离散傅里叶变换DFT的性质

以顺时针方向画出。
以m=0为例，计算出 x 3 ( 0 )
x 3(0 ) 2 4 6 2 1 4
卷积的四个步骤： 1、反转序列 2、移位反转后的序列 3、将两个序列点点相乘 4、将乘积序列各值相加
注：可自行查阅《信号与系统》P59-60比较与计算线性 卷积的区别
例7.2.2 通过DFT和IDFT来计算两个序列对应的圆周卷积序 列 x3(m )
可利用圆周序列图来计算 计算两个DFT的乘积:
X (e ) x[n]e Homework1：推导圆周频域移位性质和复j 共轭性质
jn
哪些性质DFT和DTFT是完全相同的？
在圆周卷积中，折叠和移位(旋转)操作是通过对一个序列的序号做模N运算按照周期方式实现的，而在线性卷积中，不存在模运算。
离散时间傅里叶变换对（DTFT）：
XI (k)Nn01xR(n)sin2NknxI(n)cos2Nkn
x [ n ] 为 实 奇 函 数 ， 则 X ( k ) 为 虚 奇 函 数
（4）纯虚序列
x(n) jxI (n)X XR I ((kk))N nN n0101xxII((nn))csoins22N Nkknn
如 果 x l(n ) 是 奇 数 ， 那 么 X l(k ) 0 ， 则 X (k ) 为 实 奇 函 数 ； 另 一 方 面 ， 如 果 x l(n ) 是 偶 数 ， 那 么 X R (k ) 0 ， 则 X (k ) 为 虚 偶 函 数 。
对应于周期序列 x p ( n ) 为奇序列：xp(n)xp(n)xp(N n)
• 共轭偶序列和共轭奇序列
5、两个DFT的乘法和圆周卷积
N 1
X1(k) x1(n)e j2nk/N n0
N 1
X2(k) x2(n)e j2nk/N n0
X3(k) X1(k)X2(k)
k 0, 1, , N 1
X2(0)10 X2(1)2j2 X2(2)2 X2(3)2j2
计算两个DFT的乘积:
X 3 ( k ) X 1 ( k ) X 2 ( k ) X 3 ( 0 ) 6 0 X 3 ( 1 ) 0 X 3 ( 2 ) 4 X 3 ( 3 ) 0
计算 X 3 ( k ) 的IDFT
3
x3(n)1 4 X3(k)ej2nk/41 4(604ejn) k0
3、将两个序列点点相乘
共轭偶序列和共轭奇序列
离散时间傅里叶变换对（DTFT）： 哪些性质DFT和DTFT是完全相同的？
在圆周卷积中，折叠和移位(旋转)操作是通过对一个序列的序号做模N运算按照周期方式实现的，而在线性卷积中，不存在模运算。 1(P348) 中列出的所有性质
可利用圆周序列图来计算
请大家结合课上学习、课下性质推导及
的 采 样 ， 且 以 N 为 周 期 重 复 出 现 。
2、线性
如果有 x1(n) DNFTX1(k)和x2 (n) DNFTX2 (k)
则对任意常数 a1 和 a2, 有 a1x1(n) a2x2(n) DNFTa1X1(k) a2X2(k)
3、对称性
x(n) xR (n) jxI (n) X (k ) X R (k ) jX I (k )
x [ n ] 为 实 偶 函 数 ， 则 X ( k ) 也 为 实 偶 函 数
（3）实奇序列
x(n)x(Nn) 0nN1XR(k)0
N1
2kn
X(k)j x(n)sin
n0
N
0kN1
XR(k)0x(n)j
1N1X(k)sin2kn
Nk0
N
0nN1
DFT: XR(k)Nn01xR(n)cos2NknxI(n)sin2Nkn
x'(n)=x(nk,对N求余) x((nk))N
当 k 2和 N 4 x (n ) x ((n 2 )) 4 x (0 ) x (( 2 )) 4 x (2 ) x (1 ) x (( 1 )) 4 x (3 ) x (2 ) x ((0 )) 4 x (0 ) x (3 ) x ((1 )) 4 x (1 )
N1 n0
x1(n)e
j
2kn/
N
N1 l0
x2(l)e
j
2kl
/
N
ej
2km/
N
1 N
N1
N1
x1(n) x2(l)
n0
l0
N1
j2k(mnl)/ N e k0
N 1 ak
