不等式概念及性质知识点详解与练习

不等式的概念及性质知识点详解及练习
一、不等式的概念及列不等式
不等式⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→→≤≥≠→→表示出不等关系列出代数式设未知数步骤列不等式””、“”、“”、“”、““不等号概念 1、不等式的概念及其分类
（1）定义：用“＞”、“﹤”、“≠”、“≥”及“≤”等不等号把代数式连接起来，表示不等关系的式子。

a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b 。

?
（2）分类：①矛盾不等式：不等式只是表示了某种不等关系，它表示的关系可能在任何条件下都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式；如2＞3，x 2﹤0
②绝对不等式：它表示的关系可能在任何条件下都成立，这样的不等式叫绝对不等式； ③条件不等式：在一定条件下才能成立的不等式叫条件不等式。

（3）不等号的类型：
①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小； ②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；
③“﹤”读作“小于”， 它表示左边的数比右边的数小；
④“≥”读作“大于或等于”， 它表示左边的数不小于右边的数；
⑤“≤”读作“小于或等于”， 它表示左边的数不大于右边的数；
注意：要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。

（4）常见不等式基本语言的含义：
①若x ＞0，则x 是正数；②若x ﹤0，则x 是负数；③若x ≥0，则x 是非负数；④若x ≤0，则x 是非正数；⑤若x-y ＞0，则x 大于y ；⑥若x-y ﹤0，则x 小于y ；⑦若x-y ≥0，则x 不小于y ；⑧若x-y ≤0，则x 不大于y ；⑨若xy ＞0（或y
x ＞0），则x ，y 同号；⑩若xy ﹤0（或y
x ﹤0），则x ，y 异号； （5）等式与不等式的关系：
等式与不等式都用来表示现实中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。

2、列不等式：
（1）根据已知条件列不等式，实际上就是用不等式表示代数式间的不等关系，重点是抓住关键词，弄清不等关系。

例2：已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-+=+9
2142x y x m y ，试列出使x ≤y 成立的关于m 的不等式
二、不等式的解和解集
1、相关概念：
①不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；
②不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围叫做不等式的解的集合，简称解集； ③解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式；
2、不等式的解和解集的区别与联系：
区别：不等式的解是一些具体数值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示。

联系：不等式的每一个解都在它的解集的范围内。

3、用数轴表示不等式的解集：
①x ≥-2表示为：
②x ≤-2表示为：
③x ﹤2表示为： ④x ＞2表示为： 特别提示：用数轴表示不等式的解集要注意两点：①定界点：一般在数轴上只标出原点和界点即可，定边界点时要注意点是实心还是空心，若边界点含于集合为实心点，不含于解集为空心点；②定方向：“小于向左，大于向右”。

例1、表示不等式组的解集如图所示，则不等式组的解集是 _________ ． 例2、x 的解集在数轴上表示为如图所示的不等式组，求x 的解集
三、不等式的性质?
1、不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。

（1）不等式基本性质有：?
①一个数大于另一个数，则另一个数一定小于这个数；若a>b b<a (对称性)? ②一个数大于另一个数，另一个数大于其它数，则这个数一定大于其它数；若a>b, b>c a>c (传递性)? ③不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；a>b a+c>b+c (c ∈R)? ④不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；c>0时，a>b ac>bc ?
⑤不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变；c<0时，a>b ac<bc 。

?
特别提示：①、在不等式两边同乘以（或除以）同一个数（或式）时，必须先确定这个数的性质符号，然后再确定是否改变不等号的方向；
②、如果不等式乘以0，那么不等号改为等号，所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不能为0，否则不等
式不成立;
（2）、运算性质有：?
① a>b, c>d a+c>b+d 。

?
② a>b>0, c>d>0ac>bd 。

?
③ a>b>0a n >b n ?(n ∈N, n>1)。

?
④a>b>0>(n ∈N, n>1)。

? 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。

一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。

解不等式就是施行一系列的等价变换。

因此，要正确理解和应用不等式性质。

?
2、不等式与等式性质的关系
3、不等式性质的应用：主要有以下三类问题：?
(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。

?
(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。

?
(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。

例1、试判断4m 2+4m+5和2(2m+1)的大小?
例2、若关于x 的不等式（1-a ）x ＞2可化为x ＜a
-12,试确定a 的取值范围 不等式的概念及性质练习题
一、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）
1、不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变。

