大学数学

定义二


1.2.1概率的统计定义
需要指出的是，概率的统计定义不仅提供了一种定义概率的方法， 更重要的是提供了一种估算概率的方法。在实际问题中，事件发 生的概率p往往是未知的，由于频率具有稳定性，因此可用大量 试验中得到的频率值作为概率的近似值。另外，它同时也为检验 理论是否正确提供了一种判别方法，这就是本书第8章要讲的假 设检验理论。


1.2.1概率的统计定义
当试验次数充分多时，事件A出现的频率总在一个确定的
生的可能性大小是事件本身固有的，不依人们意志而改 变的一种客观属性，那么将这样一个客观存在的数作为 事件A发生的概率是合乎逻辑的，这就是下面将要给出的 概率的统计定义。
在相同的条件下进行n次重复试验，当n→∞时， 事件A发生的频率fn(A)稳定于某个确定的常数 p，称此常数p为事件A发生的概率，记作 P(A)=p。

1.1.3事件间的关系与运算
（1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA （2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C,A(BC)=(AB)C
7.事件的运算性质
（3）分配律：A∩(B∪C)=(AB)∪(AC), A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
（4）德莫根（对偶）定律：
一般地， (和的逆＝逆的积)。 (积的逆＝逆的和)。


1.1.3事件间的关系与运算
【例1-3】为检测一批食品的质量，工商部门从中任抽3 件进行检查，设Ai={抽查的第i件食品合格}(i=1,2,3), 试用A1,A2,A3表示以下各事件：(1)只有第一件合格；(2) 只有一件合格； (3)三件都不合格；(4)至少一件合格；(5)至多两件合格。 解：

1.3.1古典概型
考察一类随机试验，若它具有以下两个特点： 古典概型 （1）试验的样本空间只包含有限个样本点； 可能概型 （2）在每次实验中，每个样本点发生的可能性 相等，称这样一类试验为古典概型或等可能概 型。
设试验E的样本空间为Ω={ω1,ω2,…,ωn}，每个样本点出现的概率都 相同，由于P(Ω)=1，故P({ωi})=1n(i=1,2,…,n)，若事件A含有k(k≤n) 个样本点，那么P(A)=A中包含的样本点数Ω中样本点数=kn .那么，
中发生的频率，记为 .
性质
(1)对任意事件A，有0≤fn(A)≤1； (2)fn(Ω)=1, fn(Φ)=0； (3)若事件A1,A2,…,Ak两两互不相容，则

1.2.1概率的统计定义
一般地，若事件A出现的可能性越大，频率fn(A)越大； 反之，若fn(A)越大，可以设想A出现的可能性也越大， 的实践发现，在相同条件下重复进行同一个试验，当 实验次数n很大时，某事件A发生的频率具有一定的 “稳定性”，也就是说其值围绕某确定的数值上下浮 n充分大时，事件A发生的可能性大小就 可以用其频率来刻画，又由于频率具有稳定性，直观 的想法就是通过频率来定义概率。

1.1.2随机事件与样本空间
为了探索随机现象的规律性必须进行大量重复 试验，试验的每一种可能的结果称为随机事件， 简称事件，常用大写字母A,B,C,…表示。
随机事件
基本事件
因此，随机事件就是样本空间的一个子集。特 别地，如果随机事件只含一个样本点，就称此 事件为基本事件。
复合事件
含有两个或两个以上样本点的事件称为复合事 件。


1.2.1概率的统计定义
【例1-5】一口袋中有6个乒乓球，其中4个白球，2个红
结果见表。
在本例中，事件A在n次试验中发生的频率fn(A)也具有随机波动性，当n 较小时，波动的幅度较大，而当n较大时，波动的幅度较小，且随着n的 逐渐增大，fn(A)总在2/3附近徘徊，且逐渐稳定于固定值2/3 .
4.事件的差

1.1.3事件间的关系与运算
如果事件A与事件B不能同时发生，即 AB=Φ，则称事件A与事件B互不相容 (互斥)。显然，互不相容事件A与B没有 的公共样本点。
若事件A1,A2,…,An中的任意两个都 互不相容，则称n个事件两两互不相 容， 若事件A1,A2,…,An两两互不相容， 且A1∪A2∪…∪An=Ω，则称 A1,A2,…,An构成一个完备事件组。

