基于排队论的眼科病床合理安排的数学模型_汪琴
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2010 年 1 月 第 1期
浙 江 教 育 学 院 学 报
J O U R N A LO FZ H E J I A N GE D U C A T I O NI N S T I T U T E
J a n u a r y 2010 N o . 1
基于排队论的眼科病床合理安排的数学模型
汪 琴 , 岑璐局 , 张渊娴 , 马新生
′ n n + c c ρ ) P 右边 ) n ′( 0 = c !c
′
W q =
L q , λ
W s =
L s . λ
为达到排队系统的最优化 , 我们认为考虑该问题的出发点有以下几点 : ① 最大限度地满足 病人的基本住院需求 , 平时尽可能使病床负荷率保持在一定水平 , 从而减小对急需住院治疗的 拒收率 ; ② 尽可能提高病床的利用率 , 以充分利用医院现有的资源 ; ③尽量减少一般病人住院
图 1 每天到达病人数直方图 图 2 病人住院时间直方图 3 模型的建立与求解 3. 1 评价指标体系模型及 “问题一 ”的求解 要评价医院现有的病床安排模型 — — —F C F S 的优劣 , 就需要我们确定合理的评价指标体 系. 兼顾等待住院病人队列的长度和医院资源的利用率这两个因素 , 我们定义病人满意度和 医院病床利用率两个评价指标 , 用以评价病床安排模型的优劣 . 定义 1 病人满意度 记 i 表示按时间先后顺序对病人的编号 , 每个病人从住院到第一次手术之间的间隔时间 为 t , i = 1, 2, …, 349, 它们的平均间隔时间为 t , 则每个病人的满意度为 i 1 y = 1, 2, … , 349. i = , i t i 平均满意度为
＊
( 浙江教育学院 理工学院 , 浙江 杭州 310012)
摘 要: 以排队论理论为基础 , 建立了医院眼科病人排队系统的数学模型 . 首 先 , 建立了对医院病床安排系统进行综合评价的指标体系 , 并对现有 F C F S 规则和改 进规则进行了评价 ; 然后 , 建立了区间估计模型 , 使得病人在门诊时就被告知大致入 住时间 . 最后 , 建立了多指标床位分配模型 , 得出了床位的最佳设置值 . 关键词 : 评价指标 ; 排队论 ; 区间估计 ; 床位分配 中图分类号 : O 226; O 212. 1 文献标识码 : A 文章编号 : 1671 6574( 2010) 01 0079 10 1 引 言 对医院病床进行合理安排 , 有效减少病人的排队等待时间 , 提高医疗资源的使用效率 , 具 有重要的理论和实际意义 . 文献 [ 1] 中提出了某医院眼科病床合理安排的评价和优化问题 . 该 眼科门诊每天开放 , 住院部共有病床 79 张 . 眼科手术主要分四大类 : 白内障 、视网膜疾病 、青 光眼和外伤 . 外伤疾病属于急症 , 住院后第二天便安排手术 , 其他病人采用 F C F S ( F i r s t c o m e , F i r s t s e r v e ) 规则安排住院 . 医院提供了 50 天 349 名已出院病人 、79 名住院病人及 102 名等待 住院病人情况的历史数据记录 . 问题一 , 建立合理的评价指标体系 , 用以评价病床安排模型的 优劣 . 问题二 , 试就该住院部当前的情况 , 建立合理的病床安排模型 , 并对该模型利用问题一 中的指标体系作出评价 . 问题三 , 根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况 , 在病人门诊 时即告知其大致入住时间区间 . 问题四 , 若该住院部周六 、周日不安排手术 , 医院的手术时间 安排是否应作出相应调整 ? 问题五 , 在一般情形下 , 医院病床安排可采取使各类病人占用病床 的比例大致固定的方案 , 就此方案建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间 ( 含等待入院 及住院时间 ) 最短的病床比例分配模型 . 该问题属于多通道随机服务问题 . 文献 [ 2, 3] 分别采用秩和比法和 T O P S I S 法讨论了医院 病床使用效率的评价方法 , 文献 [ 4] 讨论了一类简单的 M/M/1 医院排队系统的优化问题 . 这 些方法和已有的排队论理论
2 [ 6]
, 并利用 M a t l a b 软件计算得到 , 在显著性水平 α = 0. 05时 , 每天到达病
人数服从参数 λ= 8. 69的 P o i s s o n 分布 ( 此时 p = 0. 5586) , 病人住院时间不服从负指数分布 ( 此时 p = 0. 0000) , 直方图分别如图 1、 图 2所示 . 因此 , 本医院排队系统属于 M/G /C /∞/∞ 系统 .
