重庆市2017届高三上学期第一次诊断模拟(期末)文数试题

2016 年秋高三（上）期末测试卷
文科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12 个小题 ,每题 5 分 ,共 60 分 .在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的 .
1.已知a 2i
i （ a, b 是实数），此中 i 是虚数单位，则 ab （）
b
i
A．-2 B． -1 C． 1 D ． 3
2.设S n为等差数列a n 的前n 项和， a1 2, S3 0 ，则 a n 的公差为（）
A ． 1
B ． 2 C． 3 D． 4
3. 已知会合A 1,2,3,4 , B x | y 2x,y A 则 A B （）
A ． 2 B．1,2 C．2,4 D ．1,2,4
x y 1 0
4. xOy
中，不等式组x y 1 0 表示的平面地区的面积为（）
在平面直角坐标系
x 1 A ． 2 B ． 4 C. 6 D． 8
命题p : 甲的数学成绩不低于
100 分，命题 q : 乙的数学成绩低于
100
分，则
p q
表
5.
示（）
A ．甲、乙两人数学成绩都低于100 分B．甲、乙两人起码有一人数学成绩低于100分
C.甲、乙两人数学成绩都不低于100 分D．甲、乙两人起码有一人数学成绩不低于100分
6.我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡
七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（）A． 104 人B．108 人 C. 112 人D．120 人
7.履行以下图的程序框图，若分别输入1， 2， 3，则输出的值的会合为（）
A ．1,2
B ．1, 3 C.2,3D．1,3,9
8.已知某几何体的三视图以下图，则该几何体的体积为（）
A ．7
B．
14
C. 7 D．14
2 3
9.
2y y2 上的点到直线x y 2 0
的距离的最大值为
a
，最小值为 b ，则
设曲线 x
a b 的值为（）
A ．
2
B ． 2 C.
2
D． 2 2
1
2
10. 函数 y sin x 1
）的图象大概是（
x
A．B．
C. D ．
11.已知
ABC 的外接圆半径为
2， D 为该圆上的一点， 且 AB
AC AD ，则 ABC 的面
积的最大值为 （ ）
A ． 3
B ． 4
C.33
D ．4 3
2
2
12.已知双曲线 C : x
2
y 2 1 a 0, b 0 的左、右焦点分别为 F 1、 F 2 ,P 为双曲线 C 上一
a
b
点， Q 为双曲线 C 渐近线上一点， P 、 Q 均位于第一象限，且 QP PF 2 ,QF 1 QF 2 0 ，
则双曲线 C 的离心率为（ ）
A ．51
B ． 3
C. 31
D ．51
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.
13.若直线 a 1 x y
2 0与直线 x
a 1 y 1 0 平行，则实数 a 的值
为
．
14.已知 tan 2 ，则
sin cos
．
2sin
cos
15.已知 x 0 是函数 f x
x 2a x 2 a 2 x 2a 3 的极小值点，则实数 a 的取值范围
是
．
16. 已知数列 a n 的前 n 项和为 S n ，且知足： a 1 1,a 2 2, S n 1 a n 2 a n 1 n N * ，
若不等式
S n
a n 恒成立，则实数
的取值范围是
．
三、解答题 ：本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知向量 a
sin x,cos x ， b cos x
sin x,cos x ，函数 f x a b ．
6
（1）求 f x 的单一递加区间；
（2）若0,且cos
12 1
，求 f．
2 3
18.心理学家剖析发现“喜爱空间想象”与“性别”相关，某数学兴趣小组为了考证此结论，
从全体组员中按分层抽样的方法抽取50 名同学（男生 30 人、女生 20 人），给每位同学立体
几何题、代数题各一道，让各位同学自由选择一道题进行解答，选题状况统计以下表：（单位：人）
立体几何题代数题总计
男同学22 8 30
女同学8 12 20
总计30 20 50
（1）可否有97.5%以上的掌握以为“喜爱空间想象”与“性别”相关？
（2）经统计得，选择做立体几何题的学生正答率为4
，且答对的学生中男生人数是女生人5
数的 5 倍，现从选择做立体几何题且答错的学生中随意抽取两人对他们的答题状况进行研究，求恰巧抽到男女生各一人的概率．
附表及公式：
P K 2 k
k
n ad bc 2
K 2
a b c b d
c d a
19.如图 ,在三棱柱ABC A1B1C1中，D为AB的中点，
CD DA1 , AC BC, ABB1 450 ， AC BC BB1 2．
（1）证明：B1D BD ；
（2）求点A到平面ACD的距离．
1
2 2
20. 过椭圆 C : x
2
y 2 1 a b 0 的左、右焦点分别为 F 1、F 2 ，过 F 2 且垂直于 x 轴的
a
b
8 5 直线与椭圆 C 订交于 A 、 B 两点， AB
，点 P 是椭圆 C 上的动点， 且 cos F 1PF 2 的
5
最小值为
3
．
5
（ 1）求椭圆 C 的方程；
（ 2）过点2,0 的直线 l 与椭圆订交于 M 、 N 两点，求 F 2 B F 2 N 的取值范围．
21. 已知函数 f x
x ae x
b a 0,b R ．
（1）求 f x 的最值；
（2）若函数 f
x
有两个不一样的零
点 x 1, x 2 ，证明： x 1
x 2 2ln a ．
请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分 .
