2022届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词全称量词与存在量词学案理含解

第三节
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
命题分析预测学科核心素养
从近五年的考查情况来看，高考对本节内容重点考查：（1）全（特）称命题的否定；（2）含有逻辑联结词的命题、全称命题、特称命题的真假判断，以选择题为主，属于基础题.本节主要以不等式、三角函数、向量等知识为载体，结合逻辑联结词和全（特）称量词考查考生的转化思想和逻辑推理核心素养.
授课提示：对应学生用书第8页
知识点一简单的逻辑联结词
（1）命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.
（2）命题p且q、p或q、非p的真假判断
p q p且q p或q 非p
真真真真假
真假假真假
假真假真真
假假假假真
•温馨提醒•
“p且q”全真才真，“p或q”全假才假.
2.“或”“且”联结词的否定形式：“p或q”的否定是“非p且非q”；“p且q”的否定是“非p或非q”.
p：2是偶数，q：2不是质数，则命题非p，非q，p或q，p且q中真命题的个数为（）
解析：p真，q假，所以非q和p或q真.
答案：B
2.（2021·陆川模拟）已知命题p：若a＞|b|，则a2＞b2；命题q：若x2＝4，则x＝2.下列说法正确的是（）
A.“p或q”为真命题
B.“p且q”为真命题
C.“非p”为真命题
D.“非q”为假命题
解析：由a＞|b|≥0，得a2＞b2，∴命题p为真命题.∵x2＝4⇔x＝±2，∴命题q为假命题.∴“p
或q”为真命题，“p且q”为假命题，“非p”为假命题，“非q”为真命题.综上所述，应选A.
答案：A
知识点二全称命题与特称命题
1.全称量词与存在量词
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，含有全称量词的命题叫做全称命题Ｗ.
（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，含有存在量词的命题叫做特称命题Ｗ.
2.含有一个量词的命题的否定
命题命题的否定
任意x∈M，p（x）存在x∈M，非p（x）
存在x∈M，p（x）任意x∈M，非p（x）
•温馨提醒•
1.对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定，否则易出错.
2.注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定. “或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”.
“任意x∈R，x2＋x≥0”的否定是（）
x∈R，x2＋x≤0
x∈R，x2＋x＜0
x∈R，x2＋x≤0
x∈R，x2＋x＜0
解析：原命题是全称命题，“任意”的否定是“存在”，“≥”的否定是“＜”，因此该命题的否定是“存在x∈R，x2＋x＜0”.
答案：B
2.（2021·某某模拟）下列命题中的假命题是（）
x∈R，使得log2x＝0
x∈R，x2＞0
x∈R，使得cos x＝1
x∈R，2x＞0
解析：由于log21＝0，因此存在x∈R，使得log2x＝0为真命题；当x＝0时，x2＝0，因此任意x∈R，x2＞0为假命题；当x＝2π时，cos x＝1，因此存在x∈R，使得cos x＝1为真命题；根据指数函数的性质，任意x∈R，2x＞0为真命题.
答案：B
3.（易错题）若p：任意x∈R，ax2＋4x＋1＞0是假命题，则实数a的取值X围为__________. 答案：（－∞，4]
授课提示：对应学生用书第9页
题型一全称命题与特称命题的否定
1.（2021·某某模拟）命题“任意x＞0，x
x－1
＞0”的否定是（）
x＜0，
x
x－1
≤0
x＞0，0≤x≤1
x＞0，
x
x－1
≤0
x＜0，0≤x≤1
解析：因为
x
x－1
＞0，所以x＜0或x＞1，所以
x
x－1
＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是
存在x＞0，0≤x≤1.
