北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元模拟试题(含答案)(5)

第一章：特殊的平行四边形单元测试卷
（典型题汇总）
（100分钟，120分）
一、选择题
1．下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）
A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠C，∠B=∠D C．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC 2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长是（）
A．6cm B．9cm C．3cm D．12cm
3．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）
A．50° B．55° C．60° D．65°
4．给出以下三个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；
③对角线互相垂直的矩形是正方形；④菱形对角线的平方和等于边长平方的4倍．其中真命题的是（）
A．③B．①② C．②③D．③④
5．如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（）
A．3B．4 C．5 D．7
6．已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这
两部分的长为（）
A．6 cm和9 cm B．5 cm和10 cm C．4 cm和11 cm D．7 cm和8 cm
7．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是
（）
A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD
8．如图为菱形ABCD与△ABE的重叠情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何？（）
A．8 B．9 C．11 D．12
9．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）
A．2B．3 C．D．1+
10．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）
A．2B．3 C．D．
二、填空题
11．等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图
形的是矩形、正方形．
12．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是3cm2．
【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，
∴它的面积是：×2×3=3（cm2）．
13．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是45°．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°．
∵等边三角形ADE，
∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．
∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，
AB=AE，
∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，
∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，
故答案为：45°．
14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于 3.5 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∵AB+BC+CD+DA=28，
∴AD=7，
∵H为AD边中点，
∴OH=AD=3.5；
15．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为5．【解答】解：
过E作EM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD=AB，
∴EM=AD，BM=CE，
∵△ABE的面积为8，
∴×AB×EM=8，
解得：EM=4，
即AD=DC=BC=AB=4，
∵CE=3，
由勾股定理得：BE===5，
三、解答题（15题12分，16题12分，17题16分）
16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，求△AEF的周长。

【解答】解：在Rt△ABC中，AC==10cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，EF=OD=BD=AC=cm，AF=AD=BC=4cm，AE=AO=AC=cm，∴△AEF的周长=AE+AF+EF=9cm．
17．（2015?聊城）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．
求证：四边形BECD是矩形．
【解答】证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD=CD．
∵四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，BE=AD，
∴BE=CD，
∴四边形BECD是平行四边形．
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴?BECD是矩形．
18．（2016春?历下区期末）已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE 平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求CF的长；
（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接
写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．
【解答】（1）证明：如图1，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）证明：如图1，
∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线，
∴∠EBC=∠DBC=22.5°，
由（1）知△BCE≌△DCF，
∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的对应角相等）；
∴∠BGD=90°（三角形内角和定理），
∴∠BGF=90°；
在△DBG和△FBG中，
，
∴△DBG≌△FBG（ASA），
∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的对应边相等），
∵BD==，
∴BF=，
∴CF=BF﹣BC=﹣1；
（3）解：如图2，∵CF=﹣1，BH=CF
∴BH=﹣1，
①当BH=BP时，则BP=﹣1，
∵∠PBC=45°，
设P（x，x），
∴2x2=（﹣1）2，
解得x=1﹣或﹣1+，
∴P（1﹣，1﹣）或（﹣1+，﹣1+）；
②当BH=HP时，则HP=PB=﹣1，
∵∠ABD=45°，
∴△PBH是等腰直角三角形，
∴P（﹣1，﹣1）；
③当PH=PB时，∵∠ABD=45°，
∴△PBH是等腰直角三角形，
∴P（，），
19．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，
∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE；
（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF=∠EDF=90°；
（3）在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴PC=PE，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PC，
∴∠DAP=∠AEP，
∴∠DCP=∠AEP
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠AEP，
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC=CE，
∴AP=CE．
第一章：特殊的平行四边形单元测试卷
（典型题汇总）
一、选择题(本大题共6小题，共24分)
1．下列关于?ABCD的叙述中，正确的是( )
A．若AB⊥BC，则?ABCD是菱形
B．若AC⊥BD，则?ABCD是正方形
C．若AC＝BD，则?ABCD是矩形
D．若AB＝AD，则?ABCD是正方形
2．如图1，在△ABC中，D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF ∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( )
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
图1
图2
3．如图2，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，作OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC ＝130°，则∠AOE的度数为( )
A．75° B．65° C．55° D．50°
4．如图3，P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB，BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )
A.125
B.65
C.245 D．不确定
图3
图4
5．如图4，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是( )
A．2.5 B.5 C.322 D．2
6．如图5，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是(4，0)，P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形OABC，折叠后，点B落在平面内的点B′处，则点B′的坐标为( )
图5
A．(2，2 3) B．(32，2－3)
C．(2，4－2 3) D．(32，4－2 3)
二、填空题(本大题共6小题，共30分)
7．已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形的较短对角线的长是________．
8．如图6所示，在矩形纸片ABCD中，AB＝2 cm，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B′重合，则AC＝________ cm.