22.选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，直线 l :
x t （ t 为参数），以原点 O 为极点， x 轴正半轴为
y
5 2t
极轴成立极坐标系，曲线
C 的极坐标方程为
2
cos2 4 0 ．
（1）写出曲线 C 的直角坐标方程；
（2）已知点 A 0,
5 1 1 ，直线 l 与曲线 C 订交于点 M 、 N ，求
的值．
AM
AN
23. 选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f x x a x b a 0,b 0 ．
（1）若 a
1,b 2 ，解不等式 f x
5 ；
（2）若 f
x 的最小值为
3，求 a 2 b 2 的最小值．
b
a
试卷答案一、选择题
1-5: ABBBD 6-10: BABCB 11、12： BA 二、填空题
13. 0
3
15. a 2或a 0 16.1 14.
5
三、解答题
17.解：（ 1）
f x sin x cos x
6 1
3
sin x cosx
1
sin2 x 1
3
sin 2x
1
cos2x 3
2 2 4 4 4
1 sin 2x 3 ，
2 6 4
2k 2x
6 2k
2
k
3
x k ，
2 6 故 f x 的增区间为k , k ,k Z
；
3 6
（2）f 1 sin 2
6 3 sin cos
12
3 ，
2 4 12 4
又 cos
12 1 且0,
2
，∴ sin
12
2 2 ，
3 3
∴ f 2 2 3
．
9 4
50 22 12 8 8 2
18.解：（ 1）K2 50 5.024 ，
30 20 30 20 9
故有 97.5%以上的掌握以为“喜爱空间想象”与“性别”相关；
（2）由题知选做立体几何题且答对的共24 人，此中男生20 人、女生 4 人，故答错的共 6 人，此中男生 2 人、女生 4 人，则从 6 人中任取 2 人共有 15 种不一样结果，此中恰巧抽到一
男一女的结果有 8 种，因此 P
8
.
1
BA
15
19.解：（ 1）由题知 BD
2 ，又 BB 1 2 且 B 1BD 450 ，∴ B 1DB 900 ，即
2
B 1D BD ；
（2）∵ CD
BA, CD DA 1 ，
∴ CD 平面 ABB 1 A ，∴平面 CDA 1 平面 ABB 1 A ，
过A 作AE
DA 1于
E ，则 AE
平面 A 1DC ， AE 即为所求距离，
A 1 D
B 1D
B 1 A 12
10 ，故在 ADA 1 中由等面积法 AE
2 2
10 ．
10 5
2b 2 8 2a 2 4c 2
3 5, b 2,c
1 ，
20.解：（ 1）由题知
5 ,
2a 2
，∴ a
a
5
∴椭圆 C 的方程为
x 2
y 2 1；
5
4
（2）当直线 l 不与 x 轴重合时，设其方程为
x my 2 ，
与椭圆 C 的方程联立得
4m 2 5 y 2 16my
4 0 ，
设 M x 1 , y 1 , N x 2 , y 2 则 y 1 y 2
16m
, y 1 y 2
4
，
4m 2
4m 2
5
5 F 2 M F 2 N x 1 1 x 2 1 y 1 y 2
my 1 3 my 2
3 y 1 y 2
2
2
m 2
4 m
1
48m
1 y 1 y
2 3m y 1 y 2
9
9
4m 2
5
5
4m 2
4
61 5
4,
41
4m 2
5
当 l 与 x 轴重合时， M , N 即为椭圆左右极点，
F 2M F 2 N
a
c a c
4 ；
综上， F 2M F 2 N
4,
41
．
5
21.解：（ 1） f x
1 ae
x
x ln
1
，∴ f
x 在
,ln
1
上单增，在 ln 1
,
a
a
a
上单减，
∴ f
x
max
f ln
1 1 1 b
；
a
ln
a
（2）由题知
x 1 ae
x
1
b 0 x 1 x 2
a e
x 1 e
x 2 即 a
x 1
x 2
，
x 2
ae x 2
，两式相减得
e x 1
e x 2
b 0
x 1 x 2
e
x
1
e
x
2
2
故要证 x 1
x 2
2ln a 只要证 x 1 x 2
2ln 即证 e
x
1
x 2 即证，
e x 1
e x 2
x 1 x 2
x 1
2
e
x 1 x
2
2
e
x 2
x 1
，不如设 x 1
x 2 ，令 x 2 x 1 t
0 ，则需证 t 2 <e t 2 e t ，
x 2
设 g t
t 2
e t 2 e t ，则 g t
2t e t
e t ，设 h t
2t e t
e t ，则
h t
2 e t e t 0 ，
故 h t 在 0,
上单减，∴ h t h 0
0 即 g t
0 ，∴ g t 在 0,
上单减，
∴ g
t
g 0 0 ，故原不等式得证．
22.解：（ 1）
2
cos 2
2
sin 2
4 0
x 2 y 2
4 0 y 2
x 2 4 ；
x
1 t,
（2）将直线 l 的参数方程化为标准形式：
5
（ t 为参数），
2
y
5
t
5
代入曲线 C 的方程得 3
t 2 4t 1 0 ，
5
则
1
1
1 1 t 1 t
2 4 ．
AN
t 1
t 2
t 1t 2
AM
23.解：（ 1） x 1 x 2 5 ，左式可看作数轴上；点
x 到 -2 和 1 两点的距离之和，
当 x
3 或 2 时，距离之和恰为 5，故
3 x
2 ；
（2） f x
x a
x b x a x b a b ，∴ a b
3，
a 2
b 2
2
2
b 2
b a
a
b
a
b
3，
由柯西不等式得
，∴ a
b a
b
a
当且仅当 a
b
3 时等号成立，∴
a 2
b 2
2 b
a 的最小值为 3．。