答案：B
p：存在m∈R，f（x）＝2x－mx是增函数，则非p为（）
A.存在m∈R，f（x）＝2x－mx是减函数
m∈R，f（x）＝2x－mx是减函数
m∈R，f（x）＝2x－mx不是增函数
m∈R，f（x）＝2x－mx不是增函数
解析：由特称命题的否定可得非p为“任意m∈R，f（x）＝2x－mx不是增函数”. 答案：D
A是奇函数集，Bp：任意f（x）∈A，|f（x）|∈B，则非p为（）
f（x）∈A，|f（x）|∉B
B.任意f（x）∉A，|f（x）|∉B
C.存在f （x ）∈A ，|f （x ）|∉B
D.存在f （x ）∉A ，|f （x ）|∉B
解析：全称命题的否定为特称命题，一是要改写量词，二是要否定结论，所以由命题p ：任意f （x ）∈A ，|f （x ）|∈B ，得非p 为存在f （x ）∈A ，|f （x ）|∉B . 答案：C
4.（2021·某某四校联考）命题“任意x ∈R ，e x ≥x ＋1”的否定是（ ） x ∈R ，e x <x ＋1 x ∈R ，e x ≥x ＋1 x ∉R ，e x <x ＋1 x ∈R ，e x <x ＋1
解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“任意x ∈R ，e x ≥x ＋1”的否定是“存在x ∈R ，e x <x ＋1”. 答案：D
1.写全（特）称命题的否定时，要注意两个方面：一是量词的改写；二是结论的否定.其中对结论的准确否定是解决问题的关键.
2.全称命题为真以及特称命题为假都需要给予严格的证明，其中常用的方法为反证法，反证法的思想源于原命题与逆否命题同真同假.
(题型二 与逻辑联结词有关的应用
考法（一） 含有逻辑联结词的真假判断
[例1] （1）（2021·某某模拟）设命题p ：存在x ∈（0，＋∞），3x ＋x ＝12 019；命题q ：任意
a ，
b ∈（0，8），a ＋1b ，b ＋1
a 中至少有一个不小于2，则下列命题为真命题的是（ ）
A.p 且q
B.（非p ）且q
C.p 且（非q ）
D.（非p ）且（非q ）
（2）（2020·高考全国卷Ⅱ）设有下列四个命题： p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l . 则下述命题中所有真命题的序号是__________. ①p 1∧p 4②p 1∧p 2③綈p 2∨p 3④綈p 3∨綈p 4
[解析] （1）因为f （x ）＝3x ＋x 在（0，＋∞）上单调递增，所以f （x ）＞f （0）＝1＞1
2 019，
所以p 假；假设a ＋1b ，b ＋1a 都小于2，则a ＋1b ＋b ＋1a ＜4，又根据基本不等式可得a ＋1
b ＋b ＋
1
a
≥4，矛盾，所以q 真，所以（非p ）且q 为真命题. （2）p 1是真命题，两两相交且不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知p 1为真命题；p 2是假命题，因为空间中三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；p 3是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；p 4p 2，非p 3，非p 4依次为真命题、真命题、假命题，从而①③④中命题是真命题，②中命题是假命题. [答案] （1）B （2）①③④
“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式命题真假的判断步骤
（1）确定命题构成形式. （2）判断命题p ，q 的真假.
（3）根据真值表确定“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式命题的真假. 考法（二） 已知命题真假求参数X 围
[例2] 已知p ：存在x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，某某数m 的取值X 围.
[解析] 依题意知p ，q 均为假命题，当p 为假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q
为真命题时，则有Δ＝m 2－4＜0，解得－2＜mp ，q
均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，
m ≤－2或m ≥2，
即m ≥m
的取值X 围为[2，＋∞）.
[变式探究] 若本例中的条件q 变为：存在x ∈R ，x 2＋mx ＋1＜0，其他条件不变，则实数m 的取值X 围为__________.
解析：依题意，当q 是真命题时，Δ＝m 2
－4＞0，所以m ＞2或m ⎩
⎪⎨⎪⎧m ≥0，
－2≤m ≤2，得0≤m ≤2，
所以m 的取值X 围是[0，2]. 答案：[0，2]
根据复合命题真假求参数的步骤
（1）根据题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况）. （2）求出每个命题是真命题时参数的取值X 围. （3）根据每个命题的真假情况，求出参数的取值X 围.
