平面向量知识点归纳

平面向量
一．向量有关概念：
1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

如：
2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； 3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与
AB 共线的单位向量是||
AB
AB ±)；
4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

提醒：
①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；
③平行向量无传递性！（因为有0)； ④三点
A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；
6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

的相反向量是－。

如
下列命题：（1）若a b =，则a b =。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。

（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。

（5）若,a b b c ==，则a c =。

（6）若//,//a b b c ，
则//a c 。

其中正确的是_______（答：（4）（5））
二．向量的表示方法：
1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如
，注意起点在前，终点在后；
2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；
3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i
，
为基底，则平面内的任一向量a 可
表示为(),a
xi y j x y =+=，称(),x y 为向量的坐标，＝(),x y 叫做向量的坐标表示。

如果向量的起点在原点，
那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、
2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。

如
（1）若(1,1),a b ==
(1,1),(1,2)c -=-，则c =______（答：13
22
a b -）
； （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是
A.
12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-=
C. 12(3,5),(6,10)e e ==
D. 1213
(2,3),(,)24
e e =-=-
（答：B ）；
（3）已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且
,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____（答：24
33
a b +）
；
（4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→
−−→
−=DB CD
2，−→
−−→
−−→
−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___
（答：0）
四．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=当λ>0
时，λ
的方向与的方向相同，当λ<0时，λ的方向与的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λ≠0。

五．平面向量的数量积：
1．两个向量的夹角：对于非零向量，，作,OA a OB b ==，AOB θ
∠=
()0θπ≤≤称为向量，的夹角，当θ
＝0时，，同向，当θ＝π时，，反向，当θ＝
2
π
时，，垂直。

2．平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做与的数量积（或
内积或点积），记作：∙，即∙＝cos a b θ。

规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不
再是一个向量。

如
（1）已知11
(1,
),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-，c 与d 的夹角为4
π，则k 等于____ （答：1）；
（2）已知2,5,3a b a b ===-，则a b +等于____
）
； （3）已知,a b 是两个非零向量，且
a b a b ==-，则与a a b +的夹角为____
（答：30）
3．在上的投影为||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0。

如 已知3||=→
a ，5||=→
b ，且12=⋅→→b a ，则向量→a 在向量→
b 上的投影为______（答：
5
12
） 4．∙的几何意义：数量积∙等于的模||a 与在上的投影的积。

5．向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为θ，则： ①0a
b a b ⊥⇔∙=；
②当a ，b 同向时，a ∙b ＝a b
，特别地，22
2
,a
a a a a a
=∙==；当a 与b 反向时，a ∙b ＝－a b
；
③非零向量，夹角θ的计算公式：cos a b a b
θ
∙=
；④||||||a b a b ∙≤。

如
（1）已知)2,(λλ=→
a
，)2,3(λ=→
b ，如果→
a 与→
b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______
（答：43λ<-或0λ>且1
3
λ≠）；
六．向量的运算：
1．几何运算：
①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设
,AB a BC b ==，那么向量AC 叫做a 与b 的和，即a b AB BC AC +=+=；
②向量的减法：用“三角形法则”：设
,,AB a AC b a b AB AC CA ==-=-=那么，由减向量的终点指向被减向量
的终点。

注意：此处减向量与被减向量的起点相同。

如
（1）化简：①AB BC CD ++=___；②AB AD DC --=____；③()()AB CD AC BD ---=_____
（答：①AD ；②CB ；③0）；
（2）若正方形ABCD 的边长为1，
,,AB a BC b AC c ===，则||a b c ++＝_____
（答：；
2．坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则： ①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±，12)y y ±。

如
（1）已知点(2,3),(5,4)A B ，(7,10)C ，若()AP AB AC R λλ=
+∈，则当λ＝____时，点P 在第一、三象限的角平
分线上
（答：
12
）；
（2）已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-=，则合力123F F F F =++的终点坐标是
（答：（9,1））
②实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==。

③若
1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减
去起点坐标。

如
设
(2,3),(1,5)A B -，且1
3
AC AB =
，3AD AB =，则C 、D 的坐标分别是__________ （答：11
(1,
),(7,9)3
-）
； ④平面向量数量积：1212a b x x y y ∙=
+。

如
已知向量＝（sinx ，cosx ）,
＝（sinx ，sinx ）, ＝（－1，0）,若x ＝
3
π
，求向量、的夹角； ⑤向量的模：2
22222
||,||a x y a a x y =+==+。

如
已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +＝_____ ；
⑥两点间的距离：若()()1122,,,A x y B x y ，则||AB =。

七．向量的运算律：
1．交换律：a b b a +=+，()()a a λμλμ=，a b b a ∙=∙；
2．结合律：()(),a b c a b c a b c a b c ++=++--=-+，()()()a b a b a b λλλ∙=∙=∙； 3．分配律：()(),a a a a b a b λμλμλλλ+=++=+，()a b c a c b c +∙=∙+∙。

如
下列命题中：① →→→→→
→
→
⋅-⋅=-
⋅c a b a c b a )(；② →→→→→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(；③ 2
()a b →→
-2||a →
=
2
2||||||
a b b →→→
-⋅+；④ 若0=⋅→
→b a ，则0=→a 或0=→
b ；⑤若,a b
c b ⋅=⋅则a c =；⑥22
a a
=；⑦
2
a b b a
a
⋅=
；
⑧22
2
()a b a b
⋅=⋅；⑨22
2
()
2a b a a b b
-=-⋅+。

其中正确的是_____（答：①⑥⑨）
提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即)()
(∙≠∙，为什么？
八．向量平行(共线)的充要条件：//a b a b
λ⇔=22()(||||)a b a b ⇔⋅=1212x y y x ⇔-＝0。

如
(1)若向量(,1),(4,)a x b x ==，当x ＝_____时a 与b 共线且方向相同（答：2）；
（2）已知(1,1),(4,)a b x ==，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x ＝______（答：4）； （3）设(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k ===，则k ＝_____时，A,B,C 共线（答：－2或11） 九．向量垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=.
如
(1)已知(1,2),(3,)OA OB m =-=，若OA OB ⊥，则m = （答：
3
2
）；
（2）以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，则点B 的坐标是________
（答：(1,3)或（3，－1））；
（3）已知(,),n a b =向量n m ⊥，且n m =，则m 的坐标是________ （答：(,)(,)b a b a --或）
如果我是山，就要站成一种尊严，让山花灿烂，山风拂面，让每一处角落都渗透梦语言，让我价值在太阳底下展现；如果我是水，就要流成一种磅礴，让小船
远航，鱼儿欢畅，让每一股细流都一往无前，让我价值迎风吟唱。