解三角形(正弦定理、余弦定理)知识点、例题解析、高考题汇总及答案

解三角形
【考纲说明】
1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题
【知识梳理】
一、正弦定理
1、正弦定理：在△ABC 中，R C
c
B b A a 2sin sin sin ===（R 为△AB
C 外接圆半径）。

2、变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C === （2）化角为边：sin ,sin ,sin ;222a b c
A B C R R R
=
== （3）::sin :sin :sin a b c A B C = （4）
2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C
++====++.
3、三角形面积公式：21111sin sin sin 2sin sin sin 22224ABC
abc S ah ab C ac B bc A R A B C R
∆====== 4、正弦定理可解决两类问题：
（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）
（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一） 二、余弦定理
1、余弦定理：A bc c b a cos 22
2
2
-+=⇔bc
a
c b A 2cos 2
2
2
-+=
B ac a c b cos 22
2
2
-+=⇔ca
b a
c B 2cos 2
2
2
-+=
C ab b a c cos 22
2
2
-+=⇔ab
c b a C 2cos 2
22-+=
2、余弦定理可以解决的问题：
（1）已知三边，求三个角；（解唯一）
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：
（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 三、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）.
图1 图2 图3 图4
2、方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图2）. 3、方向角
相对于某一正方向的水平角（如图3）.
4、坡角：坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（如图4）. 坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度（或坡比）
【经典例题】
1、（2012天津理）在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C =（ ）
A ．
7
25
B ．725
-
C ．725
±
D ．
2425
【答案】A 【解析】
85,b c =由正弦定理得8sin 5sin B C =，又2C B =，8sin 5sin 2B B ∴=，
所以8sin 10sin cos B B B =，易知247sin 0,cos ,cos cos 22cos 1525
B B
C B B ≠∴=
==-=. 2、（2009广东文）已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==
75A ∠=o ，则b =
( )
A ．2
B ．4
＋ C ．4
— D
【答案】 A
【解析】0
sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos304
A ==+=+=
由a c ==
可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2
B =
由正弦定理得1
sin 2sin 2a
b B A
=
⋅==,故选A
3、（2011浙江）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=( )
A ．-
12 B ．1
2
C ． -1
D ． 1 【答案】D
【解析】∵B b A a sin cos =，∴B A A 2
sin cos sin =，
∴1cos sin cos cos sin 2
2
2
=+=+B B B A A .
4、（2012福建文）在ABC ∆中,
已知60,45,BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=则AC =_______.
【解析】由正弦定理得
sin 45AC AC =⇒=︒
5、（2011北京）在ABC 中，若1
5,,sin 43
b B A π
=∠=
=，则a = . 【答案】
3
2
5 【解析】：由正弦定理得
sin sin a b A B =又1
5,,sin 43b B A π=∠==
所以5,13sin 34
a a π==6、（2012重庆理）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a
b
c ,且35
cos ,cos ,3,513
A B b ===则c =______ 【答案】14
5
c =
【解析】由35412cos ,cos sin ,sin 513513
A B A B =
=⇒==, 由正弦定理sin sin a b A B
=
得43sin 13512sin 513
b A a B ⨯
===, 由余弦定理2222142cos 25905605
a c
b b
c A c c c =+-⇒-+=⇒=
7、（2011全国）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.
己知sin csin sin sin a A C C b B +=. （I ）求B ； （Ⅱ）若0
75,2,A b ==a c 求，. 【解析】（I
）由正弦定理得222
a c
b +=
由余弦定理得2
2
22cos b a c ac B =+-.
故cos B =
，因此45B = （II ）sin sin(3045)A =+sin30cos 45cos30sin 45=
+4
=
故sin 1sin A a b B =⨯
==+ sin sin 602
6sin sin 45
C c b B =⨯
=⨯=8、（2012江西文）△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知
3cos(B-C)-1=6cosBcosC.
（1）求cosA;
（2）若a=3,△ABC 的面积为求b,c.
