(整理)微分方程的例题分析与解法

微分方程的例题分析及解法
本单元的基本内容是常微分方程的概念，一阶常微分方程的解法，二阶常微分方程的解法，微分方程的应用。

一、常微分方程的概念
本单元介绍了微分方程、常微分方程、微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等基
本概念，要正确理解这些概念；要学会判别微分方程的类型，理解线性微分方程解的结构定理。

二、一阶常微分方程的解法
本单元介绍了三种类型的一阶微分方程的求解方法：变量可分离型，齐次型，线性方程。

对于一阶微分方程，首先要看是否可以经过恒等变形将它的变量分离；
对于一阶线性微分方程，先用分离变量法求解其相应的齐次方程，再用常数变易法求解非齐次方程；当然也可直接代下列通解公式：
pxdx
q(x)e pxdx
ye dxC
齐次型微分方程
y
yf()
y x
令u u与自变量x的变量可分离的微分方程。

，则方程化为关于未知数
x
三、二阶微分方程的解法
1．特殊类型的二阶常微分方程
本章介绍了三种特殊类型的二阶方程的求解方法：
（1）y f(x)，直接积分；
（2）y f(x,y)，令y p，
（3）y f(y,y)，令y p，则y dp p
dy
这三种方法都是为了“降价”，即降成一阶方程。

2．二阶线性常系数微分方程
二阶线性常系数微分方程求解的关键是：
（1）特征方程
对于相应的齐次方程，利用特征方程
2
p q0
求通解：
（2）对于非齐次方程，根据下列形式自由项的特点
f(x)e x P m(x)
和f(x)e ax
P l(
~
x
x)cosxp n(x)sin
设置特解y的形式，然后使用待定系数法。

四、微分方程的应用
求解应用问题时，首先需要列微分方程，这可根据有关科学知识，分析所研究的变量应该遵循的规律，找出各量之间的等量关系，列出微分方程，然后根据微分方程的类型的用相应的方法求解，还应注意，有的应用问题还含有初始条件。

一、疑难解析
（一）一阶微分方程
1．关于可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程是一阶微分方程中的一种最简单的方程，形如
f1(x)g1(y)dxf2(x)g2(y)dy0（1）
的微分方程称为变量可分离的微分方程，或称可分离变量的微分方程，若
f2(x)g1(y) 0，则方程（1）可化为变量已分离的方程
g2(y)dy f1(x)dx
g1(y)f2(x)
两端积分，即得（1）的通解：
G(y)F(x)C（2）
（2）式是方程（1）的通解（含有一个任意常数），但不是全部解，用分离变量法可求
出其通解为y sin(x c)，但显然y1也是该方程的解，却未包含在通解中，从这个例
子也可以理解通解并不是微分方程的全部解，本课程不要求求全部解。

有些看上去不能分离变量的微分方程，通过变量代换可以化为可分离变量的方程来求
解。

如齐次型微分方程。

y f(y
)或
dy
f(
y
)（3）
x dx x
可用代换y ux化为
du dx
f(u) u x
两端同时积分即可求解。

（2）关于一阶线性微分方程。

一阶线性微分方程是指形如
y p(x)y q(x)（4）的方程，其中p(x)、q(x)是已知函数，其特点是y，y都以一次幂的形式出现在方程中，求它的通解时，即可以用公式
p(x)dx p(x)dx
（5）
ye(q(x)e dxC)
来求，也可以用常数变易法来求，即通过分离变量法先求出齐次线性方程
y p(x)y0
p(x)dx
，再令C来未知函数C(x)，将yC(x)e p(x)dx
的通解yCe代入
方程（4），求出C(x)，最后得到所求通解y
p(x)dx
C(x)e。

有的方程把x看作未知函数，y看作自变量时成为一阶线性微分方程，如方程
ylnxdx(x lny)dy0
可变形为关于x x(y)的一阶线性非齐次方程
dx x1
dy ylny y
如同一些方程用适当的变量代换可化成可分离变量方程求解一样，有些方程用变量代换可以化成一阶线性非齐次方程，如伯努利方程。

y p(x)y q(x)y n，(n0,1)
用代换z y1n则化为z(1n)p(x)z(1n)q(x)
（二）关于常数变易法
所谓常数变易法就是将相应的线性齐次微分方程通解中的常数C变为待定函数C(x)，然后代入线性非齐次微分方程中，求出C(x)，从而得到线性非齐次微分方程通解的方法。

