运用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决三角形
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1．在△ABC中，A＝60°，a＝4 ，b＝4 ，则B等于( )
A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对
2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ ac，则角B的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
授课问题设置
例1如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2．
预习检测
1、与解斜三角形有关的公式
（1）正弦定理和余弦定理:
= =
; ; ;
对公式及公式的变形要记熟,要清楚这些公式能解决那些问题.
(2)求面积公式的其他公式:
; 是 内切圆的半径）；
2R2sinAsinBsinC（R为外接圆半径）； .
(3)两角和与差的正弦余弦正切公式,二倍角公式等要在解题中会熟练运用.
整理，得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝ ＝ .∵0<A<π，∴A＝ .
(2)∵S△ABC＝ bcsinA＝ ，即 bcsin ＝ ，
∴bc＝3.①
∵a2＝b2＋c2－2bccosA，∴b2＋c2＝6，②
由①②得b＝c＝ ，∴△ABC为等边三角形．
规律总结：通过此例题可使学生明确，利用正弦定理和余弦定理进行边角的互化，进而求角或边的大小.已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可考虑用正玄余弦定理化边为角或化角为边，在进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式，然后给予判定，.
章节
1.2应用举例
课题
应用举例（二）
学习目标
1.能够ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决三角形中的有关边长角度面积等问题.
2.通过例题讲解和实践提高分析问题、解决问题的能力。
重、难点
运用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决三角形中的有关边长角度面积等问题.
学法指导
自主、合作交流探究相结合的学习方法
学习过程
由正弦定理得(2sinB－sinC)cosA－sinAcosC＝0.
∴2sinBcosA－sin (A＋C)＝0，sinB(2cosA－1)＝0，
∵0<B<π，∴sinB≠0，cosA＝ .∵0<A<π，∴A＝ .
解法二:∵(2b－c)cosA－acosC＝0，
由余弦定理，得(2b－c)· －a· ＝0.
(2)若a＝ ，S△ABC＝ ，试判断△ABC的形状，并说明理由．
思路导析:(1)已知条件中是边和角的混合,由此可以考虑利用正弦定理或余弦定理把边化成角或把边化成角,即可解决.
(2)有面积大小,又由(1)知道角A的大小,可以利用面积公式化成边的关系.
解析：(1)解法一:∵(2b－c)cosA－acosC＝0，
解:(1)∵A＋B＋C＝180°，由4sin2 －cos 2C＝ ，得4cos2 －cos 2C＝ ，
∴4· －(2cos2C－1)＝ ，
整理，得4cos2C－4cosC＋1＝0，解得cosC＝ ，
∵0°<C<180°，∴C＝60°.
(2)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即7＝a2＋b2－ab，∴7＝(a＋b)2－3ab，
例2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a＋b＝5，c＝ ，且4sin2 －cos 2C＝ .
(1)求角C的大小；
(2)求△ABC的面积．
思路导析:(1)由已知条件要注意二倍角公式的应用,把半角化成单角即可利用余弦定理.
(2)条件中含有关于a,b的等式,又由(1)知道角C的大小,可以列出关于a,b的方程组,进而求出a,b的值,再利用面积公式即可.
由条件a＋b＝5，得7＝25－3ab，ab＝6，
∴S△ABC＝ absinC＝ ×6× ＝ .
规律总结：在解决三角形的有关问题时,要注意两角和与差的正弦余弦公式,和二倍角公式的应用
达标检测题
例3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足(2b－c)cosA－acosC＝0.
(1)求角A的大小；
（1）求 的值； （2）求 ．
思路导析:（1）根据所给的条件,可以知道CD=CB,又∠BCD=150°,∴在△BCD中可以求出∠CBD的大小,进而求出 的值;
（2）要求AE的长,在△ABE中,知道AB=2和三个角的度数,利用正弦定理即可.
解：（1）因为
所以 ，
（2）在 中， ，故由正弦定理得
故
规律总结：在三角形内，已知三个元素，只要存在符合正弦定理和余弦定理的条件，即可解决.