k 0
N, 1
a
N
1 a
,
a 1 a 1
此 时 ，a e j 2 ( m n l )/ N
N 1 ak
自行查阅并掌握 表7.1(P348) 中列出的所有性质
4、序列的圆周对称性
xp(n)是x(n)的周期延拓，xp(n) x(nln) l
现将xp(n)向右移位k个单位，xp'(n)xp(nk) x(nlnk) l
xp'(n)对应的有限长序列x'(n) 0x,'其 p(n他),0nN1就是x(n)的圆周移位 通常，序列的圆周移位可表示成序号对N求余，可写成
x 1 ( n ) { 2 ,1 ,2 ,1 }x 2 ( n ) { 1 ,2 ,3 ,4 }
利用 X3(k)X1(k)X2(k)
解:
3
X1(k) x1(n)ej2nk/4 2ejk/2 2ejk ej3k/2 n0
X1(0)6 X1(1)0 X1(2)2 X1(3)0
3
X2(k) x2(n)ej2nk/4 12ejk/2 3ejk 4ej3k/2 n0
0 n N 1 0 k N 1
D F T
:
X R (k )
N 1 n0
x
R
(
n
)
c
o
s
2 kn
N
xI
(n) sin
2 kn
N
X
I (k )
N 1 n0
x
R
(
n
)
sin
2 kn
N
xI
(n) cos
2 kn
N
ID F T
:
xR (n)
1 N
N 1 n 0
X
R
(k
)
cos
N1
DFT{x((nl))N} x((nl))Nej2kn/N
n0
l1
N1
x((nl))Nej2kn/N x(nl)ej2kn/N
n0
nl
x((nl))N x(N l n)
l1
N1
N1
x((nl))Nej2kn/N x(N l n)ej2kn/N
x(m)e j2k(ml)/N
对于 x [ n ] ，可理解为是 x p [ n ] 的主值序列，一旦对n 的取值域不加限制时，x[n]以N为周期。
由 前 可 知 ， X(k)是 对 X(ej)的 采 样 ， X(ej)是 以 2为 周 期 的 周 期 函 数 ,即 X(k)是 X(ej)的 主 值 区 [0， 2]上 N 点 等 间 隔 采 样 。 显 然 ， 当 k超 出 D FT变 换 区 间 时 ， 必 然 得 到 [0,2]以 外 区 间 上 X(ej)
n0
n0
N1
N1l
x(nl)ej2kn/N x(m)ej2k(ml)/N
mNl
nl
m0
N1
N1
DFT{x((nl))N} x(m)ej2k(ml)/N ej2kl/N x(m)ej2km/N X(k)ej2kl/N
m0
m0
8、圆周频域移位（调制） 假如有x(n) DFT X(k), 则有
例7.2.1 对下面两个序列进行圆周卷积：
x 1 ( n ) { 2 ,1 ,2 ,1 }x 2 ( n ) { 1 ,2 ,3 ,4 }
N 1
x 3 (m )x 1 (n )x 2 ((m n ))N m 0 ,1 , ,N 1 n 0
可利用圆周序列图来计算
注意:序列默认是以逆时针方向画在圆周上的，反转序列则是
N1
[XR(k)cos
k0
2kn
N
Xl
(k)sin
2kn]
N
(2)实偶序列
x(n)x(Nn) 0nN1XI(k)0
N1
2kn
X(k) x(n)cos
n0
N
0kN1
XI(k)0x(n)N 1N k01X(k)cos2Nkn
0nN1
DFT: XR(k)Nn01xR(n)cos2NknxI(n)sin2Nkn XI (k)Nn01xR(n)sin2NknxI(n)cos2Nkn
讨论DFT的性质有何意义呢？
1.加深对离散傅里叶变换的理解，更好的掌握DFT 的特性，便于体会出时域和频谱表达存在的内在 联系。
2.这些重要的性质有助于简化变换与反变换的求取， 降低计算的复杂性。例如后面重点学习的FFT算法 就利用了DFT的周期性和对称性。
仔细看书中的性质列表，与DTFT性质表进行对比
n
N点序列的圆周移位等价于它的周期延拓的线性移位
1(P348) 中列出的所有性质
哪些性质DFT与DTFT存在一些差别？
可利用圆周序列图来计算
