山东省济宁市济宁院附属中学2021-2022学年中考数学四模试卷含解析

山东省济宁市济宁院附属中学2021-2022学年中考数学四模试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1．如图是反比例函数k
y x
=
（k 为常数，k≠0）的图象，则一次函数y kx k =-的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．欧几里得的《原本》记载，形如22x ax b +=的方程的图解法是：画Rt ABC ∆，使90ACB ∠=，2
a
BC =，AC b =，再在斜边AB 上截取2
a
BD =
.则该方程的一个正根是（ ）
A ．AC 的长
B ．AD 的长
C ．BC 的长
D ．CD 的长
3．如图1，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，Ð1=30°，Ð2=50°，则Ð3的度数为
A ．80°
B ．50°
C ．30°
D ．20°
4．如图，BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上的一点，∠B ＝58°，则∠OAC 的度数是( )
A．32°B．30°C．38°D．58°
5．在数轴上表示不等式2（1﹣x）＜4的解集，正确的是（）
A．B．
C．D．
6．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（3，0），在y轴的正半轴上取一点C，使A、B、C三点确定一个圆，且使AB为圆的直径，则点C的坐标是（）
A．（0，3）B．（3，0）C．（0，2）D．（2，0）
7．下列运算结果正确的是（）
A．a3+a4=a7B．a4÷a3=a C．a3•a2=2a3D．（a3）3=a6
8．益阳市高新区某厂今年新招聘一批员工，他们中不同文化程度的人数见下表：
文化程度高中大专本科硕士博士
人数9 17 20 9 5
关于这组文化程度的人数数据，以下说法正确的是：（）
A．众数是20 B．中位数是17 C．平均数是12 D．方差是26
9．关于x的方程（a﹣1）x|a|+1﹣3x+2＝0是一元二次方程，则（）
A．a≠±1B．a＝1 C．a＝﹣1 D．a＝±1
10．由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是( )
A．B．
C．D．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分） 11．把多项式a 3－2a 2+a 分解因式的结果是 12．方程x+1=25x +的解是_____．
13．如图,点A 、B 、C 是圆O 上的三点,且四边形ABCO 是平行四边形,OF ⊥OC 交圆O 于点F ，则∠BAF=__．
14．函数y=
3
6
x x +- 中，自变量x 的取值范围为_____． 15．已知 a 、b 是方程 x 2﹣2x ﹣1＝0 的两个根，则 a 2﹣a +b 的值是_______． 16．三角形的每条边的长都是方程2680x x -+=的根，则三角形的周长是 ．
17．一个不透明的袋中共有5个小球，分别为2个红球和3个黄球，它们除颜色外完全相同，随机摸出两个小球，摸出两个颜色相同的小球的概率为____.
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）已知△ABC 中，D 为AB 边上任意一点，DF ∥AC 交BC 于F ，AE ∥BC ，∠CDE=∠ABC ＝∠ACB ＝α，
(1)如图1所示，当α=60°时，求证：△DCE 是等边三角形； (2)如图2所示，当α=45°时，求证：
CD
DE
=2； (3)如图3所示，当α为任意锐角时，请直接写出线段CE 与DE 的数量关系：
CE
DE
＝_____.