A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对
2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ ac，则角B的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
授课问题设置
例1如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2．
预习检测
1、与解斜三角形有关的公式
（1）正弦定理和余弦定理:
= =
; ; ;
对公式及公式的变形要记熟,要清楚这些公式能解决那些问题.
(2)求面积公式的其他公式:
; 是 内切圆的半径）；
2R2sinAsinBsinC（R为外接圆半径）； .
(3)两角和与差的正弦余弦正切公式,二倍角公式等要在解题中会熟练运用.
整理，得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝ ＝ .∵0<A<π，∴A＝ .
(2)∵S△ABC＝ bcsinA＝ ，即 bcsin ＝ ，
∴bc＝3.①
∵a2＝b2＋c2－2bccosA，∴b2＋c2＝6，②
由①②得b＝c＝ ，∴△ABC为等边三角形．
规律总结：通过此例题可使学生明确，利用正弦定理和余弦定理进行边角的互化，进而求角或边的大小.已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可考虑用正玄余弦定理化边为角或化角为边，在进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式，然后给予判定，.
章节
1.2应用举例
课题
应用举例（二）
学习目标
1.能够ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决三角形中的有关边长角度面积等问题.
2.通过例题讲解和实践提高分析问题、解决问题的能力。
重、难点
运用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决三角形中的有关边长角度面积等问题.
学法指导
自主、合作交流探究相结合的学习方法
学习过程
由正弦定理得(2sinB－sinC)cosA－sinAcosC＝0.
∴2sinBcosA－sin (A＋C)＝0，sinB(2cosA－1)＝0，
∵0<B<π，∴sinB≠0，cosA＝ .∵0<A<π，∴A＝ .
解法二:∵(2b－c)cosA－acosC＝0，
由余弦定理，得(2b－c)· －a· ＝0.
(2)若a＝ ，S△ABC＝ ，试判断△ABC的形状，并说明理由．
思路导析:(1)已知条件中是边和角的混合,由此可以考虑利用正弦定理或余弦定理把边化成角或把边化成角,即可解决.
(2)有面积大小,又由(1)知道角A的大小,可以利用面积公式化成边的关系.
解析：(1)解法一:∵(2b－c)cosA－acosC＝0，
解:(1)∵A＋B＋C＝180°，由4sin2 －cos 2C＝ ，得4cos2 －cos 2C＝ ，
∴4· －(2cos2C－1)＝ ，
整理，得4cos2C－4cosC＋1＝0，解得cosC＝ ，
∵0°<C<180°，∴C＝60°.
(2)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即7＝a2＋b2－ab，∴7＝(a＋b)2－3ab，
例2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a＋b＝5，c＝ ，且4sin2 －cos 2C＝ .
(1)求角C的大小；
(2)求△ABC的面积．
思路导析:(1)由已知条件要注意二倍角公式的应用,把半角化成单角即可利用余弦定理.
(2)条件中含有关于a,b的等式,又由(1)知道角C的大小,可以列出关于a,b的方程组,进而求出a,b的值,再利用面积公式即可.
由条件a＋b＝5，得7＝25－3ab，ab＝6，
∴S△ABC＝ absinC＝ ×6× ＝ .
规律总结：在解决三角形的有关问题时,要注意两角和与差的正弦余弦公式,和二倍角公式的应用
达标检测题
例3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足(2b－c)cosA－acosC＝0.
(1)求角A的大小；
（1）求 的值； （2）求 ．
思路导析:（1）根据所给的条件,可以知道CD=CB,又∠BCD=150°,∴在△BCD中可以求出∠CBD的大小,进而求出 的值;
（2）要求AE的长,在△ABE中,知道AB=2和三个角的度数,利用正弦定理即可.
解：（1）因为
所以 ，
（2）在 中， ，故由正弦定理得
故
规律总结：在三角形内，已知三个元素，只要存在符合正弦定理和余弦定理的条件，即可解决.