2015高考数学一轮精品课件：7.1 不等关系与不等式

考纲要求
探究突破
巩固提升
2.不等式的基本性质
性质
性质内容
注意
对称性
a>b⇔
⇔
传递性
a>b,b>c⇒
可加性
a>b⇒ a+c>b+c
a>b
⇒ ac>bc
c>0
a>b
⇒ ac<bc
c<0
a>b
⇒ a+c>b+d
c>d
a>b>0
⇒ ac>bd>0
c>d>0
a>b>0⇒ an>bn
可乘性
同向可加性
同向同正可乘性
考纲要求
梳理自测
探究突破
探究突破
巩固提升
考点一 用不等式(组)表示不等关系
【例 1】 某蔬菜收购点租用车辆,将 100 t 新鲜辣椒运往某市销售,可租用的
大卡车和农用车分别为 10 辆和 20 辆,若每辆大卡车载重 8 t,运费 960 元,
每辆农用车载重 2.5 t,运费 360 元,总运费不超过 13 000 元,据此安排两种车

1

1
< ;
1
< ;
③a>b>0,0<c<d⇒



> ;
④0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒
1

1
<
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
< .
第七页，编辑于星期五：十三点 五分。
7.1
第七章
不等关系与不等式
考纲要求
梳理自测
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巩固提升
(2)有关分数的性质
若 a>b>0,m>0,则
①真分数的性质:


< + , > -(b-m>0).
质成立的条件.
考点一
考点二
第二十页，编辑于星期五：十三点 五分。
第七章
7.1
不等关系与不等式
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探究突破
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举一反三 3 适当增加不等式条件使得下列命题成立:
(1)若 a>b,则 ac≤bc;
(2)若 ac2>bc2,则 a2>b2.
关闭
(1)原命题改为:若 a>b,且 c≤0,则 ac≤bc,即增加条件“c≤0”.
使最大角是钝角,此时只需最长边对的角是钝角即可,因此
(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2,故 x 应满足的不等关系如下:
5- > 0,
(5-) + (12-) > 13-,
(5-)2 + (12-x)2 < (13-x)2 .
答案
答案
考点二
考点三
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7.1
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考纲要求
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探究突破
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举一反三 2 已知 a,b,c 是实数,试比较 a2+b2+c2 与 ab+bc+ca 的大小.
关闭
方法一:(作差法)
1
∵a2+b2+c2-(ab+bc+ca)= [(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0,
2
当且仅当 a=b=c 时取等号,
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方法提炼
1.常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字
语言
符号
语言
大于,高于,
超过
小于,低于,
少于
大于等于,至
少,不低于
小于等于,至多,不超过
>
<
≥
≤
2.注意变量的实际意义
体积、面积、长度、重量、时间等均为非负实数.
考点二
考点三
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不等关系与不等式
+1
+1
C
解析
答案
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考纲要求
2.下面的推理过程
是(
梳理自测
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> ⇒ >
⇒ ac>bd⇒ > ,其中错误之处的个数


> ⇒ >
)
A.0
B.1
C.2
D.3
关闭
①a>b ac>bc,②c>d bc>bd,③ac>bd
令 a=1,b=-2,c=0,代入 A ,B ,C ,D 中,可知 A ,B ,D 均错.故选 C.
解法二:(直接法)
2


> 2 .
+1 +1
∵a>b,c +1>0,∴ 2
故选 C.
关闭
C
解析
解析
答案
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考纲要求
1
2.若 a>b,


梳理自测
2
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巩固提升
3
3
lg 3 的取值范围.


1 ≤ lg ≤ 2,
解:由

2 ≤ lg
变形,得
3

≤3
1 ≤ lg-lg ≤ 2,
1
2 ≤ 3lg- lg ≤ 3,
2
令
lg-lg = ,
1
3lg- lg = ,
2
解得
lg =
lg =
2-
5
2-6
B
=2.
关闭
当且仅当 a=b 时“=”成立.
解析
解析
答案
答案
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4.若 x>y,a>b,则在①a-x>b-y;②a+x>b+y;③ax>by;④x-b>y-a;⑤ > 这五
个式子中,恒成立的不等式的序号是
(2)由 ac2>bc2 可得 a>b,当 b≥0 时,有 a2>b2.即增加条件“b≥0”.
答案
考点一
考点二
第二十一页，编辑于星期五：十三点 五分。
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考纲要求
1
1.比较大小:aabb
梳理自测
2
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巩固提升
3
abba(a>0,b>0 且 a≠b).
关闭
解法一:(特殊值法)
+
②假分数的性质:


> + ,
+
-
-
< -(b-m>0).
-a<x<a .
(2)若 a>0,则|x|>a⇔ x<-a 或 x>a .
4.(1)若 a>0,则|x|<a⇔
第八页，编辑于星期五：十三点 五分。
第七章
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第七章 不等式
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不等关系与不等式
第二页，编辑于星期五：十三点 五分。
第七章
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考纲要求
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考纲要求
1.通过具体情境,了解在现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)
的背景.
2.掌握不等式的性质,会用不等式的性质进行不等式的运算、证明和比较数
基础自测
1.若 a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是(
1
A.