19．（5分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，ABC ∆在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）直接写出ABC ∆关于原点O 的中心对称图形111A B C ∆各顶点坐标：1A ________1B ________1C ________； （2）将ABC ∆绕B 点逆时针旋转90︒，画出旋转后图形22A BC ∆.求ABC ∆在旋转过程中所扫过的图形的面积和点C 经过的路径长．
20．（8分）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？
21．（10分）（1）问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD·BC=AP·BP ． （2）探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立．说明理由．
（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=1．点P 以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB 向点B 运动，且满足∠DPC=∠A ．设点P 的运动时间为t （秒），当DC 的长与△ABD 底边上的高相等时，求t 的值．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知OA ＝6厘米，OB ＝8厘米．点P 从点B 开始沿BA 边向终点A 以1厘米/秒的速度移动；点Q 从点A 开始沿AO 边向终点O 以1厘米/秒的速度移动.若P 、Q 同时出发运动时间为t(s). （1）t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？ （2）当 t 为何值时，△APQ 的面积为8cm 2？
23．（12分）如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，每个小正方形的边长为1．
（1）在图1中画出△AOB关于x轴对称的△A1OB1，并写出点A1，B1的坐标；
（2）在图2中画出将△AOB绕点O顺时针旋转90°的△A2OB2，并求出线段OB扫过的面积．
24．（14分）对几何命题进行逆向思考是几何研究中的重要策略，我们知道，等腰三角形两腰上的高线相等，那么等腰三角形两腰上的中线，两底角的角平分线也分别相等吗？它们的逆命题会正确吗？
（1）请判断下列命题的真假，并在相应命题后面的括号内填上“真”或“假”．
①等腰三角形两腰上的中线相等;
②等腰三角形两底角的角平分线相等;
③有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形;
（2）请写出“等腰三角形两腰上的中线相等”的逆命题，如果逆命题为真，请画出图形，写出已知、求证并进行证明，如果不是，请举出反例．
参考答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、B
【解析】
根据图示知,反比例函数k
y x
=的图象位于第一、三象限， ∴k >0，
∴一次函数y =kx −k 的图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴，且该一次函数在定义域内是增函数， ∴一次函数y =kx −k 的图象经过第一、三、四象限； 故选：B. 2、B 【解析】
【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB 的长，进而求得AD 的长,即可发现结论.
【解答】用求根公式求得：22221244;22
b a a b a a x x -+-+-==
∵90,2
a
C BC AC b ∠=︒=
=，， ∴2
2
4
a AB
b =+，
∴2222
4.422
a a
b a a
AD b +-=+-=
AD 的长就是方程的正根. 故选B.
【点评】考查解一元二次方程已经勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键. 3、D 【解析】
试题分析：根据平行线的性质，得∠4=∠2=50°，再根据三角形的外角的性质∠3=∠4-∠1=50°-30°=20°．故答案选D ．
考点：平行线的性质;三角形的外角的性质． 4、A 【解析】
根据∠B ＝58°得出∠AOC=116°,半径相等，得出OC=OA ，进而得出∠OAC=32°，利用直径和圆周角定理解答即可． 【详解】
解：∵∠B＝58°,
∴∠AOC=116°,
∵OA=OC，
∴∠C=∠OAC=32°,
故选：A．
【点睛】
此题考查了圆周角的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
5、A
【解析】
根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式解集，然后得出在数轴上表示不等式的解集．2(1–x)＜4
去括号得：2﹣2ｘ＜4
移项得：2x＞﹣2，
系数化为1得：x＞﹣1，
故选A．
“点睛”本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
6、A
【解析】
直接根据△AOC∽△COB得出OC2=OA•OB，即可求出OC的长，即可得出C点坐标．
【详解】
如图，连结AC，CB.
依△AOC∽△COB的结论可得：OC2=OA OB，
即OC2=1×3=3，
解得：33(负数舍去)，
故C点的坐标为(0, 3
故答案选：A.
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是熟练的掌握坐标与图形的性质.
7、B
【解析】
分别根据同底数幂的乘法及除法法则、幂的乘方与积的乘方法则及合并同类项的法则对各选项进行逐一分析即可．【详解】
A. a3+a4≠a7 ,不是同类项，不能合并，本选项错误；
B. a4÷a3=a4-3=a;，本选项正确；
C. a3•a2=a5;，本选项错误；
D.（a3）3=a9,本选项错误.
故选B
【点睛】
本题考查的是同底数幂的乘法及除法法则、幂的乘方与积的乘方法则及合并同类项的法则等知识，比较简单．
8、C
【解析】
根据众数、中位数、平均数以及方差的概念求解．
【详解】
A、这组数据中9出现的次数最多，众数为9，故本选项错误；
B、因为共有5组，所以第3组的人数为中位数，即9是中位数，故本选项错误；
C、平均数=9172095
5
++++
=12，故本选项正确；
D、方差=1
5
[（9-12）2+（17-12）2+（20-12）2+（9-12）2+（5-12）2]=
156
5
，故本选项错误.