，又由事件A1,A2,…,An,…两两互不相容，所以有

本题可采用另外一种解法. A=A0={该地一年内未发生交通事 故}，于是

本节介绍两类特殊的概率模型——古典概型与几何概型， 它们是概率论发展过程中最早出现的研究对象，它们都 是利用“频率”或“比例”的思想来确定事件的概率， 不同的是：古典概型的样本空间中的样本点是有限个， 而几何概型的样本空间中的样本点是不可列无限个。

1.1.1随机试验
(1)试验在相同条件下可重复进行。
随机试验
(2)每次试验的可能结果不止一个而究竟哪
一个结果出现，试验前不能确定。 (3)试验的所有结果在试验前是已知的， 每次试验有且仅有一个结果出现随机试验 简称试验，用字母E表示，以后提到的试验 都是指随机试验。


1.1.1随机试验
【例1-1】下面是一些试验的例子. (1)掷一颗骰子，观察出现的点数； (2)记录当地一昼夜的最高温度与最低温度； (3)记录单位时间内通过某十字路口的车辆数； (4)观察某高校某个月学生请假次数.

在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生， 发生的可能性大些，也可能发生的可能性小些， 事件发生可能性的大小是由它自身所决定的，是 客观存在的，不以人的思想意志为转移的。这种 刻画事件A发生可能性大小的数量指标称作事件 A发生的概率，用P(A)表示。

1.2.1概率的统计定义
在相同的条件下将试验重复进行n次，在n次试验中， 事件A发生了 次， 称 为事件A在这n次试验 定义一 中发生的频数，而比值 称为事件A在这n次试验
证明：因为A=(A－B)∪AB且(A－B)∩AB＝Φ，所以 P(A)=P((A－B)∪AB)=P(A－B)+P(AB) 。
推论1(单调性)若B属于A,则P(B)≤P(A)。 推论2若B属于A，有P(A－B)＝P(A)－P(B)。

1.2.2概率的公理化定义
性质4 (加法公式)对任意两个事件A,B，有 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)； 对任意n个事件A1,A2,…,An，有
【例1-2】下面给出例1 1中试验的样本空间. (1)掷一颗骰子的样本空间为：Ω1={1,2,3,4,5,6}； (2)当地一昼夜的最高温度与最低温度的样本空间为 Ω2={(t1,t2)|－∞<t1<+∞,－∞<t2<+∞} 需要说明的是：某地区的温度总不会太低也不会太高， 但一般说来，很难定出一个上限或一个下限，为方便起 见，我们把±∞作为上下限； (3)单位时间内通过某十字路口的车辆数的样本空间为 Ω3={0,1,2,3,…}； (4)某高校某个月学生请假次数的样本空间为： Ω4={0,1,2,3,…}。
源自文库
1.1.3事件间的关系与运算
事件A与事件B同时发生的事件称为事件 3.事件的积（交） A与B的积(或交)，记为AB(或A∩B).AB 是由既属于A又属于B的公共样本点构成 的集合。
类似地，事件之间的积运算可以 推广到有限个和可列无穷多个事 件的情形.

1.1.3事件间的关系与运算
事件A发生而事件B不发生的事件称为事 件A与事件B的差，记为A－B 差事件A －B表示由属于A但不属于B的样本点所 构成。

需要注意的是，上述定义存在着明显的不足，首先，人们无法把 一个试验无限次的重复下去，因此要精确获得频率的稳定值是困 难的。其次，定义中对频率与概率关系的描述是定性的、非数学 化的，从而容易造成误解，如定义2中，当n→∞时，A的频率 fn(A)稳定于p，使人想到概率就是频率的极限( )，
频率fn(A)到底以什么方式趋于p，概率是否为频率的极限，这个 问题我们留在第5章解决。

在自然界及人类社会实践与科学实验中，所发生的现象 是多种多样的，若从其发生的可能性大小去考虑，大致 可分为两类：
1.ONE
一类是确定性现象，即在一定条件下，只有一个结果 (必然发生或必然不发生)的现象。
2.TWO
另一类是随机现象，即在一定条件下进行重复试验 时，每次所得结果未必相同，至于出现哪一个结果 是不能提前预知的，或者即使知道它过去的状态， 也不能预测其将来的发展状态，这样一类现象我们 称为随机现象。
定义三