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浙江教 育学院学报
2010 年
据进行详细统计分析的基础上 , 建立了眼科病床合理安排的数学模型 , 给出了以上问题的解决 方案 . 2 模型假设及数据的初步分析 综合理论和历史数据分析的需要 , 本文作如下假设 : ( 1) 病人数据源是无限的 ; ( 2) 不同病人的入院时间与住院时间均为独立同分布随机变量序列 , 且与病人的年龄 、 性 别等因素无关 ; ( 3) 考虑理想化的病人排队系统 , 忽略其他可能改变病人等待住院 、 手术及出院时间的因 素 , 也不考虑病人发生死亡或手术医疗事故等意外情况 ; ( 4) 由于医院条件的限制 , 白内障手术只能安排在每周一 、 周三做 . 排队论理论是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究 , 得出这些数量指标 ( 等待时 间、 排队长度 、 忙期长短等 ) 的统计规律 , 然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组 织被服务对象 , 使得服务系统既能满足服务对象的需要 , 又能使机构的费用最经济或某些指标 [ 5] 最优 . 在进行分析之前 , 必须首先识别每天到达病人数和病人住院时间的统计分布规律 . 为此 , 采用 P e a r s o nχ检验
第 1 期
汪 琴 , 岑璐局 , 张渊娴 , 马新生 : 基于排队论的眼科病床合理安排的数学模型
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1 y= . t 定义 2 医院病床利用率 记 n 表示对日期顺序的编号 , n= 1 , 2, … , 50. 每天的出院人数为 c n, 则每天医院病床的有 效利用率为 c n g = 1, 2, …, 50 , 其中 m= 79为眼科总的病床数 . n= , n m 病床的平均有效利用率为
系统的运行指标平均队长 、 平均等待时间和逗留时间分别为 λ L s =L q + . μ L n-c ) P q = ∑ ( n =
n= c + 1
( c ρ )ρ 2P 0. c !( 1 -ρ )
c( Leabharlann 为n= c + 1
n-c ) P ∑(
n
= ∑ nP ′ n + c =∑
′
′ n =1
′ n =1
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汪 琴 , 岑璐局 , 张渊娴 , 马新生 : 基于排队论的眼科病床合理安排的数学模型
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等待时间 , 缩短等待住院病人 t 队列的队长 . 显而易见 , 以上三项要求之间存在着矛盾 , 不能 只为了满足其中一项要求而牺牲另一项甚至两项要 求 , 因此 , 如何协调上述三项要求 , 寻求总体综合效 益优化便是本题的中心 . 由于白内障手术只在周一和周三做 , 且做双眼 是周一先做一只 , 周三再做一只 , 并且周一和周三只 安排白内障手术 , 其他眼科疾病 ( 除急症外 ) 都不安 排在周一 、周三 . 所以若根据 F C F S 规则安排住院 , 便会导致一些病人在住院后不能及时被安排手术 , 最多的病人住院后等待了 6 天才被安排手术 . 为此 我们对 F C F S 的病床安排模型进行改进 . 对在周一 、 周三至周六住院的白内障病人筛选 出来 , 把他们都安排在周二 、 周日住院 , 这样就能保 证白内障病人在住院后的第二天就能接受手术 , 提 高了医院病床的利用率 . 对在周一至周六住院白内 障( 双眼 ) 病人都安排在周日住院 . 不仅如此 , 我们 图 6 M/G /C /∞ /∞ 还根据青光眼和视网膜疾病的手术不安排在周一和周三进行 , 所以我们筛选出在周六和周一 住院的青光眼和视网膜疾病的病人 , 把他们的住院时间推迟一天 , 即周日和周二住院 , 这样便 保证了这些病人在医院里准备 2 天后都能够及时地进行手术 . 由于我们对一些病人的住院时 间进行了调整 , 使得医院有了更多的空床位 , 尤其是对白内障 ( 双眼 ) 病人住院的时间推迟得 比较久 , 部分病人推迟了 6 天左右 , 我们便筛选出在他们之后住院且住院时间小于 6 天的病 人 , 对他们的住院时间提前 , 这样做不仅缩短了病人的等待住院时间 , 使等待住院病人队列缩 短 , 还提高了医院资源的有效利用率 . 图 6是我们解决该问题的思路与方案 . 根据以上的分析 , 利用 M A T L A B 进行编程 , 在原有的 F C F S 病床安排模型的基础上进行修 改 , 设计病人住院安排如表 1 . 表 1 病人住院安排表
