广东省佛山市2020届高三教学质量检测数学(文)试题Word版含解析

广东省佛山市2020届高三教学质量检测
数学（文）试题
一、选择题：共12题
1．已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查集合的基本运算.由题意得,,所以
=.选D.
【备注】集合的基本运算为高考常考题型，要求熟练掌握.
2．设复数在复平面内对应的点关于虚轴对称,且,则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查复数的概念与运算.因为,在复平面内对应的点关于虚轴对称,所以,所以;所以=.选C.
3．命题“，使得”的否定是
A. B. C.， D.
【答案】A
【解析】本题考查全称量词与特称量词.命题“，使得”的否定是.选A. 4．变量满足约束条件,则目标函数的最小值为
A.2
B.4
C.5
D.6
【答案】B
【解析】本题考查线性规划问题.画出可行域,如图阴影部分所示;当过点时,目标函数取得最小值.选B.
5．本学期王老师任教两个平行班高三A班，高三B班，两个班都是50个学生，如图反映的是两个班在本学期5次数学测试中的班级平均分对比：根据图表，不正确的结论是
A.A班的数学成绩平均水平好于B班；
B.B班的数学成绩没有A班稳定；
C.下次考试B班的数学平均分数高于A班；
D.在第1次考试中，A，B两个班的总平均分为98.
【答案】C
【解析】本题考查平均数,方差.由图可得,,即,即A班的数学成绩平均水平好于B班,排除A;由图可得B波动大,即B班的数学成绩没有A班稳定,排除B;在第1次考试中，A，B两个班的总平均分为=98,排除D.选C.
6．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是
A.1
B.
C.2
D.
【答案】D
【解析】本题考查双曲线、抛物线的几何性质.抛物线的焦点;双曲线的渐近线;所以焦点到渐近线的距离.选D.
7．已知函数，下列结论中错误的是
A.的图象关于中心对称
B.在上单调递减
C.的图象关于直线对称
D.的最大值为3
【答案】B
【解析】本题考查三角函数的图像、性质与最值,三角恒等变
换.=;,即的图象关于中心对称,排除A;,即取得最大值,所以的图象关于直线对称,排除C,D.选B.
8．一直线与平行四边形中的两边、分别交于,,且交其对角线于,若
,,,则
A.2
B.
C.3
D.5
【答案】D
【解析】本题考查平面向量的线性运算.由题意得==,所以;而,,,三点共线,所以,解得.
9．对任意的,曲线在点处的切线与圆的位置关系是
A.相交
B.相切
C.相离
D.以上均有可能
【答案】A
【解析】本题考查导数的几何意义,直线与圆的位置关系.,所以曲线在点处的切线的斜率,切线:,即,其恒过点;而在圆的内部,所以曲线在点处的切线与圆
相交.选A.
10．如图所示的程序框图，输出的的值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查程序框图.起初:;循环1次:;循环2次:;循环3次:;循环4次:,不满足条件,结束循环,输出的的值为.选C. 【备注】常考查循环结构的流程图，一般循环5次左右求出结果.
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查三视图,空间几何体的表面积.该几何体的外接球即该几何体所在正方体的外接球;所以正方体的体对角线为,即;所以.选B.
12．已知函数，(是常数)，若在上单调递减，则下列结论中：
①；②；③有最小值.
正确结论的个数为
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】C
【解析】本题考查导数在研究函数中的应用.因为在上单调递减,所以
在上恒成立,所以,即,即②正确；中，,即,即有最小值,③正确,所以正确结论的个数为2.选C.
二、填空题：共4题
13．函数为奇函数,则实数．
【答案】1
【解析】本题考查对数函数,函数的性质.因为函数为奇函数,所以
==,即,所以,即;当时,不满足题意,舍去,所以.
14．已知,且,则．
【答案】
【解析】本题考查差角公式,同角三角函数的基本关系.,解得;而,所以,,所以.
15．数轴上有四个间隔为1的点依次为记为、、、，在线段上随机取一点，则点到、两点的距离之和小于2的概率为．
【答案】
【解析】本题考查几何概型.如图,数轴上,而到、两点的距离之和小于2的点在线段内,且;所以点到、两点的距离之和小于2的概率.
16．中的内角的对边分别为，若,,,点为边上一点,且，则的面积为．
【答案】10
【解析】本题考查和角公式,正余弦定理,三角形的面积公式.因为,所以=,由正弦定理得;而,,所以,;由余弦定理得
,解得或11;而为边上一点，且，即,所以,;所以==10.
三、解答题：共7题
17．已知数列的前项和为，且满足.
(1)求的通项公式；
(2)求证：.
【答案】(1)当时，，即.
当时，，.
相减得，即，
综上，的通项公式为.
(2)由(1)可得，所以；
所以
.
又，所以，
即.
【解析】本题考查等差数列,数列求和.(1)由,得，所以.(2)裂项得,相消得.
