高中数学三角函数专项(含答案)

高中数学三角函数专项(含答案)
一、填空题
1．已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛
⎫=⋅+- ⎪⎝
⎭定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m
-的最小值是________．
2．如图，在ABC 中，1
cos 3
BAC ∠=-，2AC =，D 是边BC 上的点，且2BD DC =，
AD DC =，则AB 等于______.
3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1a =，34
A π
=，若b c λ+有最大值，则实数λ的取值范围是_____．
4．已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是AB 中点，点F 为1CC 的中点，点P 为棱1DD 上一点，且满足//AP 平面1D EF ，则直线AP 与EF 所成角的余弦值为_______． 5．
在锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,若2cos b a a C -=，则a
c
的取值范围
是______．
6．通信卫星与经济、军事等密切关联，它在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为km h （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球（球心为O ，半径为km r ），地球上一点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面，在点A 处放置一个仰角为θ的地面接收天线（仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角），若点A 的纬度为北纬30，则tan 3θ________．
7．意大利著名画家、数学家、物理学家达芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了
这种方式设计．经过计算，悬链线的函数方程为()e e cos 2
x x
h x -+=，并称其为双曲余弦函
数．若()()cos sin cos cos sin cos h h m θθθθ+≥-对0,2πθ⎡⎤
∀∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，则实数m 的取值范
围为______．
8．已知函数()2sin 16f x x πω⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，其中0>ω，若()f x 在区间(4π，23π)上恰有2个零
点，则ω的取值范围是____________.
9．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =若M 是侧面11BCC B 内的动点，且AM MC ⊥，则1A M 的最小值为__________.
10．已知直线y m =与函数3()sin (0)42f x x πωω⎛
⎫=++> ⎪⎝
⎭的图象相交，若自左至右的三个
相邻交点．．．．A ，B ，C 满足2AB BC =，则实数
m =______. 二、单选题
11．已知函数()21ln e 1x
f x x -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭
，a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，
且222446,a b c ab +-=则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()()sin cos f A f B ≤ B ．f (cos A )≤f (cos B ) C ．f (sin A )≥f (sin B )
D ．f (sin A )≥f (cos B )
12．已知向量a ，b 夹角为3
π，向量c 满足1b c -=且 a b a c b c ++=，则下列说法正确的是（ ） A ．2b c +<
B ．2a b +>
C ．1b <
D ．1a >
13．已知,a b Z ∈，满足)
98sin 50sin 50a b -︒︒=，则a b +的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
14．在ABC 中，,E F 分别是,AC AB 的中点，且32AB AC =，若BE
t CF <恒成立，则t 的最小值为（ ） A ．34
B ．78
C ．1
D ．54
15．已知函数2log ,0,
(),0,x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任
意x ∈R ，有()()2g x g x π+=；③当[0,]x π∈时，()sin g x x =．则函数()()y f x g x =-在
区间[4,4]ππ-上零点的个数为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
16．在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于点,2,6D BD DC BC ==，则ABC ∆的面积的最大
值为（ ） A ．6
B ．62
C ．12
D ．122
17．已知直线1y x =+上有两点1122(,),(,)A a b B a b ，且12a a >.已知1122,,,a b a b 满足
12122||a a b b +2222
1122a b a b =+⋅+，若||23AB =，则这样的点A 个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
18．已知函数2()sin f x x x =⋅各项均不相等的数列{}n x 满足||(1,2,3,,)2
i x i n π≤=.令
*1212()([()()()())]n n F n x x x f x f x f x n N =++
+⋅++
+∈.给出下列三个命题：（1）存在
不少于3项的数列{},n x 使得()0F n =；（2）若数列{}n x 的通项公式为
*1
()()2n n x n N =-∈，则(2)0F k >对k *∈N 恒成立；（3）若数列{}n x 是等差数列，则
()0F n ≥对n *∈N 恒成立，其中真命题的序号是（ ）
A ．（1）（2）
B ．（1）（3）
C ．（2）（3）
D ．（1）（2）（3）
19．设函数()3sin
x
f x m
π=，函数()f x 的对称轴为0x x =，若存在0x 满足
()2
2200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围为（ ）
A ．(,6)(6,)-∞-+∞
B ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞
C ．(,2)(2,)-∞-+∞
D ．(,1)(1,)-∞-+∞
20．△ABC 中，BD 是AC 边上的高，A=4π，cosB=-55
，则BD AC =（ ）
A ．14
B ．12
C ．2
3
D ．34
三、解答题
21．（1）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，R 表示ABC ∆的外接圆半径. ①如图，在以O 圆心、半径为2的圆O 中，BC 和BA 是圆O 的弦，其中2BC =，
45ABC ∠=︒，求弦AB 的长；
②在ABC ∆中，若C ∠是钝角，求证：2224a b R +<；
（2）给定三个正实数a 、b 、R ，其中b a ≤，问：a 、b 、R 满足怎样的关系时，以a 、b 为边长，R 为外接圆半径的ABC ∆不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一
个）？在ABC ∆存在的情况下，用a 、b 、R 表示c .