∑ P = 1, 且 ρ≤ 1.
i = 0 i
用递推法解上述差分方程 , 可求得状态概率 . P 0 =
∑
k= 0
c 1
1 k !
λ μ
n
k
1 1 + · · c ! 1 -ρ
λ μ
1 c -
,
P n =
1· n !
λ P , n ≤c , 0 μ λ P , n>c . 0 μ
n
1 · n c n !c
[ 5]
均无法直接解决以上问题 .
本文以排队论理论为指导 , 引入病人满意度和病床利用率两个评价指标 , 在对大量历史数
收稿日期 : 2009 -11 -10 作者简介 : 汪琴 ( 1988 ) , 女 , 浙江杭州人 , 浙江教育学院理工学院数学与应用数学专业 2007 级学生 ; 岑璐局 ( 1988 ) , 男 , 浙江宁波人 , 浙江教育学院理工学院应用化学专业 2007 级学生 ; 张渊娴 ( 1989 ) , 女 , 浙江嘉兴人 , 浙江教育学院理工 学 院数学与应用数学专业 2007级学生 . ＊通讯作者 : 马新生 ( 1966 ) , 男 , 江西宁都人 , 浙江教育学院理工学院教授 , 工学博士 .
50
g n ∑ n =1 . g= 50 利用历史数据 , 求得平均满意度 y =0. 55, 病床的平均有效利用率 g =0. 087553. 每个 病人的满意度和每张病床的使用率见图 3 和图 4 .
图 3 每个病人的满意度 图 4 每张病床的有效利用率 从病人的满意度看 , 由于采取了外伤病人优先安排住院原则 , 即外伤病人在门诊后的第二 天便可以住院 , 所以外伤病人的满意度达到最大值 , 都为 1 , 但是相比之下 , 其他病人的满意度 不恒定 , 这就导致了不同病人之间的满意度存在很大差距 , 使得满意度具有明显的波动性 . 这 说明该病床安排模型不能很好满足所有病人的要求 . 从病床的有效利用率看 , 病床的有效利用率不高 , 且每天的起伏很大 , 不能做到每天都使 病床得到最充分的利用 , 从而说明该病床安排模型不是非常合理 . 因此 , 当前该医院住院部对全体非急症病人运用的 F C F S 先到先服务的规则安排住院 , 虽 然操作简单 , 也满足了急症病人的需求 , 但效率不高 , 没有考虑等待住院病人队列的长度 , 即病 人的等候时间 , 也没有使医院的资源 , 即住院部所提供的病床得以充分的利用 . 综上所述 , 采用 F C F S 规则不适合解决安排住院的问题 . 3. 2 M/G /C / / 排队系统模型及 “ ≤ 问题二 ”的求解 由于病人每个病人住院必需排队等待 , 故本系统具有多个通道 , 且每队队长没有限制 . 又 医院眼科共有病床 79 张 , 故具有多个服务台 , 且各服务台工作是相互独立的 , 平均服务率相 同 ,即 μ μ … = μ μ , 其中 c = 79. 因此 , 本问题的排队属于 M/G /C / / 系统 . 整个服务 1 = 2 = c= λ λ 机构的平均服务率为 c μ , 其中 c = 79 , 令 ρ = , 只有当 < 1 时才不会排成无限的队列 , 称 ρ 为 c μ c μ
得到五种病人的床位分配是l71892312平均逗留时问为l3排队论模型的应用非常广泛因而适用于现实中的一切服务系统故本文给出的模型可以推广到其他的服务系统中例如通信系统交通系统计算机存贮系统生产管理系本文是在2009年全国大学生数学建模竞赛参赛文章获全国二等奖的基础上通过参考命题者提供的解答要点进行修改整理而得
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浙江教 育学院学报
2010 年
这个系统的服务强度或称服务机构的平均利用率 ( 见图 5) .