C(x)，由于y p(x)y0的通解为yCe p(x)dx
常数变易法的关键是如何确定（1），
将常数C用C(x)代换，设y
p(x)dx
p(x)yq(x)的通解，将其代入C（x)e为方程y
方程中，就得到关于待定函数C(x)的导数C(x)应满足的方程，即
(p(x)dx()
（*）
C xe qx
（*）式是求C(x)过程中重要的一步，应记住这个表达式，事实上，它的左端是将通
解yC(x)e p(x)dx
*）式中的C(x)换成C(x)，右端是原方程中右端顶（非齐次项）将（
变形，再求积分就得到C(x)。

p(x)dx
D
C(x)q(x)e dx
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例
求y
y 21nx 的通解。

x
x
1
2lnx y 解
这是一阶线性方程， ，q(x)
p(x)。

相应的齐次方程y
0的
x
x
x
通解为y Cx 。

设非齐次方程的通解为y C(x)x ，代入原方程，得
C(x)x
2lnx
x
2lnx 2lnxd(1
)
C(x)
x 2
x
2
2 2
2
C
lnx
x 2dx
lnx
x
x
x
所求通解为面y
(2
lnx 2 C)x 2xlnx
2Cx
x x
（三）可降阶的特殊
本章所研究的二阶微分方程主要有两类：一是可降价的二阶微分方程，它的形式及相应的解法见表8-1：
表8-1可降阶的二阶微分方程及求解方法
方程形式
求解方法
y
f(x)
积分得y f(x)dx
C ，再积分，得通解。

y
f(x,y)
设y
p ，则yp
，方程化为pf(x,p)
设y
p,则
y
p
dp
，方程化为
dy
y
f(y,y)
dp
p
dy
f(y,p)
（四）二阶线性常系数微分方程
y py qyf(x)
(
其中p,q 为常数)
当f(x)
0时称为齐次的，此时通解依特征方程 2
pq0的特征根1,
2而定
（见教材表 8-6-1），当f(x)0
时，称为非齐次的。

它的通解可写成
y
y
y
其中y 是该方程对应的齐次方程
y
py qy 0
的通解，而 y 是该方程的一个特解。

y f(x)
特解y 具有相应的特殊形式，如表
8-2所示。

这时可用特定系数法来求出
y 。

表 8-2
非齐次项f(x)的形式
特征方程的根
特解
y
的形式
0不是特征根（即q 0时） y (x),(x)是与f(x)同次的多项式 f(x)是n 次多项式
0是特征方程的单根（即 q 0 时
y x (x)
0是特征重根，（即p
q 0
时）
y x 2(x)
f(x)e ax P(x)
a 不是特征根
y
Q m (x)e x
m
Q m (x)是与
P m (x)
同次的多项式
即f(x)是指数函数
a 是单特征根
y xQ m (x)e
x
与多项式乘积
a 是重特征根
y
x 2Q m (x)e x
i 不是特征根 y A l (x)cos x
B l (x)sin
x
f(x)P n (x)cosx l
maxm,n
Q m (x)sinx
i
是特征根
y
xA l (x)cos
x B l (x)sin
x
A l (x)、
B l (x)
都是
l
次多项式
ax
a
i 不是特征根
ax
l
l
f(x)e[p n (x)cosx
y
e
(x)sin
x
A(x)cosx
B Q m (x)sin x]
a i 是特征根
y
xe ax A l (x)cos
x B l (x)sin
x
从表8-2
可以看出，特解y 的设法与非齐次项 f(x)的形式基本是相同的，
只不过依a
不是特征根、是单根、是重根时，依次再分别乘以一个
x k 因子（k0,1,2）。

解题时首先应设定特解
y 的形式，注意其中的未知多项式
(x)或Q m (x)或A l (x)，
B l (x)的次数的确定方法；设定未知多项式的系数后，将
y 代入原方程，用待定系数法确
定未知系数。

（五）关于特征根法
特征根法不仅可用于二阶线性常系数齐次微分方程通解，也可用于求高阶线性常系数齐次微分方程通解，即
（1）若 是单实根，则通解中含加C 1e x
（2）若 是m 重实根，则通解中含加项（C 1
C 2x
C m x m1)e x
（3）若
ai 是共轭复根，则有通解中含加项
e ax (c 1cosxC 2sinx)
根据上述这些加项，就可写出方程的通解形式。

例如求方程y (4) 2y2y2y
6y
0的通解。

其求特征方程是
分解因式为 (
1)2(
2
1)
0_
特征根为 1
2
1,
3,4
i
因为
1是二重根，所以通解中含加项 (C 1 C 2x)e x ；因为3,4
i 是一对共轭复根，
所以通解中含加项C 3cosx _C 4sinx,从而得到原方程的通解为
yC 1e x
C 2xe x
C 3cosxC 4sinx
二、例题分析
例1 为下列各题选择正确答案：
（1）下列微分方程中，是二阶线性微分方程的为（ ）
A ．(y)2
y y x
B
．(y)2 2y cosx
C ．yy 2y
D
．xy
5y
3x 2y
ln 2x
（2）下列微分方程中，（ ）所给的函数是通解。