故选C．
【点睛】
本题考查了中位数、平均数、众数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念．9、C
【解析】
根据一元一次方程的定义即可求出答案．
【详解】
由题意可知：10
12a a -≠⎧⎨⎩
＋＝，解得a ＝−1
故选C ． 【点睛】
本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义，本题属于基础题型． 10、D 【解析】
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】
解：从正面看第一层是二个正方形，第二层是左边一个正方形． 故选A ． 【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图的知识，解题的关键是了解主视图是由主视方向看到的平面图形，属于基础题，难度不大．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分） 11、()2
a a 1-． 【解析】
要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
()
()2
322a 2a a=a a 2a 1=a a 1-+-+-．
12、x=1 【解析】
无理方程两边平方转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到无理方程的解． 【详解】
两边平方得：（x+1）1=1x+5，即x 1=4， 开方得：x=1或x=-1，
经检验x=-1是增根，无理方程的解为x=1． 故答案为x=1 13、15° 【解析】
根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到∠BOF＝∠AOF＝30°，根据圆周角定理计算即可．
【详解】
解答：
连接OB，
∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC=AB，又OA=OB=OC，
∴OA=OB=AB，∴△AOB为等边三角形.
∵OF⊥OC,OC∥AB，∴OF⊥AB，∴∠BOF=∠AOF=30°.
由圆周角定理得
1
15
2
BAF BOF
∠=∠=，
故答案为15°.
14、x≠1．
【解析】
该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于0，故分母x-1≠0，解得x的范围．
【详解】
根据题意得：x−1≠0，
解得：x≠1.
故答案为x≠1.
【点睛】
本题考查了函数自变量的取值范围，解题的关键是熟练的掌握分式的意义.
15、1
【解析】
根据一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出a2-2a=1、a+b=2，将其代入a2-a+b中即可求出结论．【详解】
∵a、b是方程x2-2x-1=0的两个根，
∴a2-2a=1，a+b=2，
∴a 2-a+b=a 2-2a+（a+b ）=1+2=1． 故答案为1． 【点睛】
本题考查根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于-b a 、两根之积等于c
a
是解题的关键． 16、6或2或12 【解析】
首先用因式分解法求得方程的根，再根据三角形的每条边的长都是方程2680x x -+=的根，进行分情况计算． 【详解】
由方程2680x x -+=，得x =2或1． 当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6； 当三角形的三边是1，1，1时，则周长是12；
当三角形的三边长是2，2，1时，2+2=1，不符合三角形的三边关系，应舍去； 当三角形的三边是1，1，2时，则三角形的周长是1+1+2=2． 综上所述此三角形的周长是6或12或2． 17、
2
5
【解析】
解：根据题意可得：列表如下
共有20种所有等可能的结果，其中两个颜色相同的有8种情况， 故摸出两个颜色相同的小球的概率为82205
=． 【点睛】
本题考查列表法和树状图法，掌握步骤正确列表是解题关键．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18、1
【解析】
试题分析：（1）证明△CFD≌△DAE即可解决问题．
（2）如图2中，作FG⊥AC于G．只要证明△CFD∽△DAE，推出DC
DE
=
CF
AD
，再证明CF=2AD即可．
（3）证明EC=ED即可解决问题．