图6
图7
9．如图7所示，若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为________．10．如图8，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED的度数是________．
图8
图9
11．如图9所示，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，E，F，G，H分别为AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为________．
图10
12．如图10，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△BOF的面积为________．
三、解答题(共46分)
13．(10分)如图11，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.
(1)求证：四边形BEDF是菱形；
(2)若正方形ABCD的边长为4，AE＝2，求菱形BEDF的面积．
图11
14．(10分)如图12，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝20 cm，BD＝12 cm，两动点E，F同时以 2 cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，点E到点C，点F到点A时停止运动．
(1)求证：当点E，F在运动过程中不与点O重合时，以点B，E，D，F为顶点的四边形为平行四边形；
(2)当点E，F的运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？
图12
15．(12分)如图13，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，E，F分别是AB，AC的中点．
(1)求证：四边形AEDF是菱形；
(2)如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S.
图13
16．(14分)如图14，四边形ABCD是正方形，E是直线CD上的点，将△ADE沿AE对折
得到△AFE，直线EF交边BC于点G，连接AG.
(1)求证：△ABG≌△AFG；
(2)当DE是线段CD的一半时，请你在备用图中利用尺规作图画出符合题意的图形(保留作图痕迹，不写作法)；
(3)在(2)的条件下，求∠EAG的度数．
图14
1．C 2.D 3.B 4.A
5．B ．
6．C
7．6 .
8．4
9．(2＋2，2)
10．45°.
11．12 12.758
13．解：(1)证明：连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC.
∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，
即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形．
(2)∵正方形ABCD的边长为4，
∴BD＝AC＝4 2.
∵AE＝CF＝2，∴EF＝AC－2 2＝2 2，
∴S菱形BEDF＝12BD·EF＝12×4 2×2 2＝8.
14．解：(1)证明：连接DE，EB，BF，FD.
∵两动点E，F同时以 2 cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，∴AE＝CF.
∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OD＝OB，OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，
∴OA－AE＝OC－CF或AE－OA＝CF－OC，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，
即以点B，E，D，F为顶点的四边形是平行四边形．
(2)当点E在OA上，点F在OC上，EF＝BD＝12 cm时，四边形BEDF为矩形．∵运动时间为t，
∴AE＝CF＝2t，
∴EF＝20－4t＝12，
∴t＝2；
当点E在OC上，点F在OA上时，
EF＝BD＝12 cm，EF＝4t－20＝12，
∴t＝8.
因此，当点E，F的运动时间t为2 s或8 s时，四边形BEDF为矩形．15．解：(1)证明：∵AD⊥BC，E，F分别是AB，AC的中点，
∴在Rt△ABD中，DE＝12AB＝AE，
在Rt△ACD中，DF＝12AC＝AF.
又∵AB＝AC，
∴AE＝AF＝DE＝DF，
∴四边形AEDF是菱形．
(2)如图，∵菱形AEDF的周长为12，
∴AE＝3.
设EF＝x，AD＝y，则x＋y＝7，
∴x2＋2xy＋y2＝49.①
由四边形AEDF是菱形得AD⊥EF，
∴在Rt△AOE中，AO2＋EO2＝AE2，
∴(12y)2＋(12x)2＝32，
即x2＋y2＝36.②
把②代入①，可得2xy＝13，
∴xy＝132，
∴菱形AEDF的面积S＝12xy＝134.
16．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°.
∵将△ADE沿AE对折得到△AFE，
∴AF＝AD＝AB，∠AFE＝∠D＝90°.
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
AB＝AF，AG＝AG，)∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)．(2)如图所示：
(3)∵△AFE≌△ADE，△ABG≌△AFG，
∴∠EAF＝∠EAD，∠GAF＝∠GAB.
∵在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，
∴∠EAG＝∠EAF＋∠GAF＝12×90°＝45°.。