A ．y
x
,yx ；
B
．y
x ,x 2 y 2C 2；
y
y
C ．y
x
,y
C ； D
．y
x ,x 2 y 2
1；
y
x
y
（3）下列微分方程中为可分离变量方程的是（
）
A ．
dx
xt t ；
B
．x
dx
e xt sint ；
dt
dt
C ．
dx
xtt 2；
D
．dx
x 2 t 2；
dt
dt
（4）微分方程y 2y
ye x cosx 的特解形式应设为
y （
）
A ．Ce x cosx ；
B
．e x (C 1cosx C 2sinx)；
C ．
xe x (
C 1 cos
xC 2
sin )；
D ．
2
e x (
C 1 cos
xC 2
sin x )；
x
x
（5）微分方程y y
0的通解为（
）
A ．yC 1e x C 2e x
B
．y(C 1
C 2x)e x ；
C ．y
C 1cosx
C 2sinx ；
D
．y
(C 1 C 2x)e x ；
解（1）微分方程的“阶”是指方程中未知函数的导数的最高阶数，
“线性”是指未知
(y)2
yy
都呈非线性形式，B中(y)2是一阶导数，方程为一阶方程，故只有选择D正确，事实上，D 中方程可化成二阶线性方程的标准形式为y51
y3xy lnx。

x x
（2）微分方程的通解是指所含独立任意常数的个数与微分方程的阶相等的解。

经验证，所给四个答案中，A、B、C是方程的解，但A、D中不含任意常数，说明它们是特解，不是
通解，故选项B正确。

（3）将方程进行变量分离，可知
dx
t(x1)是可分离变量方程。

A为
dt
B、C、D均不能分离变量，故正确选择是A。

（4）二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式与右端项的形式密切相关，此方程中
右端项f(x)e x cosx，因此特解y应设为y x k e x(C1cosxC2sinx),其中k由ai不是特征方程的根，是单根或是重根而分别设为0，1，2此题中a1,1,a i
不是特征根，因此特解应设为
y
x(
C1
cos
xC2
sin),故正确的选项为B。

e x
（5）二阶常系数线性齐次方程的通解与特征方程的根的形式密切相关。

y y0的
特征根为i，是共轭复根，通解为三角函数形式yC1cosxC2sinx，故选项C正确。

例2在下列各题的空白处填写正确答案：
（1）通过点（1，1）处，且斜率处处为x的典线方程是。

（2）二阶微分方程y e x的通解是。

（3）微分方程y y0满足初始条件y(0)1,y(0)1的特解为。

（4）齐次方程y y1的通解是。

x
x的曲线方程应满足
解（1）斜率处处为
y x
积分得y1x2C，代入条件y(1)1，得C1，故所求曲线方程是y1x21。

2222（2）对y e x两次积分，得ye x C1,y e x C1x C2，此为所求通解。

（3）微分方程y y0的特征方程为20，特征根为11,20，通解为y C1e x C2
将初始条件y(0)1,y(0)1代入，得C11,C22，故所求特解为y e x2。

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（4）设u
y
,则dyudx
xdu,代入原方程中，得xdudx,u
lnCx ，故所求通
x
解为y
xlnCx
例3
判断下列微分方程属于哪种类型，并求出它们的通解或特解。

（1）(e xy e x )dx(e xy e y )dy0；
（2）y(x 2y)dxx 2dy
0；
（3）(y x 2 y 2)dxxdy0,y(1)0
（4）y
4xxy 2,y(0)1
y x 2y
分析 这几个方程都是一阶微分方程，通过适当变形来判断它们的类型。

解
（1）将方程变形，得
e x (e y
1)dx
e y (e x 1)dy
这是变量可分离型方程，分离变量得
e y dy e x dx
e y e x
1 1
d(e y
1) d(e x 1)
e y 1 e x 1 两端积分得：
ln(e y
1)
ln(e x 1)
C 1
整理后得方程的通解为
(e x 1)(e y 1) C
（2）观察方程中 dx 、dy 的系数，都是二次函数，故原方程为齐次方程。

