数学数学导数及其应用多选题试题及答案

数学数学导数及其应用多选题试题及答案
一、导数及其应用多选题
1．函数ln ()x
f x x
=，则下列说法正确的是（ ）
A ．(2)(3)f f >
B ．ln π>
C ．若()f x m =有两个不相等的实根12x x 、，则2
12x x e <
D ．若25,x y x y =、均为正
数，则25x y < 【答案】BD 【分析】
求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项．
由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A ，由函数()f x 性质判断BC ，设
25x
y
k ==，且,x y 均为正数，求得252ln ,5ln ln 2ln 5
x k y k =
=，再由函数()f x 性质判断D ． 【详解】
由ln (),0x f x x x
=
>得：21ln ()x
f x x -'=
令()0f x '=得，x e =
当x 变化时，(),()f x f x '变化如下表：
故，()f x x
=
在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，()f e e =是极大值也是最大值，
x e >时，x →+∞时，()0f x →，且x e >时()0f x >，01x <<时，()0f x <，(1)0f =，
A ．11
32ln 2
(2)ln 2,(3)ln 32
f f ===
66
111
13322
3232(3)(2)f f ⎛⎫⎛⎫>∴>∴> ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，故A 错
B ．
e e π<，且()
f x 在(0,)e 单调递增
ln
f fπ
∴<<<∴>，故：B正确C．()
f x m
=有两个不相等的零点()()
1212
,x x f x f x m
∴==
不妨设12
0x e x
<<<
要证：2
12
x x e
<，即要证：
22
122
2
,()
e e
x x e e f x
x x
<>∴<在(0,)e单调递增，∴只需证：()
2
1
2
e
f x f
x
⎛⎫
< ⎪
⎝⎭
即：()
2
2
2
e
f x f
x
⎛⎫
< ⎪
⎝⎭
只需证：()
2
2
2
e
f x f
x
⎛⎫
-<
⎪
⎝⎭
……①
令
2
()(),()
e
g x f x f x e
x
⎛⎫
=->
⎪
⎝⎭
，则
22
11
()(ln1)
g x x
e x
'
⎛⎫
=--
⎪
⎝⎭
当x e
>时，
22
11
ln1,()0()
x g x g x
e x
'
>>∴>∴在(,)
e+∞单调递增
()
22
()0
x e g x g e
>∴>=，即：()
2
2
2
e
f x f
x
⎛⎫
->
⎪
⎝⎭
这与①矛盾，故C错
D．设25
x y k
==，且,x y均为正数，则25
ln ln
log,log
ln2ln5
k k
x k y k
====
25
2ln,5ln
ln2ln5
x k y k
∴==
1
1
5
2
ln2ln5
ln2,ln5
25
==且
10
10
11
11
53
22
2525
⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
⎪
>> ⎪
⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
ln2ln525
025
25ln2ln5
x y
∴>>∴<∴<，故D正确．
故选：BD．
【点睛】
关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数()
f x的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两
个变量
12
,x x，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明．
2．已知：()
f x是奇函数，当0
x>时，()
'()1
f x f x
->，(1)3
f=，则（）A．(4)(3)
f ef
>B．2
(4)(2)
f e f
->-
C．3
(4)41
f e
>-D．2
(4)41
f e
-<--
【答案】ACD
【分析】
由已知构造得'
()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦
，令()()+1x f x g x e =，判断出函数()g x 在0x >时单调递增，由此得()()4>3g g ，化简可判断A ；()()4>2g g ，化简并利用()f x 是奇函数，可判断B ；
()()4>1g g ，化简可判断C ；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，可判断D.
【详解】 因为当0x >时，()'
()1f
x f x ->，所以()'()10f x f x -->，即
()[]
'()+10x
f x f e x ->，所以'
()+10x x e f ⎡⎤
>⎢⎥
⎣⎦
， 令()()+1x
f x
g x e
=
，则当0x >时，()'
>0g x ，函数()g x 单调递增， 所以()()4>3g g ，即43
(4)+1(3)+1
>f f e e ，化简得(4)(3)1>(3)f f e e ef >+-，故A 正确；
()()4>2g g ，即
42
(4)+1(2)+1>f f e e ，化简得222(4)(2)1>(2)f f e e e f >+-， 所以2(4)(2)e f f -<-，又()f x 是奇函数，所以2
(4)(2)e f f -<-，故B 不正确；
()()4>1g g ，即
4
(4)+1(1)+1>f f e e
，又(1)3f =，化简得3
(4)41f e >-，故C 正确； 由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，所以2
(4)41f e -<--，又()f x 是奇函数，所
以2
(4)41f e -<--，故D 正确, 故选：ACD. 【点睛】
关键点点睛：解决本题中令有导函数的不等式，关键在于构造出某个函数的导函数，得出所构造的函数的单调性，从而可比较函数值的大小关系.
