第二章 2.2 2.2.3向量数乘运算及其几何意义

第二章 2.2 2．2.3向量数乘运算及其几

何意义

2．2.3 向量数乘运算及其几何意义

预习课本P87～90，思考并完成以下问题

(1)向量数乘的定义及其几何意义是什么？

(2)向量数乘运算满足哪三条运算律？

(3)向量共线定理是怎样表述的？

(4)向量的线性运算是指的哪三种运算？

[新知初探]

1．向量的数乘运算

(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|；

②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；

当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．

(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：

①λ(μa)＝(λμ)a；

②(λ＋μ)a＝λa＋μa；

③λ(a＋b)＝λa＋λb；

特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；

λ(a－b)＝λa－λb.

[点睛] (1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无法运算．

(2)λa的结果为向量，所以当λ＝0时，得到的结

果为0而不是0.

2．向量共线的条件

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λ a.

[点睛] (1)定理中a是非零向量，其原因是：若a

＝0，b≠0时，虽有a与b共线，但不存在实数λ使b

＝λa成立；若a＝b＝0，a与b显然共线，但实数λ不唯一，任一实数λ都能使b＝λa成立．

(2)a是非零向量，b可以是0，这时0＝λa，所以有λ＝0，如果b不是0，那么λ是不为零的实数．

3．向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运

算．对于任意向量a，b及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错

误的打“×”)

(1)λa的方向与a的方向一致．( )

(2)共线向量定理中，条件a≠0可以去掉．( )

(3)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝

b.( )

答案：(1)×(2)×(3)×

2．若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是( )

A．b＝2a B．b＝－2a

C．a＝2b D．a＝－2b

答案：A

3．在四边形ABCD中，若＝－12 ，则此四边形是( )

A．平行四边形 B．菱形

C．梯形 D．矩形

答案：C

4．化简：2(3a＋4b)－7a＝______.

答案：－a＋8b

向量的线性运算

[例1] 化简下列各式：

(1)3(6a＋b)－9a＋13b；

(2)123a＋2b－a＋12b－212a＋

38b；

(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.

[解] (1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.

(2)原式＝122a＋32b－a－34b＝a＋34b－a－34b＝0.

(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c. 向量线性运算的方法

向量的线性运算类似于代数多项式的运算，共线向

量可以合并，即“合并同类项”“提取公因式”，这里

的“同类项”“公因式”指的是向量．

[活学活用]

化简下列各式：

(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；

(2)1622a＋8b－44a－

2b.

解：(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－

9b.

(2)原式＝16(4a＋16b－16a＋8b)＝16(－12a＋24b)

＝－2a＋4b.

用已知向量表示未知向量

[典例] 如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC

的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，

试用a，b分别表示，， .

[解] 由三角形中位线定理，知DE綊12BC，故＝

12 ，即＝12a.

＝＋＋＝－a＋b＋12a＝－12a＋b.

＝＋＋＝12 ＋＋12

＝－14a－b＋12a＝14a－b.

用已知向量表示未知向量的方法

用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用．

[活学活用]

如图，四边形OADB是以向量＝a，＝b为边的平行四边形．又＝13 ，＝13 ，试用a，b表示，， .

解：∵ ＝13 ＝16 ＝16( － )＝16(a－b)，

∴ ＝＋

＝b＋16a－16b＝16a＋56b.

∵ ＝13 ＝16 ，

∴ ＝＋＝12 ＋＝23 ＝23( ＋ )＝23(a＋b)．

∴ ＝－

＝23(a＋b)－16a－56b＝12a－16b.

共线向量定理的应用

题点一：判断或证明点共线

1．已知两个非零向量a与b不共线，＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线．

证明：∵ ＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，

∴ ＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝∴ ，共线，

又∵它们有公共点B，

∴A，B，D三点共线．

题点二：利用向量的共线确定参数

2．已知a，b是不共线的两个非零向量，当8a＋kb 与ka＋2b共线时，求实数k的值．

解：∵8a＋kb与ka＋2b共线，

∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，

即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.

∵a与b不共线，∴8－λk＝0，k－2λ＝0，

解得λ＝±2，

∴k＝2λ＝±4.

题点三：几何图形形状的判定

3.如图所示，正三角形ABC的边长为15，＝13 ＋25 ，＝15 ＋25AC.

求证：四边形APQB为梯形．

证明：因为＝＋＋＝－13 －25 ＋＋15 ＋25 ＝1315 ，所以∥ .

又| |＝15，所以| |＝13，故| |≠| |，于是四边形APQB为梯形．