试题解析：（1）证明：如图1中，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC=BA．∵DF∥AC，
∴∠BFD=∠BCA=60°，∠BDF=∠BAC=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BF=BD，∴CF=AD，∠CFD=120°．∵AE∥BC，∴∠B+∠DAE=180°，∴∠DAE=∠CFD=120°．∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE．∵∠CDE=∠B=60°，
∴∠FCD=∠ADE，∴△CFD≌△DAE，∴DC=DE．∵∠CDE=60°，∴△CDE是等边三角形．
（2）证明：如图2中，作FG⊥AC于G．∵∠B=∠ACB=45°，∴∠BAC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形．∵DF∥AC，∴∠BDF=∠BAC=90°，∴∠BFD=45°，∠DFC=135°．∵AE∥BC，∴∠BAE+∠B=180°，
∴∠DFC=∠DAE=135°．∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE．∵∠CDE=∠B=45°，∴∠FCD=∠ADE，
∴△CFD∽△DAE，∴DC
DE
=
CF
AD
．∵四边形ADFG是矩形，FC=2FG，∴FG=AD，CF=2AD，∴
CD
DE
=2．
（3）解：如图3中，设AC与DE交于点O．
∵AE ∥BC ，∴∠EAO =∠ACB ．∵∠CDE =∠ACB ，∴∠CDO =∠OAE ．∵∠COD =∠EOA ，∴△COD ∽△EOA ，∴
CO EO =OD OA ，∴CO OD =EO
OA
．∵∠COE =∠DOA ，∴△COE ∽△DOA ，∴∠CEO =∠DAO ．∵∠CED +∠CDE +∠DCE =180°，∠BAC +∠B +∠ACB =180°．∵∠CDE =∠B =∠ACB ，∴∠EDC =∠ECD ，∴EC =ED ，∴
CE
DE
=1． 点睛：本题考查了相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
19、（1）1(3,3)A -，1(4,1)B -，1(0,2)C -；（2）作图见解析，面积71724π=+，2
l =． 【解析】
（1）由ABC ∆在平面直角坐标系中的位置可得A 、B 、C 的坐标，根据关于原点对称的点的坐标特点即可得1A 、1B 、
1C 的坐标；
（2）由旋转的性质可画出旋转后图形22A BC ∆，利用面积的和差计算出22∆A BC S ，然后根据扇形的面积公式求出
2扇形CBC S ，利用ABC ∆旋转过程中扫过的面积222S A BC CBC S S ∆+=扇形进行计算即可．再利用弧长公式求出点C 所经过
的路径长． 【详解】
解：（1）由ABC ∆在平面直角坐标系中的位置可得：
(3,3)-A ，(4,1)B -，(0,2)C ，
∵111A B C ∆与ABC ∆关于原点对称， ∴1(3,3)A -，1(4,1)B -，1(0,2)C - （2）如图所示，22A BC ∆即为所求，
∵(4,1)B -，(0,2)C ，
∴22(40)(12)17=--+-=BC
∴2扇形CBC S 2290(17)1734604
πππ⋅⨯===BC ， ∵22∆A BC S 1117
421213142222
=⨯-
⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=， ∴ABC ∆在旋转过程中所扫过的面积：
222扇形∆+=A BC CBC S S S 717
24
π=
+ 点C 所经过的路径：
901717
1802
π=
=l ．
【点睛】
本题考查的是图形的旋转、及扇形面积和扇形弧长的计算，根据已知得出对应点位置，作出图形是解题的关键． 20、（1）20%；（2）能. 【解析】
（1）设年平均增长率为x ，则2015年利润为2(1+x )亿元，则2016年的年利润为2(1+x )(1+x )，根据2016年利润为2.88
亿元列方程即可．
（2）2017年的利润在2016年的基础上再增加(1+x)，据此计算即可.
【详解】
(1)设该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为x.根据题意，得2(1＋x)2＝2.88，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．
答：该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为20%.