【解析】（1） 3(cos cos sin sin )16cos cos 3cos cos 3sin sin 13cos()1
1cos()3B C B C B C B C B C B C A π+-=⎧⎪-=-⎪⎪
+=-⎨⎪
⎪-=-
⎪⎩
则1cos
3A =. （2）由（1）得sin A =
,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理 2222291
cos 2123
b c a b c A bc +-+-===则2213b c +=②,
①②两式联立可得32b a =⎧⎪⎨=⎪⎩或3
2
a b =⎧⎪⎨=⎪⎩.
9、（2011安徽）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，
12cos()0B C ++=，求边BC 上的高
.
【解析】：∵A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＋C ＝A ， 又12cos()0B C ++=，∴12cos(180)0A +-=， 即12cos 0A -=，1
cos 2
A =
， 又0°<A<180°，所以A ＝60°.
在△ABC 中，由正弦定理
sin sin a b A B
=得sin 602sin b A B a ===，
又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°，
∴BC 边上的高AD ＝AC·sinC 75
2sin(4530)=
+
45cos30cos
45sin 30)=
+
1)2==10、（2012辽宁理）在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C 成等差数列.
（I ）求cos B 的值;
（Ⅱ）边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值. 【解析】（I ）由已知1
2,,,cos 3
2
B A
C A B C B B π
π=+++=∴=
=
（Ⅱ）解法一：2
b a
c =，由正弦定理得2
3sin sin sin 4
A C
B ==
， 解法二：222222
1,cos 222a c b a c ac b ac B ac ac
+-+-====，由此得22
a b ac ac +-=，得a c =
所以3,sin sin 3
4
A B C A C π
===
=
【课堂练习】
1、（2012广东文）在ABC ∆中,若60A ∠=︒,45B ∠=︒,BC =,则AC =（ ）
A ．
B ．
C
D 2、（2011四川）在△ABC 中，222
sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ）
A ．(0,]6
π
B ．[,)6
π
π
C ．(0,]3
π
D ．[,)3
π
π
3、（2012陕西理）在ABC ∆中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=,则cos C 的最小值为（ ）
A B C ．12 D ．1
2
- 4、（2012陕西）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若2222c b a =+，则C cos 的最小
值为（ ） A ．
2
3
B ．
2
2 C ．
2
1
D ．21-
5、（2011天津）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2,2AB CD AB BC BD ===则sin C 的值为( )
A ．
3 B ．6 C ．3 D ．6
6、（2011辽宁）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=a
b
（ ）
A ．
B ．
C
D 7、（2012湖北文）设ABC ∆的内角,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若三边的长为连续的三个正整数,且
A B C >>,320cos b a A =,则sin :sin :sin A B C 为（ ）
A ．4∶3∶2
B ．5∶6∶7
C ．5∶4∶3
D ．6∶5∶4
8、（2011上海）在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，若0
75,60CAB CBA ∠=∠=，则A C 两点之间的距
离是 千米。

9、（2012重庆文）设△ABC 的内角A B C 、、 的对边分别为a b c 、、,且1
cos 4
a b C ==1，=2，,则sin B =____ 10、（2012北京文）在△ABC 中,若3a =
,b =3
A π
∠=
,则C ∠的大小为___________.
11、（2012陕西文）在三角形ABC 中,角A,B,C 所对应的长分别为a,b,c,若a=2 ,B=6
π
,则b=______
12、（2012北京理）在△ABC 中,若2a =,7b c +=,1
cos 4
B =-
,则b =___________. 13、已知△ABC
的等比数列，则其最大角的余弦值为_________. 14、如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？
15、（2009安徽理）在∆ABC 中，sin()1C A -=, sinB=
1
3
. （I ）求sinA 的值；
（II ）设
，求∆ABC 的面积.
16、（2012安徽文）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ,且有2sin cos sin cos cos sin B A A C A C =+
（Ⅰ）求角A 的大小;
（II ） 若2b =,1c =,D 为BC 的中点,求AD 的长.
17、（2011江苏）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,, （1）若,cos 2)6sin(A A =+
π
求A 的值；
（2）若c b A 3,3
1
cos ==，求C sin 的值.
18、（2012天津文）在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的分别是,,a b c .
已知2,a c A ===. （I ）求sin C 和b 的值; （II ）求cos(2)3
A π
+
的值.