当x
0时，各项除以 x 2，得
y
(1
2y
)dxdy0
x
x
令u
y ，则yux
x
dy udx xdu
代入方程中，得
u(1 2u)dx (udx xdu)
2
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du 2dx
u 2 x 两端积分得：
1 2lnxC 1
u
再将u
y x 代回，得
2lnxC 1
x
y
于是方程的通解为
x y
2lnCx
（3）观察方程中
dx 、dy 的系数，都是一次函数
( x 2
y 2可看作是一次函数），因此
方程为齐次方程。

当x
0时，将各项除以 x ，得
[
y
1 (y )2
]dxdy0
x
x
令u
y
，则yux
x
dy udxxdu
代入齐次方程中，得
(u1u 2)dx
(udxxdu)0
du dx 1u 2
x
两端积分，得
lnu 1
u 2 lnCx
u
1
u 2 Cx
将u
y 代回，得
x
y
x 2 y 2 Cx 2
将初始条件 y(1)
0代入，得 1 0 C,C 1。

故满足方程初始条件的特解为
y
x 2 y 2 x 2
移项，两端平方 x 2
y 2 (x 2 y)2
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整理后得y 1 (x21) 2
此即为所求特解。

（4）将方程变形，得
dy x(4y2）
dx y(1x2)
此为变量可分离方程。

分离变量，得
ydy xdx d(4y2)d(1x2)
4y21x24y21x2两端积分得ln(4y2)ln(1x2)lnC
(4y2)(1x2)C（C为任意常数）
将初始条件y x01代入，得C5
因此满足方程初始条件的特解为
(4y2)(1x2)5
例4判断方程的类型，并求解：
（1）ycosx ysinx1
（2）x2dy(2xyx1)dx0，y(1)0
（3）x3y(23x2)y0,y(1)1
*（4）ylnydx(xlny)dy0
（5）ye xy e x0
解（1）方程变形为
y ytanx secx
这是一阶线性非齐次方程
方法一：用公式法
p(x)dx
[q(x)e p(x)dx
ye dxC]这里p(x) tanx,q(x)secx,于是通解为
y
tanxdx
[secxe
tanxdx
C] e dx lncosx[sec lncosx
dx C
] e xe
cos[secxsecxdx C]
cosx(tanx
C)
sinx Ccosx
（C 为任意常数）
方法二：用常数变易法
先求出齐次方程 y
ytanx 0的通解；
将y
ytanx 0变形为
dy
tanxdx,两端积分得
y
lny lncosx
C 1
即齐次方程的通解为
y C 1cosx(C 1为任意常数）
设y
C(x)cosx,将其代入非齐次方程，得
C(x)cosx
secx,C(x)
sec 2x
积分求得
C(x)
sec 2xdxtanxC
故所求方程的通解为
y
(tanx
C)cosx
sinx
Ccosx （C 为任意常数）
（2）方程变形为
dy 2y 1 1
dx x x
x 2
此为一阶线性非齐次方程
p(x)
2
1 1
用公式求解：这里
,q(x) x x 2，于是方程的通解为
x
2
2
dx
dx
ye x [(1
1)e x dxC]
x
x 2
2lnx
1
12lnx
e
[ ( x
x 2
)e
dxC]
12 [(1
1
2
)x 2dxC] x
x
x
1
[( 1
2
x) C]
x 2 x 2 1 1 C
2 x
x 2（其中C 为任意常数）
将初始条件y(1)
0代入，得C
1
，因此方程满足初始条件的特解为
2
1 1 1
y
2
2 x 2x
（3）方程变形为
y
2 3x 2 y
x 3
这是一阶线性齐次方程，用公式求通解为
yCe
23x 2
dx 1 3lnx
1
x 3
Ce x 2
Cx 3e x 2
将初始条件y(1)
1 1 ，因此方程满足初始条件的特解为
代入，得C
e
1
y
x 3
e
x 21
*
4 y
看作自变量， x 看作未知函数，则原方程是关于未知函数
x(y)的一阶
（）将
线性非齐次方程。

dx 1 x 1
,(y1)
dy ylny
y
这里p(y)
1 ,q(y) 1
,于是通解为
ylny
y
1
dy
1
xe ylny
dy
[
1e ylny dyC]
y
e lnlny [
1
e lnlny dyC]
y
1 [ lny dy C]
lny y
1 (1
ln 2
y C)
lny 2
1
lny C （C 为任意常数） 2
lny
（ 5）该方程是一阶非线性方程，是可分离变量型方程，原方程变形为
y e x (e y
1) 0
dy 1 e x dx, e y dy e x dx
e y
1e y
积分得
ln(e y 1)e x
C ，e y
1Ce e x
x
故通解为y ln(1Ce e)（C为任意常数）
小结
（1）从上面的例子看出，判断方程的类型是最基本的，分清类型才能确定求解的办法，这不仅是对一阶微分方程而言的，对其它的微分方程也是如此。

