2018届广东省江门市高考数学一轮复习 专项检测试题18 统计(2)

统计02
解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．从甲、乙两个班级各随机抽取10名同学的数学成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格。

(I ）试完成甲班制取10名同学数学成绩频率分布表，并估计甲班的及格率。

(II ）从每班抽取的同学中各抽取一人，求至少有一人及格的概率； 【答案】（Ⅰ）
估计甲班的及格率为0.2+0.2=0.4
(Ⅱ）甲班有6人不及格，编号为a,b,c,d,e,f; 乙班有5人不及格,编号为1,2,3,4,5. 从每班抽取的同学中各抽取一人，共有10×10=100个基本事件.
其中事件“从两班10名同学中各抽取一人，两人都不及格”记作A ，则A 的基本事件有: a1,a2,a3,a4,a5； b1,b2,b3,b4,b5； c1,c2,c3,c4,c5； d1,d2,d3,d4,d5； e1,e2,e3,e4,e5； f1,f2,f3,f4,f5.共30个基本事件，则303
()10010P A ==
∴ 对立事件“从每班抽取的同学中各抽取一人，至少有一人及格”的概率为1-310=710
. 18．某企业的某种产品产量与单位成本统计数据如下：
1221
,n
i i
i n
i i x y nx y
b a y bx
x nx ==-=
=--∑∑
(用最小二乘法求线性回归方程系数公式
注：
11
22
1
n
i i
i i n n i x y x y x y
x y x y ==++++∑，
22222121
n
i i n i x x x x x ==++++∑）
(1)试确定回归方程；
(2)指出产量每增加1 件时，单位成本下降多少？ (3)假定产量为6 件时，单位成本是多少？单位成 本为70元/件时，产量应为多少件？
【答案】 (1)设x 表示每月产量(单位：千件)，y 表示单位成本(单位：元/件)，作散点图．由图知y 与x 间呈线性相关关系，设线性回归方程为y ＝bx ＋
a.
由公式可求得b ≈-1.818，a=77.364，∴回归方程为y=-1.818x+77.364. (2)由回归方程知，每增加1 件产量，单位成本下降1.818元． (3)当x ＝6时，y ＝－1.818×6＋77.364＝66.455； 当y ＝70时，70＝－1.818x ＋77.364，得 x ≈4. 051千件．
∴ 产量为6 件时，单位成本是66.455元/件，单位成本是70元/件时，产量约为4 051件．
19．一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：
(1） 如果y 对x 有线性相关关系，求回归直线方程；
(2）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为89个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？(参考数值：13805
=∑i
i
i y
x ，1452
5
=∑i
i x )
【答案】(1）5=x 50=y
13805
=∑i
i
i y
x 1452
5
=∑i
i x
∴5.65
5514550551380ˆ=⨯⨯-⨯⨯-=b
，5.17ˆˆ=-=x b y a ∴回归直线方程为：5.175.6ˆ+=x y
(2） 895.175.6≤+x ，解得11≤x
20．某项实验，在100次实验中，成功率只有10%，进行技术改革后，又进行了100次试验。

若要有97.5%以上的把握认为“技术改革效果明显”，实验的成功率最小应为多少？（要求：作出列联表22⨯）（设)025.0)5(2
=≥x P
【答案】设所求为x 作出列联表22⨯ 则5)
190()10(100100]90)100(10[2002
2
>-⨯+⨯⨯--⨯⨯=
x x x x k 得x>21.52所求为22%
21．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析。

(1）如果按性别比例分层抽样，男、女生各抽取多少名才符合抽样要求？ (2）随机抽出8名，他们的数学、物理分数对应如下表：
(i) 若规定85分以上（包括85分）为优秀，在该班随机调查一名同学，他的数学和物理分
数均为优秀的概率是多少？
(ii)根据上表数据，用变量y 与x 的相关系数或散点图说明物理成绩y 与数学成绩x 之间线性相关关系的强弱。

如果有较强的线性相关关系，求y 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关关系，说明理由。

参考公式：相关系数()()
n
i
i
x x y y r --=
∑
回归直线的方程是：ˆy
bx a =+，其中()()
()
1
2
1
n
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-，
ˆi y
是与i x 对应的回归估计值。

参考数据：77.5,84.875x y ==，
(
)
8
2
1
1050i i x x
=-≈∑，()
8
2
1
457i i y y
=-≈∑，
()()8
1
688i
i
i x x y y =--≈∑32.4≈21.4≈23.5≈。

【答案】 (1)应选女生825540⨯
=名，男生815340
⨯=名。

(2) (i)由表中可以看出，所选的8名同学中，数学和物理分数均为优秀的有3人， 故所求概率是
3
8。

(ii)变量y 与x 的相关系数是688
0.9932.421.4
r ≈
≈⨯。

可以看出，物理与数学成绩高度正相关。

也可以数学成绩x 为横坐标，物理成绩y 为纵坐标做散点图（略）。

从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理与数学成绩高度正相关。

设y 与x 的线性回归方程是ˆy
bx a =+，根据所给数据可以计算出688
0.661050
b ≈≈， 84.8750.6677.533.73a =-⨯≈，
所以y 与x 的线性回归方程是ˆ0.6633.73y
x =+。

22．为了考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校的高中生中随机地抽取了300名学生进行调查，得到如下列联表：
由表中数据计算2 4.513K ≈，判断高中生的性别与是否喜欢数学课程之间是否有关系，并说明理由.
【答案】可以有95%的把握认为“高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系”，作出这种判断的依据是独立性检验的基本思想，具体过程为：
分别用a,b,c,d 表示喜欢数学的男生数、不喜欢数学的男生数、喜欢数学的女生数、不喜欢
数学的女生数。

如果性别与是否喜欢数学有关系，则男生中喜欢数学的比例
a
a b
+与女生中喜欢数学的比例
c
c d +应该相差很多，即||||()()
a c ad bc a
b
c
d a b c d --=++++应很大，将上式等号
，然后平方计算得：
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，其中.n a b c d =+++因此，2K 越大，“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”成立的可能性就越大。

另一方面，假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”，由于事件A =“2 3.841K >”的概率为()0.05.P A ≈因此事件A 是一个小概率事件。

而由样本计算得2 4.513K ≈，这表明小概率事件A 发生了，由此我们可以断定“性别与是否喜欢数学之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性为5%，约有95%的把握认为“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”。