(2) f ( C ) 1 3 sin C 1 , 所以 sin C 3 ,
4 因为C为锐角，所以 C π . 3 2 2 2
2
1 2 又因为在△ABC中， cos B , sin B 2, 3 3
热点一：简单的 三角恒等变换
热点二：三角函 数的图象与性质
热 点 聚 焦
考 情 播 报 1.利用正余弦定理解三角形，以及以三角形为背景的三角 函数求值、化简等是考查的热点，具体为：利用正余弦定 理判断三角形的形状及求值问题，且常与三角恒等变换综 合考查 2.从考查形式看，三种题型都可能出现，且主要以解答题 为主，多涉及实际测量等应用问题，属中档题 1.向量的数量积是高考考查的重点和热点，是每年必考的 内容.考查的形式主要有两类：一是考查数量积的计算， 运用数量积解决夹角、垂直、长度问题；二是以数量积为 工具解决三角函数、解析几何中的有关问题.另外，与向 量有关的创新试题在近几年的高考中也多有出现 2.考查题型主要以选择题、填空题为主，主要考查数量积 的应用，属于中低档题
2 6 1 2. 2 6 2 4
3.已知在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C所对的边， S是该三角形的面积，若向量m=(2sin B,cos 2B), n=( 2cos 2 ( ), 1 ),且m·n= 3 1. (1)求角B的大小. (2)若B为锐角， a 6,S 6 3, 求b的值.
3.已知α ∈( π , π ),且 sin α cos α 2 3 .
2
2
2
3
(1)求cos α 的值. (2)若 sin(α β) 3 , β (0, π ), 求sin β 的值.
5 2
【解析】(1)∵ sin α cos α 2 3 ,
2 2 3
∴ 1 2sin α cos α 4 ,sin α 1 .
∴ cos A 1 sin 2 A 2 5 ,cos B 1 sin 2B 3 10 ,
5
cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B
2 5 3 10 5 10 2 . 5 10 5 10 2 ∵0＜A+B＜π,∴A+B= π . 4 π 答案： 4
2 2 2 5
cos β=cos(α- π )=sin α= 4 ,
2 5
∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
4 4 3 3 7 ( ) . 5 5 5 5 25
热点 二
三角函数的图象与性质
1.已知函数f(x)= 3 sin ω x+cos ω x(ω ＞0),y=f(x)的图象 与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π ,则f(x)的单调递增 区间是( )