（ ）
2、如果a ＞b ，那么3－2a ＞3－2b 。

（ ）
3、如果a 是有理数，那么－8a ＞－5a 。

（ ）
4、如果a ＜b ，那么a 2＜b 2。

（ ）
5、如果a 为有理数，则a ＞－a 。

（ ）
6、如果a ＞b ，那么ac 2＞bc 2。

（ ）
7、如果－x ＞８，那么x ＞－8。

（ ）
8、若a ＜b ，则a ＋c ＜b ＋c 。

（ ）
9、0,0,0x x y y
><<则
（ ） 10、若10,()02
x y y x >>->则 （ ） 11、若22,0,0a b c ac bc <<-<则 （ ） 12、若22,xz yz x y >>则 （ ）
13、若,0a b a b ->>则 （ ）
14、若,c ab c a b >>
则 （ ） 15、若12,12a a
>->-则 （ ） 二、填空题
1、若a b >，则12a -
12
b -，21a + 21b + 2、当a 0时，0b <时，0ab <
3、若0,2x y x +<-则 2
y - 4、若22ac bc >，则3a - 3b - 5、实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：
a －b____0， a ＋b____0，ab____0，a 2____
b 2，
a 1____
b 1，︱a ︱____︱b ︱ 6、若a ＜b ＜0，则2
1（b －a ）____0 7、用不等式表示“a 的5倍与b 的和不大于8”为 _______.
8、a 是个非负数可表示为_______.
9、若0,b a >>1则-
a 1b
- 10、若32,a a -≥则a 0 三、选择题
1、在数学表达式①-3<0;②4x+5>0; ③x=3; ④x 2+x; ⑤ x ≠-4;⑥ x+2>x+1是不等式的有
( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
2、若m ＜ｎ，则下列各式中正确的是（ ）
A ．m －3＞ｎ－3
B 。

3m ＞3n
C 。

－3m ＞－3n
D 。

m ／3－1＞n ／3－1
3、若a ＜0，则下列不等关系错误的是（ ）
A ．a ＋5＜a ＋7
B 。

5a ＞7a
C 。

5－a ＜7－a
D 。

a ／5＞a ／7
4、下列各题中，结论正确的是（ ）
A ．若a ＞0，b ＜0，则b ／a ＞0
B ．若a ＞b ，则a －b ＞0
C ．若a ＜0，b ＜0，则ab ＜0
D ．若a ＞b ，a ＜0，则b ／a ＜0
5、下列变形不正确的是（ ）
A ．若a ＞b ，则b ＜a
B ．－a ＞－b ，得b ＞a
C ．由－2x ＞a ，得x ＞－a ／2
D ．由x ／2＞－y ，得x ＞－2y
6、有理数b 满足︱b ︱＜3，并且有理数a 使得a ＜b 恒成立，则a 得取值范围是（ ）
A ．小于或等于3的有理数
B ．小于3的有理数
C ．小于或等于－3的有理数
D ．小于－3的有理数
7、若a －b ＜0，则下列各式中一定成立的是（ ）
A ．a ＞b
B ．ab ＞0
C ．a ／b ＜0
D ．－a ＞－b
8、若a b >，且0c <，那么在下面不等式①a c b c +>+②ac bc >③a b c c ->-④22ac bc <中成立的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9、已知a 、b 、c 都是实数，并且a>b>c ，那么下列式子中正确的是（ ）
A ．ab bc >
B ．a b b c +>+
C ．a b b c ->-
D ．a b c c
> 10、下列由题意列出的不等关系中, 错误的是( )
A. a 不是是负数可表示为a>0
B. x 不大于3可表示为x ≤<3
C. m 与4的差是非负数, 可表示为x-4≥0
D. 代数式 x 2+3必大于3x-7，可表示为x 2+3>3x-7
四、解答题
1、用不等式表示下列数量关系。

（1）a 与b 的和大于a 的2倍。

（2）a 的12与b 的13
的差是负数。

（3）x 与y 之和的绝对值不大于x 的一半的相反数 （4）a 与b 两数和的平方不能大于3。

（5）3x 的绝对值不小于5。

（6）a 的6倍与3的差不大于1。

2、若,a b <试比较2ac 与2bc 的大小，ac 与bc 的大小。

3、若a ba <且a 是负数，求b 的取值范围。

五、应用题
1、某校规定期中考试成绩的40%和期末考试成绩的60%的和作为学生成绩总成绩.该校骆红同学期中数学靠了85分,她希望自己学期总成绩不低于90分,她在期末考试中数学至少应得多少分?
2、某次数学测验,共有16道选择题,评分方法是:答对一题得6分,不大或答错一题扣2分,某同学要想得分为60分以上,他至少应答对多少道题?(只列关系式)
3、有一个两位数，个位上的数是m ，十位上的数是n ，如果把这个两位数的个位数与十位数对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么m 与n 哪个大？。