第三章 自适应数字滤波器数字信号处理-时域离散随机信号处理 教学课件

式：
y j X Tj W W T X j
(3.2.3)
式中
W [w1, w2, , wN ]T, X j [x1j , x2 j , , xNj ]T
误差信号表示为
ej d j y j d j X Tj W d j W T X j (3.2.4)
第三章 自适应数字滤波器 2. 利用均方误差最小准则求最佳权系数和最小均方误差
1. 自适应滤波器的矩阵表示式
图 3.2.2 表示的是一个有N个权系数的自适应线性组合器，
图中N个权系数w1,w2,…,wN受误差信号ej的自适应控制。对于固 定的权系数，输出yj是输入信号x1j,x2j,…,xNj的线性组合，因此 称它为线性组合器。这里的x1j,x2j,…,xNj可以理解为是从N个不
数以上的情况，则属于超抛物面性质。
E［ej2］在自适应信号处理中是一个重要的函数，经常称它
为性能函数。为选择权系数，使性能函数到达它的最小点， 一
些有用的自适应方法都是基于梯度法的，我们用 j 表示E［ej2］ 的梯度向量，它是用E［ej2］对每个权系数求微分而形成的一个
列向量， 用公式表示如下：
E[e2j
]
E[d
2 j
]
2RdTxW
W
T
RxxW
(3.2.8)
Rdx称为dj与Xj的互相关矩阵，是一个N维列矩阵；Rxx是输入信
号的自相关矩阵，
(1)是对称矩阵，即 RxTx Rxx ;
(2) 是正定或半正定的，因为对于任意矢量V满足下式：
V T RxxV E[V T XX TV ] E[( X TV )2 ] 0
求最佳权矢量可以用(3.2.12)式，通过对Rxx求逆得到，也可以
通过上式，令 j 0 ，而求出：
W * [w1
w2 ]T 2
c
ot
2π N
,2
csc
2π N
T
第三章 自适应数字滤波器
用(3.2.13)式求最小均方误差：
E[e
2 j
]
min
E[d
2 j
]
RdTxW
*
2
0
sin
2π N
常常将这种输入统计特性未知调整自身的参数到最佳的过程称为学习过程将输入信号统计特性变化时调整自身的参数到最佳的过程称为跟踪过程因此自适应滤波器具有学习和跟踪的性能由于自适应滤波器有这些特点自1967年威德诺bwidrow等人提出自适应滤波器以来在短短十几年中自适应滤波器发展很快已广泛地用于系统模型识别通信信道的自适应均雷达与声纳的波束形成减少或消除心电图中的周期干扰噪声中信号的检测跟踪增强和线性预测等
min W *T RxxW * W *T RxxW W T RxxW * W T RxxW
min [W *T W T ]RxxW * [W *T W T ]RxxW
min (W W * )T Rxx (W W * )
(3.2.15)
令
V=W-W*=［v1, v2, …, vN］T
(3.2.16)
自相关矩阵的主对角线是输入信号的均方值， 交叉项是输入信 号的自相关值。
第三章 自适应数字滤波器 (3.2.8)式表明，当输入信号和期望信号是平稳随机信号时，
均方误差信号E［e2j］是权系数的二次函数，即将(3.2.8)式展
开时，公式中的权系数均以它的一次幂或二次幂出现。如果只
有一个权系数w1,则E［e2j］是w1的口向上的抛物线；如果有两个 权系数w1w2,则E［ej2］是它们的口向上的抛物面；对于两个权系
第三章 自适应数字滤波器
这里w(n)称为滤波器单位脉冲响应，令：i=m+1,wi=w(i-1),
xi=x(n-i+1)，n用j表示，上式可以写成
N
y j wi xij
(3.2.2)
i 1
这里wi也称为滤波器加权系数。用上面公式表示其输出，适合于
自适应线性组合器，也适合于FIR滤波器。将上式表示成矩阵形
2c2octs2cNπ2Nπ
0
上式说明只要N＞2,不管N取多少，通过对权系数的调整可使均 方误差达到0，此时输出信号yj完全等于期望信号dj, 例如N=2，
按照上面公式，可以求出输入、输出信号以及最佳权系数如下：
第三章 自适应数字滤波器
w* [w1* w2* ] [0 2]T
xj
sin π 2
W
T RxxW
2 0.5[w1
w2
]
c
1c os 2π
N
os 1
2π N
w1 w2
20
sin
2π N
w1
w2
0.5(w12
w22
)