22．如图，一幅壁画的最高点A 处离地面4米，最低点B 处离地面2米.正对壁画的是一条坡度为1:2的甬道（坡度指斜坡与水平面所成角α的正切值），若从离斜坡地面1.5米的C 处观赏它.
（1）若C 对墙的投影（即过C 作AB 的垂线垂足为投影）恰在线段AB （包括端点）上，求点C 离墙的水平距离的范围；
（2）在（1）的条件下，当点C 离墙的水平距离为多少时，视角θ（ACB ∠）最大？ 23．如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD 上划出一个三角形地块APQ 种植草坪，两个三角形地块PAB 与QAD 种植花卉，一个三角形地块CPQ 设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P 在边BC 上，点Q 在边CD 上，记PAB α∠=．
（1）当4
PAQ π
∠=
时，求花卉种植面积S 关于α的函数表达式，并求S 的最小值；
（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB DQ PQ +=，请探究PAQ ∠是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由． 24．在直角ABC ∆中，2
BAC π
∠=
，延长CB 至点D ，使得2CB BD =，连接AD .
（1）若AC AD =，求CAD ∠的值； （2）求角D 的最大值.
25．已知向量(1,0)a =，(sin 2,1)b x =--，(2sin ,1)c x =+，(1,)d k =(,)x k R ∈． （1）若[,]x ππ∈-，且()//a b c +，求x 的值； （2）对于()11,m x y =，()22,n x y =，定义12211(,)2S m n x y x y =
-．解不等式1(,)2
S b c >； （3）若存在x ∈R ，使得()()a b c d +⊥+，求k 的取值范围．
26．已知函数2211
()cos sin cos sin 22
f x x x x x =+-.
（1）求()f x 的单调递增区间；
（2）求()f x 在区间,82ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
的最大值和最小值.
27．已知函数()()sin 0,2f x t x t πωϕϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝
⎭，()f x 的部分图像如图所示，点
()
0,3N ，,02M π⎛⎫- ⎪⎝⎭
，,4P t π⎛⎫
⎪⎝⎭都在()f x 的图象上.
（1）求()f x 的解析式；
（2）当,2x ππ⎡
⎤∈-⎢⎥⎣
⎦时，()33f x m --≤恒成立，求m 的取值范围.
28．已知函数()cos s (3co )f x x x x =-. （1）求()f x 的最小正周期及对称中心；
（2）若将函数()y f x =的图象向左平移m 个单位所得图象关于y 轴对称，求m 的最小正值.
29．已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+，x ∈R ． （1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最小值和最大值，并求出取得最值时的x 的值．
30．已知两个不共线的向量a ，b 满足3)a =，(cos ,sin )b =θθ，R θ∈． （1）若//a b ，求角θ的值；
（2）若2a b -与7a b -垂直，求||a b ＋的值；
（3）当0,2π⎡⎤
θ∈⎢⎥⎣⎦
时，存在两个不同的θ使得|3|||a b ma =成立，求正数m 的取值范围.
【参考答案】
一、填空题
1．3
π
2．3
3．2⎝
4
5．⎝⎭
6．2r
r h
-
+
7．1⎡⎤⎣⎦
8．742ω<<或913
22
ω<≤.
910．1或2##2或1
二、单选题 11．D 12．A 13．B 14．B 15．A 16．C 17．D 18．D 19．C 20．A 三、解答题
21．（1）②证明见解析，（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）①由正弦定理知
2sin sin sin AB b a
R C B A
===，根据题目中所给的条件可求出AB 的长；
②若C ∠是钝角，则其余弦值小于零，由余弦定理得2222(2)a b c R +<<，即可证出结果；
（2）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边,a b 的关系，以及与直径的大小的比较，分三类讨论即可. 【详解】
（1）①解：因为1
sin 22
a A R =
=，角A 为锐角，所以30A =︒ 因为45ABC ∠=︒，所以105C =︒
由正弦定理得，2sin1054sin 75AB R =︒=︒②证明：因为C ∠是钝角，所以cos 0C <，且cos 1C ≠-
所以222
cos 02a b c C ab +-=<，
所以2222(2)a b c R +<<， 即2224a b R +<
（2）当2a R >或2a b R ==时，ABC ∆不存在
当2a R b a =⎧⎨<⎩时，90A =︒，ABC ∆存在且只有一个
所以c =当2a R b a <⎧⎨=⎩时，A B ∠=∠且都是锐角，sin sin 2a A B R ==时，ABC ∆存在且只有一个
所以2sin c R C ==
当2b a R <<时，B 总是锐角，A ∠可以是钝角，可以是锐角 所以ABC ∆存在两个
当90A ∠<︒时，c =
当90A ∠>︒时， c =【点睛】
此题考查三角形中的几何计算，综合考查了三角形形状的判断然，三角形的外接圆等知识，综合性强，属于难题.