[题组突破]
1.（2021·某某模拟）已知命题p ，q ，则“非p 为假命题”是“p 且q 是真命题”的（ ）
解析：充分性：若非p 为假命题，则p 为真命题，由于不知道q 的真假性，所以推不出p 且q 是真命题.必要性：p 且q 是真命题，则p ，q 均为真命题，则非p “非p 为假命题”是“p 且q 是真命题”的必要不充分条件. 答案：B
2.（2021·某某江淮十校第三次联考）已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值X 围是__________.
解析：命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a
4≤3，即a ≥p 或q
是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和qp 真q 假，则a ＜－12；若p 假q 真，则－4＜aa 的
取值X 围是（－∞，－12）∪（－4，4）. 答案：（－∞，－12）∪（－4，4）
与命题有关的核心素养
（一）逻辑推理——复合命题的真假判断
[例1]（2021·某某模拟）p 表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q 表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题p 或q 表示（ ）
A.甲、乙两人中恰有一人的试跳成绩没有超过2米
B.甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩没有超过2米
C.甲、乙两人中两人的试跳成绩都没有超过2米
D.甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米
[解析] ∵命题p 表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q 表示“乙的试跳成绩超过2米”，∴命题p 或q 表示“甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米”. [答案] D
复合命题真假判断主要通过p 、q 的真假判断来考查逻辑推理能力，其关键是p 、q 真假的准确判断.
（二）创新应用——“交汇型”命题真假的判断
[例2]（2019·高考全国卷Ⅲ）记不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃（x ，y ）
∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀（x ，y ）∈D ，2x ＋y ≤四个命题 ①p ∨q ②綈p ∨q ③p ∧綈q ④綈p ∧綈q 这四个命题中，所有真命题的编号是（ ） A.①③ B.①② C.②③
D.③④
[解析] 法一：画出可行域如图中阴影部分所示.
目标函数z ＝2x ＋y 是一条平行移动的直线，且z 的几何意义是直线z ＝2x ＋y 的纵截距.显然，直线过点A （2，4）时，z min ＝2×2＋4＝8，即z ＝2x ＋y ≥8.
∴2x ＋y ∈[8，＋∞）.由此得命题p ：存在（x ，y ）∈D ，2x ＋y ≥9正确； 命题q ，任意（x ，y ）∈D ，2x ＋y ≤12不正确.∴①③真，②④假.
法二：取x ＝4，y ＝5，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，
2x －y ≥0，
且满足2x ＋y ≥9，不满足2x ＋y ≤12，故p
真，q 假.
∴①③真，②④假. [答案] A
解决此类问题的关键是抓住交汇点，判断p ，q 命题的真假.
[题组突破]
1.（2021·芮城模拟）在一次数学测试中，成绩在区间[125，150]内视为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p 是“甲测试成绩优秀”，q 是“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一名同学成绩不是优秀”可表示为（ ） A.（非p ）或（非q ） B.p 或（非q ） C.（非p ）且（非q ）
D.p 或q
解析：“甲测试成绩不优秀”可表示为非p ，“乙测试成绩不优秀”可表示为非q ，“甲、乙中至少有一名同学成绩不是优秀”即“甲测试成绩不优秀”或“乙测试成绩不优秀”，表示形式为（非p ）或（非q ）. 答案：A
2.（2021·某某模拟）已知命题p ：椭圆25x 2＋9y 2＝225与双曲线x 2－3y 2＝12有相同的焦点；命题q ：函数f （x ）＝x 2＋5
x 2＋4
的最小值为5
2.则下列命题为真命题的是（ ）
A.p 且q
B.（非p ）且q
C.非（p 或q ）
D.p 且（非q ）
解析：p 中椭圆x 29＋y 225＝1的焦点坐标分别为（0，4），（0，－4），双曲线x 212－y 2
4＝1的焦点坐
标分别为（4，0），（－4，0），故p 为假命题；q 中f （x ）＝
x 2＋5
x 2＋4＝x 2＋4＋1
x 2＋4
＝x 2＋4＋
1
x 2＋4
，
设t ＝
x 2＋4≥2（当且仅当x ＝0时，等号成立），则f （t ）＝t ＋1
t
在区间[2，＋∞）上单调递
增，故f （x ）min ＝5
2，故q 以（非p ）且q 为真命题.
答案：B。