（2）对一阶微分方程来说，如果它是形如y f(x)g(y)的方程，则属于变量可分离
方程；如果方程形如y f(y
)，则属于齐次方程。

有些方程则需作适当代换，化成上述两x
种类型。

如y f(ax by c)，令u ax by c，则可化成变量可分离的形式。

（3）一阶线性微分方程是一阶微分方程中比较基本而又重要的类型之一，它可以用公式
p(x)dx
[q(x)e p(x)dx
ye dxC]①求通解，也可以用常数变易法求通解，用公式法求通解时，要注意先把方程化成标准形式
yp(x)yq(x)②这亲才能准确地确定出p(x)、q(x)。

用公式法求通解时，要先求出齐次方程的通解
yCe
p(x)dx
，然后将常数C变成待定函数C(x)，即令
p(x)dx
yC(x)e③
为非齐次方程的通解，代入原方程求出C(x)，将C(x)代回③，这样便得到方程②的
通解。

（4）一阶线性非齐次方程的通解式①可写成下面两项之和
p(x)dx p(x)dx
q(x)e p(x)dx
yCe e dx
上式右端第一项是对应的齐次线性方程的通解，第二项是非齐次方程的一个特解（在通解式①中取C0便得到这个特解）。

由此可知，一阶线性非齐次方程的通解等于对应的齐次方
程的通解与非齐次方程的一个特解之和。

例5求下列微分方程的通解。

（1）y xe x（2）（3）(1x2)y2xy,y(0)0,y(0)3（4）yy(y)20y(y) 3y
分析这些都是可降价的二阶微分方程式，可用变量代换的方法将它们化为一阶微分方
程来求解。

解（1）方程右端不显含y,y，只把y作为新未知函数，则方程就是关于y的一阶微分方程，两边积分，得
y xe x dx xe x e x C1再积分即得通解y(xe x e x C1)dx
xe x2e x C1x C2（2）方程不显含x，作代换p y，于是
y dp dp dy p dp
dx dy dx dy
代入原方程，得yp dp
p20 dy
如果p0，那么约去p并分离变量，得
dp dy
p y
两端积分并化简，得p C1y，即y C1y
分离变量并积分，得lny C1x lnC2
于是有y C2e C1x
如果p0，那么从y p中可得y C，显然它也是原方程的解，但y C已被包含在解
y C2e c1x
中了（仅C10，就得到它），所以原方程通解为
y C2e C1x
3y,
设y p，则y p代入方程并分离变量后，有
（）方程不显得
dp2x2dx
p1x
两端积分，得lnp ln(1x2)lnC1，即
py C1(1x2)
由条件y(0) 3，得C13，所以
y3(1x2)
再积分，得y x33x C2由条件y(0)1，得C11
于是所求的特解为y x33x1
（4）方程仅含y，不显含y与x，设p y，则y p dp
，代入原方程，得dy
p dp p3p
dy
当p 0时，约去p并分离变量，得
dp
p21dy
积分得arctanP y C,P tan(y C)
将p y代入并分离变量得
dy
dx
tan(y C)
积分得lnsin(y C) x lnC2即
sin(y C)C2e x
于是原方程的通解为
yarcsin(C2e x)C1(C1C)
此题是中，若y表示为p，即y p，那么代入原方程后也得到一个可分离变量方程。

p p3p
分离变量并积分得
dp
dx
p(p21)
1
ln(1
1
2)xC
2p
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即
故
两个计算结果是一致的。

小结
p21
Ce2x1
y
1e x dx
2x1
dx
Ce Ce2x
arcsin(C1e x)C2（其中C11
C
从上面例子看出，方程（1）y f(x)直接积分两次就可得到通解，而方程（2）和（3）则必须作代换后通过降价才能求通解，值得注意的是，对方程（2）和（3）所作的代换是相
同的，即均为y p，但y的表达式却是不同的，要根据方程中是含有x还是含有y而将
y分别表示成y p（方程（3）情形，含x不含y）或yp
dp
dy
y不含x）。

例6求下列微分方程的通解：
（方程（2）情形，含
（1）y4y 13y 0（2）y5y 6y0
分析这两个是二阶常系数线性齐次方程，写出特征方程，求出特征根，根据特征根的不同情况，定出它们的通解。

解（1）所给微分方程的特征方程是
2
4130
特征根23i，为一对共轭复根，因此所求通解为
ye2x(C1cos3x C2sin3x)
（2）所给方程的特征方程是
2
560
特征根16，11是两个不相等的实根，因此所求通解为
y C1e6x C2e x
例7求初值问题
4y 4y y0
y(0) 1,y(0)0
的解。