22．（1）点C 离墙的水平距离的范围为：1~5m m ；（2）当点C 离墙的水平距离为1m 时，视角θ（ACB ∠）最大. 【解析】 【分析】
（1）如图所示：设(02),BF x x CF y =≤≤=，利用平行线成比例定理，结合锐角三角函数正切的定义进行求解即可；
（2）利用两角和的正切公式、结合正切的定义，求出tan θ的表达式，利用换元法、基本不等式进行求解即可.
【详解】
（1）如图所示：设(02),BF x x CF y =≤≤=，显然有1
tan tan 2
FGD α∠==，因此有 2(2)tan DF
FG x FGD
=
=+∠，由//GE DF ,可得： 1.52(2)22(2)CE CG x y DF GF x x +-=⇒=++，化简得：21y x =+，因为02x ≤≤，所以15y ≤≤，即点C 离墙的水平距离的范围为： 1~5m m ；
（2）
22
2tan tan 2tan tan()21tan tan 21x x
BCF ACF y y y
BCF ACF x x BCF ACF y x x y y
θ-+
∠+∠=∠+∠===--∠⋅∠-+-⋅,
因为21y x =+，所以有1
2
y x -=，代入上式化简得： 2222228
tan 11522()5622y y y y y x x y y y
θ=
==
---+-⋅++-，
因为15y ≤≤，所以有55
562564y y y y
+
-≥⋅=（当且仅当55y y =时取等号，即1
y =时，取等号），因此有0tan 2θ<≤，因此当点C 离墙的水平距离为1m 时，视角θ（ACB ∠）最大. 【点睛】
本题考查两角和的正切公式的应用，考查了基本不等式的应用，考查了平行线成比例定理，考查了数学建模能力，考查了数学运算能力. 23．（1）
212S sin πα=
⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭花卉种植面积0,4πα⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦]；最小值为)
1000021 （2）
PAQ ∠是定值，且4
PAQ π
∠=
．
【解析】 【分析】
（1）根据三角函数定义及4
PAQ π
∠=，表示出,PB DQ ，进而求得,ABP ADQ S S ∆∆.即可用α
表示出S 花卉种植面积，
（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，，利用正切的和角公式求得()tan αβ+，由PB DQ PQ +=求得,x y 的等量关系.进而求得()tan αβ+的值，即可求得PAQ ∠的值. 【详解】
（1）∵边长为1百米的正方形ABCD 中，PAB α∠=，4
PAQ π
∠=
，
∴100tan PB α=，100tan 100tan 244DQ πππαα⎛⎫⎛⎫
=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴ABP ADQ S S S ∆∆+=花卉种植面积 11
22
AB BP AD DQ =
⋅+⋅ 11100100tan 100100tan 224παα⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯- ⎪⎝⎭
(
)
5000
cos sin cos ααα=
=
+⎝
⎭，其中0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
∴当sin 214πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭时，
即8
π
α=时，S
)100001
=．
（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，， 则100100BP x DQ y =-=-，， 在ABP ∆中，100tan 100x α-=，在ADQ ∆中，100tan 100
y
β-=， ∴()()()20000100tan tan tan 1tan tan 100x y x y xy
αβ
αβαβ-+++=
=-⋅+-，
∵PB DQ PQ +=，
∴100100x y -+-=100200
xy
x y +=+， ∴()20000100100100002002tan 1
100001001002
200xy xy
xy xy xy αβ⎛
⎫-⨯+-
⎪⎝⎭+=
==⎛⎫-⨯+- ⎪⎝⎭
， ∴4
π
αβ+=
，
∴PAQ ∠是定值，且4
PAQ π
∠=．
【点睛】
本题考查了三角函数定义，三角形面积求法，正弦函数的图像与性质应用，正切和角公式的应用，属于中档题. 24．（1）23
CAD π∠=；（2）6π
.