<
)
1

B.a2>b2
C.

2 +1
>

2 +1
解法一:(特殊值法)
D.a|c|>b|c|
令 a=1,b=-2,c=0,代入 A,B,C,D 中,可知 A,B,D 均错.故选 C.
解法二:(直接法)


关闭
关闭
∵a>b,c2+1>0,∴ 2 > 2 .故选 C.
7.1
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考纲要求
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方法提炼
比较大小的方法
1.作差法
其一般步骤是:(1)作差;(2)变形;(3)定号;(4)结论.其中关键是变形,常采
用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方和式.当两
个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差.
2.作商法
或式的大小.
第三页，编辑于星期五：十三点 五分。
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梳理自测
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1.实数大小顺序与运算性质之间的关系
a-b>0⇔
a>b ;a-b=0⇔ a=b ;a-b<0⇔ a<b .
第四页，编辑于星期五：十三点 五分。
第七章
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梳理自测
梳理自测
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7.1
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考点二 比较实数(或代数式)的大小

3

5
【例 2】 已知在等比数列{an}中,a1>0,q>0,前 n 项和为 Sn,试比较 3 与 5的
大小.
关闭
3
5
3
3
5
3
当 q=1 时, =3, =5,所以
1 (1- 5 )
答案
考点一
考点三
第十八页，编辑于星期五：十三点 五分。
7.1
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考点三
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不等式性质的应用

-
【例 3】 已知 a>b>0,c<d<0,e<0,求证:
>

.
-
关闭
∵c<d<0,∴-c>-d>0.
1
1
-
-
∵a>b>0,∴a-c>b-d>0.∴ <
梳理自测
2
探究突破
巩固提升
巩固提升
3
,则 lg(a+1)>lg(b+1).
关闭
①a>b ac>bc,②c>d bc>bd,③ac>bd

> .

关闭
D
解析
解析
答案
答案
第二十三页，编辑于星期五：十三点 五分。
7.1
第七章
不等关系与不等式
考纲要求
1
3.已知

3
1≤lg ≤2,2≤lg ≤3,求
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
方法二:(函数法)
记 t=a2+b2+c2-(ab+bc+ca)=a2-(b+c)a+b2+c2-bc,
∵Δ=(b+c)2-4(b2+c2-bc)=-3b2-3c2+6bc=-3(b-c)2≤0,
∴t≥0 对 a∈R 恒成立,即 a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
考纲要求
梳理自测
探究突破
探究突破
巩固提升
举一反三 1 将一个三边长度分别为 5,12,13 的三角形的各边都缩短 x,
构成一个钝角三角形,试用不等式(组)表示 x 应满足的不等关系.
关闭
各边都缩短 x 后,长度仍然为正数,只要最短边大于零即可,因此 5-x>0.
而要构成三角形,还要满足(5-x)+(12-x)>13-x.当三角形是钝角三角形时,应
其一般步骤是:(1)作商;(2)变形;(3)判断商与 1 的大小;(4)结论.
3.特例法
若是选择题还可以用特殊值法比较大小,若是解答题,也可以用特殊值
法探路.
1

1

4.注意:a>b⇔ < 和 a>b⇔an>bn(n∈N,且 n>1)成立的条件.
考点一
考点三
第十七页，编辑于星期五：十三点 五分。
第七章


-
-
又∵e<0,∴ >
.
.
答案
答案
考点一
考点二
第十九页，编辑于星期五：十三点 五分。
第七章
7.1
不等关系与不等式
考纲要求
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巩固提升
方法提炼
本题既可利用不等式的性质直接证出不等式,此题也可以用作差分析
的方法进行证明,使用不等式性质进行不等式证明时,一定要注意不等式性
化或弱化成立的条件.如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正
的不等式”才可相乘;可乘性中的“c 的符号”等都需要注意.
第六页，编辑于星期五：十三点 五分。
不等关系与不等式
7.1
第七章
考纲要求
梳理自测
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巩固提升
3.不等式的一些常用性质
(1)倒数性质
①a>b,ab>0⇒
②a<0<b⇒
1



> .

关闭
D
解析
答案
答案
第十页，编辑于星期五：十三点 五分。
第七章
不等关系与不等式
7.1
考纲要求
梳理自测
梳理自测
探究突破
1

巩固提升
1

3.设 a>0,b>0,若 lg a 和 lg b 的等差中项是 0,则 + 的最小值是(
)
A.1
B.2
C.4
D.2 2
关闭
1
1
1



lg a+lg b=lg ab=0,ab=1, + ≥2
.
关闭
若 x>y,a>b,
则-x<-y,∴a-y>b-x.
若 x>y,a>b,则-b>-a,∴x-b>y-a,
若 x>y,a>b,则推不出 ax>by.


若 x>y,a>b,推不出 > .


②④
综上,①③⑤错误,②④正确.