(2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为2.88×(1＋20%)＝3.456(亿元)，因为3.456＞
3.4，
所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元．
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用---增长率问题，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．
21、（2）证明见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）2秒或2秒．
【解析】
（2）由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=3，根据勾股定理可得DE=4，由题可得DC=DE=4，则有BC=2-4=2．易证∠DPC=∠A=∠B．根据AD⋅BC=AP⋅BP，就可求出t的值．
【详解】
解：（2）如图2，
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∠BPC+∠APD=90°，
∴∠APD=∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴AD AP BP BC
=，
∴AD⋅BC=AP⋅BP；
（2）结论AD⋅BC=AP⋅BP仍成立；
证明：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，又∵∠BPD=∠A+∠APD，
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，∵∠DPC=∠A=θ，
∴∠BPC=∠APD，
又∵∠A=∠B=θ，
∴△ADP∽△BPC，
∴AD AP BP BC
=，
∴AD⋅BC=AP⋅BP；
（3）如下图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD=BD=2，AB=6，
∴AE=BE=3
∴22
53
-，
∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，∴DC=DE=4，
∴BC=2-4=2，
∵AD=BD，
∴∠A=∠B，
又∵∠DPC=∠A，
∴∠DPC=∠A=∠B，
由（2）（2）的经验得AD•BC=AP•BP，
又∵AP=t，BP=6-t，
∴t（6-t）=2×2，
∴t=2或t=2，
∴t的值为2秒或2秒．
【点睛】
本题考查圆的综合题．
22、（1）t＝15
4
秒；（1）t＝5﹣5（s）．
【解析】
（1）利用勾股定理列式求出AB，再表示出AP、AQ，然后分∠APQ 和∠AQP 是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；
（1）过点P 作PC⊥OA 于C，利用∠OAB 的正弦求出PC，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．【详解】
解：（1）∵点A（0，6），B（8，0），
∴AO＝6，BO＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵点P的速度是每秒1个单位，点Q 的速度是每秒1个单位，
∴AQ＝t，AP＝10﹣t，
①∠APQ是直角时，△APQ∽△AOB，
∴，
即，
解得t＝＞6，舍去；
②∠AQP 是直角时，△AQP∽△AOB，
∴，
即，
解得t＝，
综上所述，t＝秒时，△APQ 与△AOB相似；
（1）如图，过点P 作PC⊥OA 于点C，
则PC＝AP•sin∠OAB＝（10﹣t）×＝（10﹣t），
∴△APQ的面积＝×t×（10﹣t）＝8，
整理，得：t1﹣10t+10＝0，
解得：t＝5+＞6（舍去），或t＝5﹣，
故当t＝5﹣5（s）时，△APQ的面积为8cm1．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、三角形的面积以及一元二次方程的应用能力，分类讨论是解题的关键．
23、（1）A1（﹣1，﹣2），B1（2，﹣1）；（2）5
4
π
．
【解析】
（1）根据轴对称性质解答点关于x轴对称横坐标不变，纵坐标互为相反数；
（2）根据旋转变换的性质、扇形面积公式计算．
【详解】
（1）如图所示：
A1（﹣1，﹣2），B1（2，﹣1）；
（2）将△AOB绕点O顺时针旋转90°的△A2OB2如图所示：
22
125
OB=+=，
线段OB
扫过的面积为：
2
90π5π
.
3604
⨯
=
【点睛】
此题主要考查了图形的旋转以及位似变换和轴对称变换等知识,根据题意得出对应点坐标位置是解题关键.
24、（1）①真；②真；③真；（2）逆命题是：有两边上的中线相等的三角形是等腰三角形；见解析.
【解析】
(1)根据命题的真假判断即可；
(2)根据全等三角形的判定和性质进行证明即可．
【详解】
(1)①等腰三角形两腰上的中线相等是真命题；
②等腰三角形两底角的角平分线相等是真命题；
③有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形是真命题；
故答案为真；真；真；
(2)逆命题是：有两边上的中线相等的三角形是等腰三角形；
已知：如图，△ABC中，BD，CE分别是AC，BC边上的中线，且BD＝CE，
求证：△ABC是等腰三角形；
证明：连接DE，过点D作DF∥EC，交BC的延长线于点F，
∵BD，CE分别是AC，BC边上的中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∵DF∥EC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴EC＝DF，
∵BD＝CE，
∴DF＝BD，
∴∠DBF＝∠DFB，
∵DF∥EC，
∴∠F＝∠ECB，
∴∠ECB＝∠DBC，
在△DBC与△ECB中
BD EC DBC ECB BC CB =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△DBC ≌△ECB ， ∴EB ＝DC ， ∴AB ＝AC ，
∴△ABC 是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；证明的步骤是：先根据题意画出图形，再根据图形写出已知和求证，最后写出证明过程．。