【解析】 【分析】
（1）在ABD ∆中，由正弦定理得，
sin sin BD AB
D
α=，再结合在直角ABC ∆中，sin AB BC C =，然后求解即可；
（2）由正弦定理及两角和的余弦可得
()2tan tan cos 2sin 22D D αααϕ=+=+，然后结合三角函数的有界性求解即可. 【详解】
解：（1）设BAD ∠=α，在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD AB
D
α=， 而在直角ABC ∆中，sin AB BC C =，所以sin sin sin BD BC C
D
α=， 因为AC AD =，所以C D =， 又因为2CB BD =，所以1sin 2
α=，所以6π
α=，所以23CAD π∠=；
（2）设BAD ∠=α， 在ABD ∆中，由正弦定理得，
sin sin BD AB
D
α=， 而在直角ABC ∆中，()cos cos AB BC ABC BC D α=∠=+， 所以
()()cos cos cos sin sin sin sin sin BC D BC D D BD D D
αααα+-==
， 因为2CB BD =，所以2sin 2sin cos cos 2sin sin D D D ααα=-， 即22sin cos sin 2tan 12sin 2cos 2D ααα
αα
=
=+-，
即()2tan tan cos 2sin 22D D αααϕ=++，
1≤及0,2D π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得0tan D <≤ 所以角D 的最大值为6
π
. 【点睛】
本题考查了正弦定理，重点考查了三角函数的有界性，属中档题. 25．（1）6π-或56π-（2）5,,66x k k k Z ππππ⎛⎫
∈++∈ ⎪⎝⎭
（3）[]5,1k ∈--
【解析】 【分析】
（1）由题()sin 1,1a b x +=--,由()//a b c +可得()sin 12sin x x -=-+,进而求解即可； （2）由题意得到()
()()1
,sin 22sin sin 2
S b c x x x =
-++=,进而求解即可； （3）由()()a b c d +⊥+可得()()0a b c d +⋅+=,整理可得k 关于x 的函数,进而求解即可 【详解】
（1）由题,()sin 1,1a b x +=--,
因为()//a b c +,所以()sin 12sin x x -=-+,则1
sin 2
x =-,
因为[,]x ππ∈-,所以6
x π
=-或6
5x π=-
（2）由题,()
()()1
,sin 22sin sin 2
S b c x x x =-++=, 因为1(,)2S b c >
,所以1sin 2x >, 当[]0,x π∈时,
566
x π
π<<, 因为sin y x =是以π为最小正周期的周期函数, 所以5,,66x k k k Z ππππ⎛⎫
∈++∈ ⎪⎝⎭
（3）由（1）()sin 1,1a b x +=--,由题,()3sin ,1c d x k +=++, 若()()a b c d +⊥+,
则()()()()()sin 13sin 10a b c d x x k +⋅+=-+-+=, 则()2
2sin 2sin 4sin 15k x x x =+-=+-, 因为[]sin 1,1x ∈-,所以[]5,1k ∈-- 【点睛】
本题考查共线向量的坐标表示,考查垂直向量的坐标表示,考查解三角函数的不等式
26．（1）3,88k k ππππ⎡⎤
-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈；（2）()max f x =，()min 12f x =- 【解析】 【分析】
（1）直接利用三角函数的恒等变换，把三角函数变形成正弦型函数．进一步求出函数的单调区间．
（2）直接利用三角函数的定义域求出函数的最值． 【详解】 解：（1）2211
()cos sin cos sin 22
f x x x x x =+-
11
()cos 2sin 222
f x x x ∴=
+
42 ⎪⎝
⎭令2222
4
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+，()k Z ∈
解得388
k x k ππ
ππ-
+≤≤+，()k Z ∈ 即函数的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤
-
++⎢⎥⎣⎦
，()k Z ∈
（2）由（1）知n ()24f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭ ,82x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦ 520,44x π
π⎡⎤
∴+
∈⎢⎥⎣⎦
所以当242
x ππ+=
，即8
x π=
时，()max f x =
当5244x ππ+
=
，即2x π
=时，()min 12
f x =- 【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调性的应用，利用函数的定义域求三角函数的值域．属于基础型．
27．（1）()2
2sin 3
3x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）[]1,0-
【解析】 【分析】
（1）由三角函数图像，求出,,t ωϕ即可；
（2）求出函数()f x m -的值域，再列不等式组32
m m +≥⎧⎪⎨≤⎪⎩
.
【详解】
解：（1）由()f x 的图象可知
34424
T πππ
⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则3T π=， 因为23T ππω==，0>ω，所以23ω=，故()2sin 3t x f x ϕ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
.