18．我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程，某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗
机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能处理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表：
(1)若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？
(2)估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；
(3)政府计划为80岁及以上长者或生活不能自理的老人每人购买1000元/年的医疗保险，为其余老人每人购买600元/年的医疗保险，不可重复享受，试估计政府执行此计划的年度预算.
【答案】(1)数据整理如下表：
从图表中知不能自理的80岁及以上长者占比为.
帮抽取16人中不能自理的80岁及以上长者人数为.
(2)在600人中80岁及以上长者在老人中占比为.
用样本估计总体，80岁及以上长者共有万.
80岁及以上长者占户籍人口的百分比为.
(3)先计算抽样的600人的预算，
享受1000元/年的人数为人.
享受600元/年的人数为人.
预算为元.
用样本估计总体，全市老人的总预算为元.
政府执行此计划的年度预算约为亿元.
【解析】本题考查古典概型,分层抽样,频率分布表. (1)列出图表,不能自理的80岁及以上长者占比为,人数为.(2)80岁及以上长者共有万.其所占百分比为.(3)用样本估计总体，全市老人的总预算为=亿元.
19．如图，四棱锥中，为正三角形，，，，，为棱的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)若，求点到平面的距离.
【答案】(1)取中点，连接、，因为为中点，所以；
又，所以，所以四边形为平行四边形，所以.
又为正三角形，所以，从而；
又，，所以平面；
又平面，所以平面平面.
(2)因为，，所以，
又，，所以平面，
由(1)知，所以平面，
所以为三棱锥的高，且.
易得的面积.
在中，，.
在矩形中，，，所以，
在中，，，，由平几知识可求得边上的高；所以的面积.
设点到平面的距离为，由得，
即，解得.
所以点到平面的距离为.
【解析】本题考查空间几何体的体积,线面垂直.(1)证得为平行四边形,所以.又为正三角形，所以，从而；又，所以平面,所以平面平面.(2)证得
平面,由(1)知,所以平面,等体积法得点到平面的距离为.
20．已知椭圆过点，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过原点的直线与椭圆交于两点，且在直线上存在点，使得为等边三角形，求直线的方程.
【答案】(1)依题意得：，；
又，解得，；
所以椭圆的方程为.
(2)显然，直线的斜率存在，设，则，
①当时，的垂直平分线为轴，轴与直线的交点为，
因为，，所以，则为等边三角形.
此时直线的方程为.
②当时，设直线为，联立，消去整理得.
解得，所以.
又的垂直平分线为.
由，可得，所以.
因为为等边三角形，所以，
于是，解得(舍去)或.
此时直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
【解析】本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系.(1)依题意求得，,所以椭圆为.(2)①当时,直线为.②联立,求得.联立
,求得.因为为等边三角形，所以，解得.此时为；综上所述，直线的方程为或.
21．设函数，其中，是自然对数的底.
(1)若是上的单调函数，求的取值范围；
(2)若，证明：函数有两个极值点.
【答案】(1).
①，则，则是上的减函数；
②若，令，其中，;
则，令，得，
当上，，递减，当上，，递增. 故当时，取极小值，也是最小值.
因此当，即时，，此时，是上的增函数. 综上所述，所求的取值范围是.
(2)由(1)知的极小值即最小值为，
因为，所以;
又，所以，因此在上有唯一零点.
而，所以，；
以下证明：.
注意到上述不等式，
令，则，
所以在上递减，所以，
即，因此在上有唯一零点.
所以时，，，递增；
时，，，递减；
时，，，递增；
综上所述，函数有两个极值点，其中是极大值点，是极小值点.
【解析】本题考查导数在研究函数、不等式中的应用.(1)求导,分类讨论得
.(2)，因此在上有唯一零点.需
证:.构造函数,求导得有两个极值点.
22．在极坐标系中,射线与圆交于点,椭圆的方程为,以极点为原点,极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系.
(1)求点的直角坐标和椭圆的参数方程;
(2)若为椭圆的下顶点,为椭圆上任意一点,求的取值范围.
【答案】(1)点的极坐标为,对应的直角坐标为.
由得,因为,,所以.
即椭圆的直角坐标方程为,对应的参数方程为(为参数).
(2)设, 又,所以,,
于是===,
因为,所以,
所以的取值范围是.
【解析】本题考查极坐标,直线、曲线的极坐标方程.(1)将,代入可得椭圆的直角坐标方程为,对应的参数方程为(为参数).(2)求得=, 而
,所以的取值范围是.
23．已知不等式的解集为.
(1)求的值;
(2)若函数有零点,求实数的值.
【答案】(1)由得或.
解得,依题意.
(2)题意等价于关于的方程()的有解,
因为≥=,
当且仅当时取等号.
因为关于的方程()有实数根,所以.
另一方程,,所以.
所以.
【解析】本题考查绝对值不等式.(1)分段求解得,依题意.(2)由绝对值不等式的几何性质得≥,所以.而,所以.所以.。