3．在湖边，我们常看到成排的石柱子之间两两连以铁链，这就是悬链线（Catenary ），其形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名.选择适当的坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数()cosh 2
x x a
a
x e e
f x a a a -+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪
⎝⎭
，其中a 为非零常数，
在此坐标平面上，过原点的直线与悬链线相切于点()()
00,T x f x ，则0
x a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的值可能为
（ ）（注：[]
x 表示不大于x 的最大整数）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
【答案】AC 【分析】
求出导数，表示出切线，令0x t a
=
，可得()()110t t
t e t e --++=，构造函数()()()11x x h x x e x e -=-++，可得()h x 是偶函数，利用导数求出单调性，结合零点存在
性定理可得021x a -<<-或012x
a
<<，即可求出. 【详解】
()2
x x
a
a
e e
f x a -+=⋅
，()
2
x x a
a
e e
f x --'∴=，
∴切线斜率
002
x x a
a
e e
k -
-=
，
()0
002
x x a
a
e e
f x a -+=⋅，
则切线方程为()000002
2x x x x a
a
a
a
e
e e e
y a x x --+--⋅=
-，
直线过原点，()0000022
x x x x a
a
a a
e e e e
a x --+-∴-⋅=
⋅-
令0x t a
=
，则可得()()110t t
t e t e --++=， 令()()()11x
x
h x x e x e -=-++，则t 是()h x 的零点，
()()()()11x x h x x e x e h x --=++-=，()h x ∴是偶函数，
()()x x h x x e e -'=-+，
当0x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，
()1120h e -=>，()22230h e e -=-+<，
()h x ∴在()1,2存在零点t ，由于偶函数的对称性()h x 在()2,1--也存在零点，
且根据单调性可得()h x 仅有这两个零点，
021x a ∴-<
<-或012x
a
<<，
02x a ⎡⎤
∴=-⎢⎥⎣⎦
或1. 故选：AC. 【点睛】
本题考查利用导数求切线，利用导数研究函数的零点，解题的关键是将题目转化为令
0x t a
=
，()()110t t t e t e --++=，求()()()11x x
h x x e x e -=-++的零点问题.
4．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件： （i ）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；
（ii ）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是（ ）
A ．直线:0l y =在点()0,0P 处“切过”曲线3:C y x =
B ．直线:1l x =-在点()1,0P -处“切过”曲线()2
:1C y x =+
C ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:sin C y x =
D ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:tan C y x = 【答案】ACD 【分析】
分别求出每个选项中命题中曲线C 对应函数的导数，求出曲线C 在点P 处的切线方程，再由曲线C 在点P 处两侧的函数值对应直线上的点的值的大小关系是否满足（ii ），由此可得出合适的选项. 【详解】
对于A 选项，由3
y x =，可得2
3y x '=，则0
0x y ='
=，
所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为0y =，
当0x >时，0y >；当0x <时，0y <，满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线0y =两侧， A 选项正确；
对于B 选项，由()2
1y x =+，可得()21y x '=+，则1
0x y =-'
=，
而直线:1l x =-的斜率不存在，所以，直线l 在点()1,0P -处不与曲线C 相切，B 选项错误；
对于C 选项，由sin y x =，可得cos y x '=，则0
1x y ='
=，
所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，
设()sin x x x f -=，则()1cos 0f x x '=-≥，所以，函数()f x 为R 上的增函数， 当0x <时，()()00f x f <=，即sin x x <；
当0x >时，()()00f x f >=，即sin x x >.
满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，C 选项正确； 对于D 选项，由sin tan cos x
y x x ==
，可得2
1cos y x
'=，0
1x y ='=，
所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，
当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，设()tan g x x x =-，则()2221sin 10cos cos x
g x x x
=-=-≤'，
所以，函数()g x 在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递减.
当02
x π
-
<<时，()()00g x g >=，即tan x x >；
当02
x π
<<
时，()()00g x g <=，即tan x x <.
满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】
关键点点睛：本题考查导数新定义，解题的关键就是理解新定义，并把新定义进行转化，一是求切线方程，二是判断在切点两侧函数值与切线对应的函数值的大小关系，从而得出结论.
5．设函数3()(,)f x x ax b a b R =++∈，下列条件中，使得()y f x =有且仅有一个零点的是（ ） A ．1,2a b == B ．3,3a b =-=- C ．0,2a b >< D ．0,0a b <>
【答案】ABC 【分析】
求导2
()3f x x a '=+，分0a ≥和0a <进行讨论，当0a ≥时，可知函数单调递增，有且只有一个零点；当0a <时，讨论函数的单调性，要使函数有一个零点，则需比较函数的极大值与极小值与0的关系，再验证选项即可得解. 【详解】
3()f x x ax b =++，求导得2()3f x x a '=+
当0a ≥时，()0f x '≥，()f x ∴单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞；由零点存在性定理知，函数()f x 有且只有一个零点，故A ，C 满足题意；
当0a <时，令()0f x '=，即230x a +=，解得1x =2x =当x 变化时，()'
f x ，()f x 的变化情况如下表：
x
,3a ⎛⎫--∞- ⎪ ⎪⎝⎭
3
a
-- ,33a a ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭
3
a
- ,3a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
()'f x
+
-
+
()f x
极大值 极小值
故当3
a
x -=-
，函数()f x 取得极大值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=-+=-+ ⎪ ⎪⎝
⎭， 当3
a x -=，函数()f x 取得极小值
2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭
又当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞； 要使函数()f x 有且只有一个零点，作草图
或
则需0303a f a f ⎧
⎛--<⎪ ⎪⎝⎨
-⎪<⎪⎩，即203320
33a a b a a b ⎧-<⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，即2033a a
b -<<，
B 选项，3,3a b =-=-，满足上式，故B 符合题意；
则需0303a f a f ⎧⎛-->⎪ ⎪⎝⎨
-⎪>⎪⎩
，即203320
33a a b a a b ⎧->⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，即2033a a
b ->>，
D 选项，0,0a b <>，不一定满足，故D 不符合题意； 故选：ABC 【点睛】
思路点睛：本题考查函数的零点问题，如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根，考查学生的逻辑推
理与运算能力，属于较难题.
