勾股定理经典题目及答案

勾股定理

1．勾股定理是把形的特点（三角形中有一个角是直角），转变为数目关系（a2＋b2=c2），不单能够解决一些计算问题，并且经过数的计算或式的变形来证明一些几何问题，特别是证明线段间的一些复杂的等量关系 . 在几何问题中为了使用勾股定理，常作高（或垂线段）等

协助线结构直角三角形 .

2．勾股定理的逆定理是把数的特点（a2＋b2=c2）转变为形的特点（三角形中的一个角是直角），能够有机地与式的恒等变形，求图形的面积，图形的旋转等知识联合起来，组成综合

题，重点是发掘“直角”这个隐含条件.

△ ABC

中

∠ C＝ Rt∠a2＋ b2=c2

3．为了计算方便，要熟记几组勾股数：

①3、4、5；

② 6、 8、 10；

③ 5、 12、13；

④ 8、 15、17；

⑤ 9、 40、 41.

4．勾股定理的逆定理是直角三角形的判断方法之一.

一般地说，在平面几何中，常常利用直线间的地点关系，角的互相关系而判断直角，进而判断直角三角形，而勾股定理则是经过边的计算的判断直角三角形和判断直角的 . 利用它能够判断一个三角形是不是直角三角形，一般步骤是：

（1）确立最大边；

（2）算出最大边的平方，此外两边的平方和；

（3）比较最大边的平方与此外两边的平方和能否相等，若相等，则说明是直角三角形；

5．勾股数的计算公式

①罗士琳法例（罗士琳是我国清朝的数学家1789―― 1853）

2 2 2 2

是一组勾股数。

任取两个正整数 m和 n(m>n), 那么 m-n ， 2mn, m+n

②假如 k 是大于 1 的奇数，那么 k, k 2 1 , k 2 1

是一组勾股数。

2 2

K 2 K 2

③假如 k 是大于 2 的偶数，那么 k, 1 , 1 是一组勾股数。

2 2

④假如 a,b,c 是勾股数，那么 na, nb, nc (n 是正整数 ) 也是勾股数。

典型例题剖析

例1 在直线l 上挨次摆放着七个正方形( 如图 1 所示 ) ，已知斜搁置的三个正方形的面积分别是1， 2， 3，正搁置的四个正方形的面积挨次是S1、 S2、 S3、 S4，则S1+S2+S3+S4=____

依照这个图形的基本结构，可设S1、 S2、 S3、 S4的边长为a、 b、 c、 d

则有 a2 +b2=1， c2+d2=3， S1 =b2， S2=a2， S3=c2， S4=d2

S1+S2 +S3+S4=b2 +a2+c2+d2=1+3=4

例 2 已知线段 a，求作线段 5 a

剖析一： 5 a＝5a2＝4a2 a 2

∴ 5 a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。

2

剖析二： 5 a＝9a 4a2

∴ 5 a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。

作图（略）

例 3 如图： (1) 以 Rt △ABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边△的面积，S1、S2、S3之间有何关系，说明原因。

(2) 如图 (2) ，以 Rt △ ABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S1，S2，S3之间有何关系

(3)假如将图 (2) 中斜边上的半圆沿斜边翻折180°，成为图 (3) ，请考证：“两个暗影部分

的面积之和正好等于直角三角形的面积”( 此暗影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙)

剖析：

(1)中 S1， S2， S3的表示均与直角三角形的边长相关。

所以依据勾股定理可得出S1， S2， S3的关系， S1+S2=S3

(2)近似于 (1) ： S1+S2=S3

(3)图中暗影部分的面积是S1+S2 +S△ABC-S 3

∴S 暗影 =S△ABC

例 4. 如图 3，图中全部的四边形都是正方形，全部的三角形都是直角三角形，若全部的正

方形的面积之和为 507cm2，试求最大的正方形的边长。

剖析：本题明显与勾股定理的几何意义相关，即

S1+S2 =S3， S5+S6=S4， S3+S4=S

阴所以 S1 +S2+S5+S6=S3+S4=S 阴

进而有 3S 阴 =507，即 S 阴 =169(cm 2)

∴最大的正方形的边长为13cm

例 5 图 (7) 中，若大正方形 EFGH的边长为 1，将这个正方形的四个角剪掉，获得四边形 ABCD，试问怎么剪才能使剩下的图形ABCD仍为正方形，且剩下列图形的面积为原正方形面积的5/9

(3) 设剪去的四个直角三角形的直角边长为a， b 且 a>b，

则

将正方形EFGH的边长三平分，使

按序连接 A、B、C、D，所得正方形 ABCD的面积即为原正方形面积的，只需剪去△ ABE，△BCF，△ CDG，△ DAH即可。

二、要学会用方程看法解题

例 6. 已知：如图 7，△ ABC中， AB=3，BC=4，∠ B=90°，若将△ ABC折叠，使 C 点与 A点重合，求折痕 EF 的长。

剖析：当解这样的问题时，由轴对称的看法，自然想到连AF。

由已知，可得，所以欲求EF，只需求AF 的长。

设 AF=x，则 FC=x， BF=4-x

只需利用 Rt △ ABF中， AF2-BF2=AB2这个相等关系布列方程

x2-(4-x)2=9，问题就能够解决

例 7. 在 Rt △ABC中，∠ C=90°，若 a， b， c 为连续整数 (a<b<c) ，求 a+b+c 剖析：有的同学以为，在 Rt△ ABC中，

∵ a、 b、 c 为连续整数，

∴a=3,b=4,c=5 ，即 a、 b、 c 不行能是其他数。

这个同学的结论是正确的，但没有推理论证，正确的解法是

设 b=x(x 为正整数，且x≥2) ，由已知，则a=x-1 ，c=x+1

∵ c2-a 2=b2∴ (x+1)2-(x-1)2=x2

即 4x=x2，又∵ x>0，∴只有x=4

∴a+b+c=(x-1)+x+(x+1)=3x=12

例 8. 已知：如图 8，△ ABC中， AB=13，BC=21， AC=20，求△ ABC的面积。

剖析：为了求△ABC的面积，只需求

出BC边上的高AD 若设 BD=x，则 DC=21-x，只需利

2 2 2 2 2

这个相等关系，2 2 2 2

问题就能

用 AB-BD =AD=AC-DC 列方程 13 -x =20 -(21-x) ，求出 x 的值解决

例 9 仔细察看图，仔细剖析各式，而后解答问题：

(1)用含有 n(n 是正整数 ) 的等式表示上述变化规律；

(2)计算出 OA10的长；

(3)求出的值。

答案(1)