学易金卷：2024年高考第二次模拟考试理科

2024年高考第二次模拟考试
数学(理科)
(考试时间：120分钟
试卷满分：150分)
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4.测试范围：高考全部内容
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合A =x |y =log 5x -1 ，集合B =y ∈Z |0≤y ≤3 ，则∁R A ∩B =
(
)
A.0,1
B.0,1
C.∅
D.0,1
2.设i 为虚数单位，且z 1+i =2，则z =
(
)
A.-1-i
B.1-i
C.-1+i
D.1+i
3.若向量a ,b 满足|a |=4,|b |=3，且(2a -3b )⋅(2a +b )=61，则a 在b 上的投影向量为
(
)A.-12b B.-13b C.23b D.-23b
4.已知等比数列a n 的前n 项和为S n ,a 1+a 2=12且a 1,a 2+6,a 3成等差数列，则
S 10
S 5
为()
A.244
B.243
C.242
D.241
5.第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆A ,B ,C 开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A 时，场馆B 仅有2名志愿者的概率为(
)
A.
3
5
B.
2150
C.
611
D.
34
6.已知函数f (x )=ln (e +x )-ln (e -x )，则f (x )是
(
)A.奇函数，且在(0,e )上是增函数 B.奇函数，且在(0,e )上是减函数C.偶函数，且在(0,e )上是增函数 D.偶函数，且在(0,e )上是减函数
7.“直线x sin θ+
12y -1=0与x +y cos θ+1=0平行”是“θ=π
4
”的(
)A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.已知双曲线C :x 2
a 2-y 2b
2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 为C 的右顶点，以F 1F 2为直径的圆
与C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，且∠P AQ =3π
4
，则双曲线C 的离心率为()
A.3
B.
213
C.5
D.3
9.
x +1
x
2-1
4展开式中常数项为
(
)
A.11
B.-11
C.8
D.-7
10.若函数f x =3cos ωx +
π3
ω>0 恒有f x ≤f 2π ，且f x 在-π6,π3 上单调递减，则ω的值为()A.-
16
B.
5
6
C.
116
D.
56或116
11.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则下列说法不正确的是
(
)
A.当三棱锥B 1-BEF 的所有顶点都在球O 的表面上时，球O 的表面积为3π2
B.异面直线DD 1与B 1F 所成角的余弦值为
25
5
C.点P 为正方形A 1B 1C 1D 1内一点，当DP ⎳平面B 1EF 时，DP 的最小值为
324
D.过点D 1、E 、F 的平面截正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1所得的截面周长为32+512.若点P 既在直线l :x -y +2=0上，又在椭圆C :x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)上，C 的左、右焦点分别为F 1,F 2，
F 1F 2 =2，
且∠F 1PF 2的平分线与l 垂直，则C 的长轴长为()A.
102
B.
10
C.
102或104
D.
10或
10
2
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知cos α+2β =5
6,tan α+β tan β=-4，写出符合条件的一个角α的值为
.
14.在正三棱台ABC -A 1B 1C 1中，AB =2，AB >A 1B 1，侧棱AA 1与底面ABC 所成角的正切值为2．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为
．
15.已知函数f x =x 3+ax 2+b 满足对任意的实数m ，n 都有f mn =f m f n +2f m +2f n +2，则曲线y =f x 在x =-1处的切线方程为
．
16.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积，且2S =a 2
-b -c 2
，则
b 2+
c 2bc
的取值范围为.三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．
17.已知a n 是公差不为零的等差数列，a 1=1，且a 1,a 2,a 5成等比数列．(1)求数列a n 的通项公式；
(2)若b n =(-1)n +14n
a n ⋅a n +1
，求b n 的前1012项和T 1012．
18.在直角梯形ABCD 中，AD ⎳BC ，BC =2AD =2AB =25，∠ABC =90°，如图(1)．把△ABD 沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD ．
(1)求证：CD ⊥AB ；
(2)在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60°？若存在，求出BN
BC
的值；若不存在，说明理由．
19.正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量X ，定义其累积分布函数为F (x )=P (X ≤x )．已知某系统由一个电源和并联的A ，B ，C 三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立．
(1)已知电源电压X (单位：V )服从正态分布N (40,4)，且X 的累积分布函数为F (x )，求F (44)-F (38)；(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量T (单位：天)表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为G t =0,t <0
1-14
t
,t ≥0 .(ⅰ)设t 1>t 2>0，证明：P (T >t 1|T >t 2)=P (T >t 1-t 2)；(ⅱ)若第n 天元件A 发生故障，求第n +1天系统正常运行的概率．
附：若随机变量Y 服从正态分布N (μ,σ2)，则P (|Y -μ|<σ)=0.6827，P (|Y -μ|<2σ)=0.9545，P (|Y -μ|<3σ)=0.9973．
20.已知抛物线E :y 2=4x 的焦点为F ，若△ABC 的三个顶点都在抛物线E 上，且满足F A +FB +FC =0
，则称该三角形为“核心三角形”．
(1)设“核心三角形ABC ”的一边AB 所在直线的斜率为2，求直线AB 的方程；(2)已知△ABC 是“核心三角形”，证明：△ABC 三个顶点的横坐标都小于2．
21.已知函数f (x )=ln x +a 1
x
-1
，a >0．(1)若f x ≥0恒成立，求a 的取值集合；
(2)证明：sin 1n +1+sin 1n +2+⋯+sin 1
2n
<ln2n ∈N + ．
(二)选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为x =2cos α
y =3sin α (α为参数)，
直线l 过点P 0,1 ．
(1)求曲线C 的普通方程；
(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且1P A +1PB
=3
2，求直线l 的倾斜角．
23.选修4-5：不等式选讲已知函数f x =x 2-2x -3 ．(1)求不等式f x ≥5的解集；
(2)设函数g x =f x +x +1 +2的最小值为m ，若a >0,b >0且2a +b =m ，求证：4a 2+b 2≥2．。