在圆周卷积中，折叠和移位(旋转)操作是通过对一个序列的序号做模N运算按照周期方式实现的，而在线性卷积中，不存在模运算。
讨论DFT的性质有何意义呢？
N点序列的圆周移位等价于它的周期延拓的线性移位
x3(0)14 x3(1)16 x3(2)14 x3(3)16
6、序列的时域反转
假 如 有 x(n) D F T X(k), 则 有 N
x((n))Nx(Nn) D N F T X((k))NX(Nk)
7、序列的圆周时域移位
假如有x(n) DFT X(k), 则有 N
x((nl))N DN FT X(k)ej2kl/N
2 kn
N
X I (k ) sin
2 kn
N
x I ( n )
1 N
N 1 n0
Hale Waihona Puke Baidu
X
R
(k
)
sin
2 kn
N
X
I
(k
)
cos
2 kn
N
(1) 实序列
x(n)为实序列X(Nk)=X*(k) X(k)
X(Nk) X(k) ,X(Nk) X(k)
xl (n) 0,
x(n)
xR(n)
1 N
N点序列的圆周移位等 价于它的周期延拓的 线性移位
• 序列关于零点对称，称为圆周偶序列:
x ( N n ) x ( n ) 1 n N 1
对应于周期序列 x p ( n ) 为偶序列：xp(n)xp(n)xp(Nn)
• 序列关于零点反对称，称为圆周奇序列：
x ( N n ) x ( n ) 1 n N 1
k 0, 1, , N 1 k 0, 1, , N 1
假定X3(k)为长度为N的序列x3(n)的DFT，x3(n)与x1(n) 和x2 (n)之间的关系？试着做个猜想
x3(m)
1 N
N1 k0
X3(k)ej2km/ N
1 N
N1 k0
X1(k)X2 (k)ej2km/ N
1 N
N1 k0
N
N
则有rxy(l) DN FT Rxy(k)X(k)Y*(k)
N1
rxy(l)为循环互相关序列: rxy(l) x(n)y*((nl))N
实序列2实偶序列为实偶函数则也为实偶函数knknknkn为实奇函数则为虚奇函数knknknkn自行查阅并掌握表71p348中列出的所有性质n点序列的圆周移位等价于它的周期延拓的线性移位序列关于零点对称称为圆周偶序列
离散傅里叶变换DFT的性质
1 我们为什么要讨论DFT的性质 2 回顾离散时间傅里叶变换DTFT的性质 3 DFT的隐含周期性、线性、对称性 4 圆周对称性、DFT乘法和圆周卷积 5 其他特性
N
x(n)ej2ln/N DN FT X((kl))N
9、复共轭特性 假 如 有x(n) DFT X(k), 则 有
N
x*(n) DN FT X*((k))NX*(Nk)
Homework1：推导圆周频域移位性质和复共轭性质
10、圆周相关性
x(n) DFT X(k) y(n) DFT Y(k)
对应于周期序列 为偶序列：
例如后面重点学习的FFT算法就利用了DFT的周期性和对称性。
可利用圆周序列图来计算
可利用圆周序列图来计算
1、周期性
假定有x(n) DFT X(k), 则有 N
x(nN)x(n) 对所有的n X(kN)X(k) 对所有的k
有没有对此产生疑 惑呢？
通过上一节对离散时间信号的频域采样与重建可知， DFT对应的时域和频域都是离散的，且只在有限区域上 有定义，时域为0,1…N-1，频域为0-2π。
k 0
N,
0,
l m n pN ((m n))N , p为 整 数 其他
N 1
x3 (m ) x1 (n) x2 ((m n)) N m 0, 1, , N 1
n0
在个而圆序称上周列为式卷的圆具积序周有中号卷卷，做积积折模。和叠N运的和算形移按式位照，(旋周包转期含)方了操式序作实号是现通的(过(m，对n而)一)N，在因 线性卷积中，不存在模运算。
加深对离散傅里叶变换的理解，更好的掌握DFT的特性，便于体会出时域和频谱表达存在的内在联系。
1 7、序列的圆周时域移位
j
x[n] X (e )e d 这些重要的性质有助于简化变换与反变换的求取，降低计算的复杂性。
jn
3 DFT的隐含周期性、线性、对称性
2
2 加深对离散傅里叶变换的理解，更好的掌握DFT的特性，便于体会出时域和频谱表达存在的内在联系。