因为,02M π⎛⎫
- ⎪⎝⎭在函数()f x 的图象上，所以
sin 023f t ππϕ⎛⎫⎛⎫
-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以()3
k k Z π
ϕπ-
+=∈，即()3
k k Z π
ϕπ=+
∈，因为2
π
ϕ
<
，所以3
π
ϕ=
.
因为点(N 在函数()f x 的图象上，所以()0sin 3
f t π
==
解得2t =，
3
3⎝⎭（2）因为,2x ππ⎡
⎤∈-⎢⎥⎣
⎦，所以22,3333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，
所以2
sin 33x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
，则()2f x ≤.
因为()33f x m -≤-≤，所以()3m f x m ≤+， 所以32
m m +≥⎧⎪⎨⎪⎩
10m -≤≤.
故m 的取值范围为[]1,0-. 【点睛】
本题考查了利用三角函数图像求解析式，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题. 28．（1）π，1,()2122k k Z ππ
⎛⎫+-∈
⎪⎝⎭
；（2）3π 【解析】 【分析】
（1）直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心.
（2）利用（1）的关系式，利用整体思想的应用对函数的关系式进行平移变换和对称性的应用求出最小值. 【详解】
（1）因为2()cos cos )cos cos f x x x x x x x =-=-
1cos 212sin 2262x x x π+⎛
⎫=
-=-- ⎪⎝
⎭， 所以最小正周期为22
T π
π=
=， 由正弦函数的对称中心知26
x k π
π-
=，解得212
k x ππ
=
+，k Z ∈， 所以对称中心为1,()2122k k Z ππ
⎛⎫+-∈
⎪⎝⎭
； （2）()y f x =的图象向左平移m 个单位所得解析式是1sin 2262y x m π⎛
⎫=+-- ⎪⎝
⎭，
因为其图象关于y 轴对称， 所以26
2
m k π
π
π-=+
，k Z ∈，
解得23
k m ππ
=
+，k Z ∈， 所以m 的最小正值是3
π. 【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.
29．（1）π；（2）()()min max ππ
,0,,148
x f x x f x =-===.
【解析】
(1) 函数()f x 解析式去括号后利用二倍角的正弦、余弦公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出w 的值，代入周期公式即可求出最小正周期;(2)根据x 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出()f x 的值域，进而求出()f x 的最小值与最大值.. 【详解】
（1）()()π2cos sin cos sin2cos21214f x x x x x x x ⎛
⎫=+=++=++ ⎪⎝
⎭，
因此，函数()f x 的最小正周期πT =． （2） 因为ππ44x -
≤≤ 所以ππ3π
2444
x -≤+≤,
sin 24x π⎡⎤⎛
⎫∴+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
，即()1f x ⎡⎤∈⎣⎦， 所以当24
4
x π
π
+=-
，即4
x π
=-
时，()min 0f x =，
当242
x ππ+
=
，即8
x π=
时，()max 1f x =.
所以4
x π
=-时，()min 0f x =，8
x π
=时，()max 1f x .
【点睛】
此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键,是中档题.
30．（1）,3k k Z πθθπ⎧⎫
=+∈⎨⎬⎩⎭｜（23）⎣⎭
【解析】 【分析】
（1）由题得tan θ=2）先求出1a b ⋅=，再利用向量的模
的公式求出||7a b +=；（3）等价于2
476m πθ⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭在0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦有两解，结合三
角函数分析得解. 【详解】
（1）由题得sin 0,tan θθθ=∴=所以角θ的集合为,3k k Z πθ
θπ⎧⎫
=+∈⎨⎬⎩⎭
｜ . （2）由条件知2a =， 1b =，又2a b -与7a b -垂直，
所以()()
2781570a b a b a b -⋅-=-⋅+=，所以1a b ⋅=. 所以222||||2||4217a b a a b b +=+⋅+=++=，故||7a b +=.
（3）由3a b ma +=，得2
2
3a b ma +=，
即2
2
2
2233a a b b m a +⋅+=，
即2434b m +⋅+=，)
2
7cos 4m θθ+=，
所以2
476m πθ⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭.
由0,2π⎡⎤
θ∈⎢⎥⎣⎦
得2,663πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，又θ要有两解，结合三角函数图象可得，
2647m ≤-<2134m ≤<
又因为0m >m ≤<
即m 的范围⎣⎭
. 【点睛】
本题主要考查向量平行垂直的坐标表示，考查向量的模的计算，考查三角函数图像和性质的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.。