19、（2010陕西）如图，A ，B
是海面上位于东西方向相距(53海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B
点相距C
点的救援船立即即前往营救，
30︒ 45︒ 75︒
A
C D 15︒
其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？
20、我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知 6000CD =米，45ACD ∠=︒，75ADC ∠=︒，目标出现于地面点B 处时，测得30BCD ∠=︒，15BDC ∠=︒（如图），求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）.
【课后作业】
1、（2009全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中，12
cot 5
A =-
，则cos A = ( ) A ．1213 B ．513 C ． 513- D ． 1213
-
2、（2009全国卷Ⅱ理）已知ABC ∆中，12
cot 5
A =-， 则cos A = ( )
A. 1213
B.513
C.513-
D. 1213
-
3、（2012湖南文）在△ABC 中,BC=2,B =60°,则BC 边上的高等于（ ）
A B C D 4、在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B ·sin C ，则角A 等于（ ） A ． π3
B ．
2π3
C ．
3π4
D ．
5π
6
5、在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
6、在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于 ( )
A ．1∶5∶6
B ．6∶5∶1
C ．6∶1∶5
D ．不确定 7、（2009湖南文）在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则
cos AC
A
的值等于 ，AC 的取值范围为 . 8、（2012湖北理）设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 若()()a b c a b c ab +-++=,则角C =_________. 9、在△ABC 中，已知c ＝10 2 ，C ＝60°，a ＝2033，则∠A ＝ .
10、在△ABC 中，已知三边满足（a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，则∠C 等于 . 11、在△ABC 中，若 a 2b 2 ＝tan A
tan B
，则△ABC 是 .
12、在△ABC 中，已知B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，那么此三角形的最大边的长是 .
13、在△ABC 中，已知sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝ 3 sin A sin C ，求B 的度数.
14、如图，在△ABC 中，已知角B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB .
15、（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知2
2
2a c b -=，且
sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b.
16、（2009浙江理）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，且满足cos 2A =，3AB AC ⋅=． （I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．
17、已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 依次成等差数列，又三边a 、b 、c 依次成等比数列，求证：该三角形为正三
角形.
18、（2011山东） 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos 2cos A C c a
B b
--=
， （Ⅰ）求
sin sin C A 的值；（Ⅱ）若1
cos ,24
B b ==，求AB
C ∆的面积S 。

19、某观测站C 在目标A 南偏西25︒方向，从A 出发有一条南偏东35︒走向的公路，在C 处测得公路上与C 相距31千米的B 处有一人正沿此公路向A 走去，
走20千米到达D ，此时测得CD 距离为21千米，求此人所在D 处距A 还有多少千米？
20、飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m ，速度为 180km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为'
1830︒，经过120秒后又看到山顶的俯角为81︒，求山顶的海拔高度（精确到1m ）.
A
C
D
31
21
20
35︒
25︒
东
北
A B D
M
【参考答案】
【课堂练习】
1-7、BCCCD DD
8
9、
4
10、2
π 11、2
12、4
13、4
- 14、10 2 km
15、sin 3A =，ABC S =
16、,3A AD π=
= 17、1,sin 33
A C π==
18、sin C ，1b = cos(2)3A π+= 19、需要1小时
20、
【课后作业】
1-6、DDBBDA
7、2，)3,2(
8、23
π 9、45°
10、60°
11、等腰或直角三角形
12、5 2
13、B ＝150°
14、562
15、40(b b ==或舍）
16、1sin 22ABC S bc A ∆∴==，
a ∴=17、证法一：∵A 、B 、C 成等差数列，则2B ＝A ＋C ，
又A ＋B ＋C ＝180°，∴3B ＝180°，∴B ＝60°，
再由a 、b 、c 成等比数列，可得b 2＝ac ，
因此用余弦定理
b 2＝a 2＋
c 2－2ac cos B ，∴ac ＝a 2＋c 2－2ac ·12
， 即（a －c ）2＝0，∴a ＝c ，A ＝C
又B ＝60°，∴△ABC 为正三角形.
18、
sin 2sin C A =，S =
19、15千米
20、18130m。