w1w2
cos
2π N
2w2
sin
2π N
2
第三章 自适应数字滤波器
xj w1
z－ 1 w2
dj
＋ －
ej
yj
图 3.2.4 两个权的自适应滤波器
令上式等于0, 得到最佳权矢量W*的表达式：
W * Rxx1Rdx
(3.2.11) (3.2.12)
第三章 自适应数字滤波器
对比第二章维纳滤波器的最佳解，结果是一样的。上式也
称为维纳权矢量。当自适应滤波器的权系数满足上式时，均方
误差将取最小值。将(3.2.12)式代入(3.2.8)式得到最小均方误
cos
j 1
N
j sin ( j n) sin
N
N
n
n 0,1
Rxx
E
x
2 j
x j1x j
x
j
x
j 1
0.5
x2 j 1
0.5
cos
2
N
0.5
cos
2
N
0.5
第三章 自适应数字滤波器
Rdx
E[d
j
xj,d
j x j1]T
0, sin
2
N
T
E[e2j ]
E[d
2 j
]
2RdTxW
均方误差是权系数的二次函数，当权系数取最佳值时， 均 方误差取最小值，将(3.2.14)式代入(3.2.8)式，可以用最小均 方误差表示性能函数，
为了表示方便，令 ζ=E［e2j］, 则
min W *T Rdx 2RdTxW W T RxxW
第三章 自适应数字滤波器
将(3.2.12)式代入上式，得到
差：
E[e
2 j
]m
in
E[d
2 j
]
2RdTxW *
W
*T
RxxW *
E[d
2 j
]
2RdTxW
*
(3.2.13)
或者将上式取转置，用下式表示：
E[e2j ]min
E[d
2 j
]
W
*T
Rdx
(3.2.14)
我们知道，在维纳滤波器中，当滤波器的单位脉冲响应取最佳值
时， 其误差信号和输入信号是正交的；这里也有相同的结果，
第三章 自适应数字滤波器
第三章 自适应数字滤波器
3.1 引言 3.2 自适应横向滤波器 3.3 自适应格型滤波器 3.4 最小二乘自适应滤波 3.5 自适应滤波的应用
第三章 自适应数字滤波器
3.1 引 言
自适应数字滤波器和维纳滤波器一样，都是符合某种准则 的最佳滤波器。维纳滤波器的参数是固定的，适用于平稳随机 信号的最佳滤波，但要设计这种滤波器，必须要求输入信号是 平稳的，且具有信号和噪声统计分布规律的先验知识。在实际 中， 常常无法知道这些先验知识，且统计特性还会变化，因 此实现最佳滤波是困难的。
V称为偏差权向量，它表示权向量对最佳权向量的偏差。这样性
能函数可以表示得更简单：
min V T RxxV
(3.2.17)
第三章 自适应数字滤波器
因为Rxx是对称的，正定或半正定的，利用它的特征值和特 征向量再进一步简化，假设Rxx是N×N维，它的N个特征值为： λ1,λ2,…,λN，将Rxx进行分解，得到
cos 2π j 因为 任N 何正弦函数积的期
望值，都可由这个积在一个或多个周期上作时间平均来计算，
可以推导出下面公式［6］:
E[x j x jn ]
1 N
N sin 2π j1 N
j sin 2π ( j n) 0.5cos 2π n
N
N
n 0,1
2 N 2π 2π
2π
E[d j x jn ] N
第三章 自适应数字滤波器
3.2 自适应横向滤波器
自适应滤波器的原理框图如图3.2.1所示，图中x(n)称为输 入信号，y(n)是输出信号，d(n)称为期望信号，或者称为参考信
号、训练信号，e(n)是误差信号。 其中
e(n)=d(n)-y(n)
自适应滤波器H(z)的系数根据误差信号，通过一定的自适应算 法，不断地进行改变， 使输出y(n)最接近期望信号d(n)。 这 里暂时假定d(n)是可以利用的，实际中，d(n)要根据具体情况
同的信号源到达的瞬时输入，是一个多输入系统， 也可以是同
一个信号源的N个序贯样本，如图 3.2.3 所示。因此它是一个
单输入系统， 实际上这种单输入系统就是一个FIR网络结构，
或者说是一个自适应横向滤波器。其输出y(n)用滤波器的单位脉
冲相应表示成下式：
N 1
y(n) w(m)x(n m)
m0
Rxx=QTΛQ,Λ=QTRxxQ
通过调节使Q归一化，即
(3.2.18)
QTQ I , QT Q1
(3.2.19)
q11
q12
q1N
Q
[q1, q2 ,
, qN
]
q21