解所给微分方程的特征方程为
42410
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特征根1,21
是两个相等的实根，因此所求方程的通解为：2
1x
y(C1C2x)e2
将初始条件y(0)1,y(0)0代入，求得C11,C21
，因此初值问题的解为2
y(1
1x 1
x)e2
2
例8求下列微分方程的通解
（1）2y5y5x2（2）y6y9y(x21)e3x
分析这是二阶常系数线性非齐次方程，求通解y时，应先求出对应齐次方程的通解y，再根据右端函数的形式及特征根的情况，设出非齐次的方程的特解y，则yy就是所求通解。

解（1）先求齐次方程2y5y0的通解y，特征方程为2250，特征根为
10,25
2
5x
故齐次方程通解为y C1C2e2
由于a0是特征根（方程右端函数可看作是5x2e0x），故特解设为
y x(Ax2Bx C)e0x Ax3Bx2Cx
注意：
无论f(x)中有无了一次项及常数项，在设y时，其中的二次多项式Q2(x)中必须含有二次项、一次项和常数项。

因为y3Ax22Bx C
y6Ax 2B
代入方方程中，有
15Ax2(12A 10B)x (4B 5C)5x2
比较两边同次幂的系数，得
15A5
12A10B0
4B5C0
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从而求得A 1
,B
2
,C
8
，所以原方程的一个特解是3525
128
y x3x2x
3525
于是原方程的通解为
5x
(1x32x28 x)
yC1C2e2
3525
（2）齐次方程y6y9y0的特征方程为
2
690
特征根为两个相符的实根3，故齐次方程的通解为y(C1C2x)e3x 由于a3是重根，因此非齐次方程的特解形式为
y x2(Ax2BxC)e3x
因为y[3Ax4(4a3B)x3(3B3C)x22Cx]e3x
y[9Ax4(24A9B)x2(12A18B9c)x2(6B12C)x2C]e3x 代入方程中，整理有
12Ax26Bx2C x21
比较两端同次幂的系数，有
A 1
,B0,C
1 122
所以原方程的一个特解为
y x2(1x21)e3x
122
于是原方程的通解为
y(C1C2x)e3x x2(1x21)e3x
(1
x41x2
122
C2xC1)e3x
例9
122求下列方程的特解
(1)y8y16y x e4x
(2)y2y2y xe x,y(0)1,y(0)0
解（1）方程右端函数f(x)xe4x可看作是函数f1(x)x与f2(x)e4x之和，因此原方程的特解y是下列两个方程
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y8y16y f1(x)x①
y8y16y f2(x)x4x②的特解y1与y2之和，即y y1y2
微分方程的特征方程为28160，显然0不是特征根，因此方程①的特解设为y1Ax B
计算y2、y2并代入方程，有
8A 16Ax 16B x，
解出A
1,B1故方程①的特解为
1632
y11x1
1632
由于4是二重特征根，因此方程②的特解为
y2Cx2e4x
计算y2、y2并代入方程有
2Ce4x e4x,C1
2
故方程②的特解为
y21x2e4x
2
于是原方程的一个特解为
y y y11124x
2
1
16322
（2）特征方程为2
220，显然a1不是特征根，因此特解设为
y(Ax B)e x
因为y(A BAx)e x
y(B 2A Ax)e x 代入方程中，有(Ax B)e x xe x，比较两端同次幂系数，求得
A 1,B0
于是求得方程的一个特解
y xe x
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经验证知它不是满足初始条件的特解
为求满足初始条件的特解，必须要先求出原方程的通解，由于原方程对应的齐次方程的通解为
y e x(C1cosx C2sinx)
所以原方程的通解为
y yy e x(C1cosx C2sinx)xe x
将初始条件y(0)1,y(0)0代入，求得
C11,C20
故满足初始条件的特解为
y(cosx x)e x
由此例可以看出，如果仅求方程的一个特解，那么由待定系数法就可以求出：若要求满足初始条件的特解，则需先用特定系数法求出一个特解（此特解不一定满足题给的初始条
件），这时应先求出非齐次方程的通解，然后再代入初始条件，确定任意常数，这样才能
求得初值问题的解。