1.2.2概率的公理化定义
性质
性质1(有限可加性)对有限个两两互不相容的事件 A1,A2,…,An，有 。
证明：只需对A1,A2,…,An，Φ，Φ，…应用可列可 加性，即可得结论。

1.2.2概率的公理化定义
性质
性质2

1.2.2概率的公理化定义
性质
性质3对任意两事件A,B，有P(A－B)=P(A)－ P(AB)。
1.事件的包含关系

1.1.3事件间的关系与运算
事件A与事件B至少有一个发生的事件称 为事件A与B的和(或并)，记为A+B(或 A∪B)A+B的含义是事件A与B所有样本 点构成的新事件。
(如图所示)类似地，事件 A1,A2,…,An中至少有一个发生的事 件称为这n个事件的和，记为
2.事件的和(并)
5.事件的互不相容 (互斥)

1.1.3事件间的关系与运算
“事件A不发生”这一事件称为A的对立 6.事件的对立(逆) 事件(逆事件)，记为 ， 是由所有不 属于A的样本点组成的集合。
注：互不相容事件与对立事件是两 个不同的概念，对立事件一定是互 不相容事件，互不相容事件不一定 是对立事件，对立在样本空间只有 两个事件时存在，互不相容还可在 样本空间有多个事件时存在。
性质
证明：只证第一部分，因为A∪B=A∪(B－AB) 且A∩(B－AB)=Φ， 所以P(A∪B)=P(A)+P(B－AB) ＝P(A)+P(B)－P(AB)(因为AB属于B)。


1.2.2概率的公理化定义
【例1-6】某地一年内发生k起交通事故的概率为 ，
其中λ>0是常数，求当地一年内至少发生一起交通事故的概率。 解：设Ak={该地一年内恰好发生k起交通事故}(k=0,1,2,…)， A={该地一年内至少发生一起交通事故}，显然

1.1.2随机事件与样本空间
对于任意一个试验，尽管在每次试验之前不 能预知其试验结果，但试验的所有可能结果 却是已知的，试验的所有可能结果组成的集 合称为该试验的样本空间，记为Ω ，
样本空间
样本点
样本空间中的元素，也就是试验的每个结 果，称为该试验的一个样本点，记为ω。


1.1.2随机事件与样本空间


1.2.1概率的统计定义
【例1-4】在相同的条件下，多次抛一枚均匀的硬币，设 事件A=“正面朝上”，观察n次试验中A 史上有不少数学家做过这一试验，有关数据见表。
从上表不难发现，事件A在n次试验中发生的频率fn(A)具有随机波动性，当 n较小时，波动的幅度较大，而当n较大时，波动的幅度较小，且随着n的逐 渐增大，fn(A)总在0.5附近徘徊，且逐渐稳定于固定值0.5。

1.1.2随机事件与样本空间
对于一个试验，在每次试验中必然发生的事 件，称为必然事件。
必然事件
不可能事件
在每次试验中都不可能发生的事件，称为不 可能事件。

1.1.3事件间的关系与运算
若事件A发生必然导致事件B发生，则称A 被包含在B中或称B包含A，记为 或 ， 从集合的角度看，B包含A， 就是A中的元素(样本点)全在B中。 例如，掷一颗骰子，事件A=“出 现4点”的发生必然导致事件 B=“出现偶数点”的发生，故 若 ，则称事件A与 B相等，记作A=B，两事件相等 就是指它们含有相同的样本点， 只是有时说法不同.



1.2.2概率的公理化定义
既然A的概率P(A)是事件A发生的可能性大小的度量，而 频率fn(A)又相当真实地反映了A发生的可能性大小，以 概率定义的本质特征就应该满足频率定义的性质。

1.2.2概率的公理化定义
设随机试验E的样本空间为Ω，对于E的每一个事件A 赋予一个实数P(A)，如果P(A)满足下列条件： (1)非负性公理.对任意事件A，有P(A)≥0。 (2)规范性公理.P(Ω)=1，P(Φ)=0。 (3)可列可加性公理.对于两两互不相容的事件 A1,A2,…,An,…(即Ai∩Aj=Φ，i≠j)，有 P∪∞i=1Ai=∑∞i=1P(Ai)，则称P(A)为事件A的概率。