6．设函数()()1x a
f x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列
结论正确的有（ ） A ．a e =
B ．()f x 在区间()1,e 单调递增
C ．1x =是()f x 的极大值点
D ．()f e 是()f x 的最小值
【答案】ACD 【分析】
()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即
ln ln x a
x a
=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()x
h x x
=
的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'
f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'
f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．
【详解】
()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即
ln ln x a
x a
=只有一个正根． 设ln ()x
h x x =
，则21ln ()x h x x
-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，
max 1()()h x h e e
==
． ∴要使方程
ln ln x a
x a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a
<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；
()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，
1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，
易知1x =和x e =是此方程的解．
设()(1)ln 1p x e x x =--+，1
()1e p x x
-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，
又(1)()0p p e ==， 所以()p x 有且只有两个零点，
01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，
所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为
(1)f ，
又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确． 故选：ACD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'
f x 的零
点时，利用零点定义解方程，1
()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得
1(1)ln x e x -=-，
易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．
7．已知函数()()()2
21x f x x e a x =-+-有两个零点，则a 的可能取值是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2
【答案】CD 【分析】
求出()f x 的导数，讨论a 的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出. 【详解】
解：∵函数()()()221x f x x e a x =-+-， ∴()()()()()
12112x
x f x x e a x x e a '=-+-=-+，
①若0a =，那么()()0202x
f x x e x =⇔-=⇔=，
函数()f x 只有唯一的零点2，不合题意； ②若0a >，那么20x e a +>恒成立， 当1x <时，()0f x '<，此时函数为减函数； 当1x >时，()0f x '>，此时函数为增函数； 此时当1x =时，函数()f x 取极小值e -，
由()20f a =>，可得：函数()f x 在1x >存在一个零点； 当1x <时，x e e <，210x -<-<，
∴()()()()()2
2
2121x f x x e a x x e a x =-+->-+-
()()2
11a x e x e =-+--，
令()()2
110a x e x e -+--=的两根为1t ，2t ，且12t t <， 则当1x t <，或2x t >时，()()()2
110f x a x e x e >-+-->， 故函数()f x 在1x <存在一个零点；
即函数()f x 在R 上存在两个零点，满足题意；
③若02
e
a -
<<，则()ln 2ln 1a e -<=， 当()ln 2x a <-时，()1ln 21ln 10x a e -<--<-=，
()ln 2220a x e a e a -+<+=，
即()()()120x
f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，
当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()(
)
120x
f x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，
当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()
(1)20x
f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，
故当()ln 2x a =-时，函数取极大值，
由()()
()()()2
ln 2ln 222ln 21f a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=---+--⎣⎦⎣⎦
(){
}
2
ln 2210a a ⎡⎤⎣⎦=--+<
得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意； ④若2
e
a =-
，则()ln 21a -=， 当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120x
f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，
当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()(
)
120x
f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，
故函数()f x 在R 上单调递增，
函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；
⑤若
2
e
a <-，则()ln 2ln 1a e ->=， 当1x <时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120x
f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，
当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+<+=，
即()()()120x
f x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，
当()ln 2x a >-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，
即()()(
)
120x
f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，
故当1x =时，函数取极大值，
由()10f e =-<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；
综上所述，a 的取值范围为()0,∞+，
故选：CD.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.
8．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x f θ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）
A ．()x f
θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；
B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；
C ．()()1f g θθ+≥在02π
θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，上恒成立；
D ．函数()()22t f
g θθ=+的最大值为2.
【答案】ACD
【分析】 依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可
判断A 、B ；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝
⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可
得当1sin 2θ=，cos 2
θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解．
【详解】
由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=，
对于A ，函数()cos f θθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；
对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，函
数()sin g θθ=在0,
2π⎛
⎫ ⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，故B 错误； 对于C ，当0θπ⎛
⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦
()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝
⎭，故C 正确；
对于D ，函数()()222cos sin2t f g θθθθ=+=+，
求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<
；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66
ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，
当6πθ=即1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数取得极大值1222t =⨯= 又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，
所以函数()()22t f g θθ=+取得最大值2，故D 正确.
故选：ACD.
【点睛】
方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：
（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.。