q22
q2N
qN1
qN 2
qNN
(3.2.20)
第三章 自适应数字滤波器
式中，Q称为正交矩阵或特征矩阵，qi称为特征向量，满足下式：
误差信号被用来作为权系数的控制信号。下面采用均方误
差最小的准则，求最佳权系数。由(3.2.4)式，均方误差为
E[e2j ] E[(d j y j )2 ]
E[d
2 j
]
2E[(d
j
X
T j
]W
W
T E[ X
j
X
T j
]W
(3.2.5)
令
Rdx
E[d j X
j]
E[d
j
X
T j
]W
W TE[X
j
X
第三章 自适应数字滤波器
上式表明性能函数E［ej2］对权函数是二次型的，用(3.2.11)
式求梯度向量，得到
j 2RxxW 2Rdx
1
c
os
2π N
c
os
2π N
1
w1
w2
2
0 sin
2π N
w1
w1 cos 2π
N
w2 cos w2
2π N
2 s in
2π N
的一项有创意的工作。如果真正的d(n)可以获得，
我们将不需要做任何自适应滤波器。
第三章 自适应数字滤波器
x(n) H(z)
e(n)
y(n)
－
＋
d(n)
图 3.2.1 自适应滤波器原理图
第三章 自适应数字滤波器 3.2.1 自适应线性组合器和自适应FIR
第三章 自适应数字滤波器
自适应滤波器的特点是：滤波器的参数可以自动地按照某 种准则调整到最佳滤波；实现时不需要任何关于信号和噪声的 先验统计知识，尤其当输入统计特性变化时，自适应滤波器都 能调整自身的参数来满足最佳滤波的需要。 常常将这种输入统 计特性未知，调整自身的参数到最佳的过程称为“学习过程”。 将输入信号统计特性变化时，调整自身的参数到最佳的过程称 为“跟踪过程”，因此自适应滤波器具有学习和跟踪的性能。 由于自适应滤波器有这些特点，自1967年威德诺(B.Widrow)等 人提出自适应滤波器以来，在短短十几年中，自适应滤波器发 展很快，已广泛地用于系统模型识别，通信信道的自适应均衡， 雷达与声纳的波束形成，减少或消除心电图中的周期干扰，噪 声中信号的检测、跟踪、 增强和线性预测等。
(3.2.1)
第三章 自适应数字滤波器
…
x1j
w1
x2j
w2
xNj wN
yj
－
＋
ej
dj
图 3.2.2 自适应线性组合器
第三章 自适应数字滤波器
x(n)
z－ 1
x(n－ 1) z－ 1
x(n－ 2)
…
w1
w2
w3
wN－ 1
y(n)
z－ 1
x(n－N)
wN e(n)
d(n)
＋ －
图 3.2.3 自适应FIR滤波器
第三章 自适应数字滤波器
j
E[e2j w1
]
,
E[e2j ] , w2
,
E[e2j wN
]
T
(3.2.9)
按照(3.2.4)式, 梯度推导如下：
j
2E
e
j
e j w1
,
e j w2
,
,
e j wN
T
2E[e j
X
j]
(3.2.10)
还可以用(3.2.8)式对W求导得到
j 2RxxW WRdx
当权矢量取最佳值时，梯度为0，按照(3.2.10)式：
j 2E[e j X j ] 0
第三章 自适应数字滤波器
例 3.2.1 一 个 单 输 入 的 二 维 权 矢 量 自 适 应 滤 波 器 如 图
3.2.4所示，图中输入信号与期望信号分别为
这两个信号都是周x期j 性si确n定2Nπ性j信, d号j ， 2
qiT q j
1
0
i j i j
(3.2.21)
Rxxqi iqi i 1,2, , N
(3.2.22)
T j
]W
(3.2.6)
x1
j
x1
j
x1 j x2 j
Rxx
E[ X
j
X
T j
]
E
x1 j x1 j
x1 j x2 j
xNj x1 j xNj x2 j
x1 j xNj
x1 j xNj
xNj xNj
(3.2.7)
第三章 自适应数字滤波器
将(3.2.6)、 (3.2.7)式代入(3.2.5)式， 得到
j
yj
w1x j
w2 x j1
2 cos π 2
j
dj
2 cos
π 2
j
第三章 自适应数字滤波器 3.2.2
在自适应滤波器的分析研究中，性能函数是一个重要函数， 前面已推导出性能函数用(3.2.8)式表示，重写如下：
E[e2j
]
E[d
2 j
]
2RdTxW
W
T RxxW
下面我们推导它的其它表示方法以及几何意义。