例10求下列微分方程的一个特解。

（1）y4y4y e2x sin5x
（2）y2y3y(x1)sinx
（3）y
2y
2
y e x
cos
x
4
解(1)特征方程为2
440，特征根为2
12
由于非齐次项
f (
x
)
e
2x sin5,
5,a i25i不是特征根，故特解x其中a2,
设为
ye2x(Acos5x Bsin5x)
其中A、B是待定系数（注意：特解不能只设一项Ae2x sin5x），因为f(x)应看成是
f(x)e2x(sin5x0cos5x)
对特解求导
y e2x[(2A5B)cos5x(2B5A)sin5x]
y e2x[(20B21A)cos5x(20A21B)sin5x]
将y,yy一同代入原方程，整理后得
e2x(25Acos5x 25Bsin5x)e2x sin5x
比较两端同类项系数，得A0,B
1
,于是方程的一个特解为
251
e2x sin5x
y
25
（2）特征方程为2
230,特征根13,21，由于f(x)(x1)sinx属
于f(x)e ax[p l(x)cos x Q n(x)sin x]型，这里a0,1,p(x)0，故特解设为
y(a1x a0)cosx(b1x b0)sinx
计算y,y,有
y(a1b0b1x)cosx(b1a0a1x)sinx
y(2a1b0b1x)sinx(2b1a0a1x)cosx
代入原方程，有
(4a02b02a12b14a1x2b1x)cosx
(2a04b12a12b12a1x4b1x)sinx(x1)sinx
比较两端同项的系数，得
由此解得
于是求得一个特解为
（3）特征方程为f(x)e ax型，这里a
4a02b02a12b10
4a12b10
2a04b02a12b11
2a14b11
a1
1
,b11
105
a0
1
,b0
11
2550
y(
1
x
1
)cosx(1x
11
)sinx
1025550
2220，特征根1i，由于f(x)4e
x cosx，属于1,1,p1(x)
~
0,由于ai是单特征根，故特解设为
4,p n(x)
yxe x(C1cosx C2sinx)
为求导计算方便，设u(x) C cosx C sinx,于是
y xe x u
y e x(u xuxu)
y e x(xu2xu2u2u xu)
将以上三式代入方程中，并考虑到u u,u C1sinx C2cosx，于是有
y2y2y e x(xuxu2u)
e x2u
2x(
C1sin
x C2
cos
x
)
e
4xe x cosx
较同类项系数，得C10,C22,于是所求方程的一个特解为
y2xe x sinx
例11求方程y y y cos2x的通解。

解将f x2x
变形为
()sin
f(x)11
cos2x
y是齐次方程22
于是原方程的通解
y y y0①的通解y与下面两个方程
y y y 1
②2
y y y 1
③cos2x
2
的特解y1和y2的和，即y y y1y2
特征方程为210，特征根为13
i，故方程①的通解为
22
1x3xC
2sin 3 x)
ye2(C1cos
22对方程②来讲，由于0不是特征根，故特解设为
y A
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代入方程②，解出
A
1
，故y 1
1
2
2
对方程③来讲，由于
a
0,
2,a i 不是特征根，故特解设为
y 2
B 1cos2x
B 2sin2x
计算y 2、y 2
并代入方程，整理得
( 3B 1 2B 2)cos2x
(3B 2
2B 1)sin2x
1
cos2x
2
比较两端同类项系数得
1 3B 1 2B 2
2
3B 2 2B 1 0
解出B 1
3
,B 2
1
,故
26
13
3 1
y 2
sin2x
cos2x
13
26
所以原方程的通解为
y
y y 1 y 2
x
3
x)
3
cos2x
1
sin2x
e 2(C 1cos
3
x C 2 sin
1
2
2
2
26
13
求一阶或二阶微分方程通解常用的方法还有数值解法（如龙格一库塔法）
、幂级数解法
等，这些例子教材中已讲得较详细了， 在此不赘述了，下面看一下关于微分方程的应用问题
举例。

例12 求一曲线，使由其任一点的切线、二坐标轴和过切点平行于纵轴的直线所围成
的梯形面积等于常数值
3a
2
解 ①列方程
设p(x,y)是所求曲线
y f(x)上的任一点，则过该点的切线方程为
Y y
y(X
x)或Y y(X
x) y
其中(X,Y)是切线上任意一点的坐标。

于是由该切线、二坐标轴及直线
X
x 所围成的梯形面积为
x
[1
y(Xx)2
yX]0x
yx 1
yx
2
S[y(Xx) y]dX
2
2
由已知条件S
3a 2得
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1yx 2 yx3a 2
2
即
2y 6a 2 （*）
y
x 2
x
②解方程
这是一个线性非齐次方程，其对应的齐次方程的通解为
2
Ce 2lnx
Cx 2
yCe x
用常数变易法求非齐次方程（
*）的通解，设通解为
y C(x)x 2
代入方程（*），整理后得
C(x)x
2
6a 2
6a 2
x 2 ,C(x)
x 4
C(x)
6a 2
2a
2
C
积分，得
4
dx 3
x
x
从而得到
y
(2a 2
C)x 2
x 3
即所求曲线方程为
2
2
2a
y Cx (
)
求解微分方程的应用问题时，首先要列出方程，然后再求解。

一般说来，列方程有有下
述两种方法：
（ 1）根据有关科学知识，分析所研究的变量应遵循的规律，找出各变量之间的等量关系，列出微分方程；
（ 2）微元法：这种方法的基本思想是，把所研究的整体理加以“细分”，取微元，分析
变量在微元内的变化情况，找出等量关系，再列出方程，具体做法是：将自变量
x 的取值区
间细分，从中任取一小段
dx ,在微小区间[x,x dx]上，示知函数看作是均匀不变的，于是
可用微分dy 近似代替函数
y 的改变量，在后根据物理定律列出方程。

例13
潜水艇下降过程中受到重力
mg 与阻力 k
dx
的作用，于是运动方程为
dt
即
mgk
dx
m d 2
x
dt
dt 2
m d 2m
k dx
mg
①
dt 2
dt
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这是二阶线性非齐次方程，特征方程为
m2k0特征根为0,
k,故对应的齐次方程的通解为
m
k t
x C1C2e m
由非齐次项f(x) mg,0是特征根，故方程①的特建设为
x At
代入方程①得kAmg,A mg
，从而特解为
k
mg t
x
k
由②、③知方程①的通解为
k t
mg t
x(t)C1C2e m
k
依题意，t0时，x(0)0,x(0)0，代入④中有
x(0)C1C20
k t mg)
t00
x(0)(k C2e m
m k
解出
C2m2g
,C1
m2g k2k2
于是得到潜水艇下降的深度x与时间t的关系是
mg t m2g k
x(t)(1e m t)
k k2
三、自我检测题②
③④
（一）填空题
1.微分方程y x的通解为。

2．方程y2y0的通解为。

3．方程y2y3y xe x的特解应设为y。

4．求方程y(1y2)32的通解时，设变量代换py，则原方程化为一阶微分工
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程。

5．微分方程y2y y0的通解为。

（二）单项选择题
1．微分方程F(x,y4,y,(y)2)0的通解中含有（）个独立任意常数。

A．1；B．2；
C．4；D．5
2．微分方程xy y Q(x)0的通解为（）
A．x Q(x)2dx C B．e x(xQ(x)dx C)；
x
x Q(x)
dxC．x Q(x)
C．e x D x2dxC 3.微分方程2y y y0的通解为（）
x
A．
y C1e x C2e2x ；B．yCe x C e2；
12
x
C．yC1e x C2e2；D.yC1e x C2e2x
4．微分方程y2dx(1x)dy 0
是（）微分方程。

A．一阶线性齐次；B．一阶线性非齐次；
C．可分离变量；D．二阶线性齐次；
5．下列方程中，可用代换P y,p y降为关于p的一阶微分方程的是（）。

A．(d2y)2xyx0B．d2y yyy20
dx2dx2
C．d2y x2yy2x0D．d2y y dy x0
dx2dx2dx
（三）计算题
1．求下列微分方程的通解或特解；
（1）xydx1x2dy0,y x01（2）(x2y2)dxxydy0
（3）yy2xsecy（4）y
y
(1lnylnx)
x
2．求下列方程的通解或特解
（1）y y sinx
,y()1（2）yxy1
x x
3．设方程y2y10y f(x)中f(x)分别为以下各函数，问特解如何去设？
（1）
f(x)xe x（2）f(x)e x sin3x
（3）f x xe x
cos3x
()
4．求下列方程的通解
（1）y3y2y xe x（2）y6y9y5cosx
（3）y y y sin2x
5．一曲线上各点的法线都通过点(a,b)，求此曲线的方程。

自我检查题答案或提示
（一）1．y1x3C1x C22．y Ce2x
6
．dp
3．y x(AxB)e x4(1p2)32
dx
5．yC1C2e x C3xe x
（二）1．B；2．A；3．B；4．C；5．A；
（三）1．（1）y e1x21（2）y22x2ln(x C)（3）x2ysiny cosyC（4）y xe cx
2．（1）y1cosx（2）x y2Ce x
x
3.（1）y(AxB)e x（2）y xe x(Acos3x Bsin3x)（3）y xe x[(AxB)cos3x(Cx D)sin3x]
4．（1）
（2）y C1e x C2e2x(1x2x）e x
2
y C1e3x C2xe3x
2
cosx
3
sinx
510
（3）提示：sin2x1cos2x；
2
x
3x 3
x)
1
sin2x
3
cos2x1
ye2(C1cos C2sin
2213262 5.(xa)2(yb)2C。