图 5 系统的服务强度 在分析这排队系统时 , 仍从状态间的转移关系开始 , 如状态 1 转移到状态 0, 即系统中有 一名病人被服务完了 ( 出院 ) 的转移率为 μ P 状态 2 转移到状态 1时 , 即在两个服务台上被服 1; 务的病人中有一个被服 务完成而出院 , 因为不 限是哪一个服务台 , 所 以这时的转移率便是 2μ P 同理 , 再考虑状态 n 转移到 n 1 的情况 . 当 n ≤c 时 , 状态转移率为 n μ P > c 时 ,因 2. n, 当 n 为只有 c 个服务台 , 最多有 c 个病人在被服务 , n c 个病人在等候 , 因此这时的状态转移率应 为 c μ P . n 故我们可以得到 μ P λ P 1 = 0, ( n + 1) μ P λ P ( λ+ n μ ) P 1≤n ≤c ) , n+ 1 + n-1 = n, ( c μ P λ P ( λ+ c μ ) P n > c ) , n+1 + n -1 = n, ( 这里
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J O U R N A LO FZ H E J I A N GE D U C A T I O NI N S T I T U T E
J a n u a r y 2010 N o . 1
基于排队论的眼科病床合理安排的数学模型
汪 琴 , 岑璐局 , 张渊娴 , 马新生
′ n n + c c ρ ) P 右边 ) n ′( 0 = c !c
′
W q =
L q , λ
W s =
L s . λ
为达到排队系统的最优化 , 我们认为考虑该问题的出发点有以下几点 : ① 最大限度地满足 病人的基本住院需求 , 平时尽可能使病床负荷率保持在一定水平 , 从而减小对急需住院治疗的 拒收率 ; ② 尽可能提高病床的利用率 , 以充分利用医院现有的资源 ; ③尽量减少一般病人住院
图 1 每天到达病人数直方图 图 2 病人住院时间直方图 3 模型的建立与求解 3. 1 评价指标体系模型及 “问题一 ”的求解 要评价医院现有的病床安排模型 — — —F C F S 的优劣 , 就需要我们确定合理的评价指标体 系. 兼顾等待住院病人队列的长度和医院资源的利用率这两个因素 , 我们定义病人满意度和 医院病床利用率两个评价指标 , 用以评价病床安排模型的优劣 . 定义 1 病人满意度 记 i 表示按时间先后顺序对病人的编号 , 每个病人从住院到第一次手术之间的间隔时间 为 t , i = 1, 2, …, 349, 它们的平均间隔时间为 t , 则每个病人的满意度为 i 1 y = 1, 2, … , 349. i = , i t i 平均满意度为
＊
( 浙江教育学院 理工学院 , 浙江 杭州 310012)
摘 要: 以排队论理论为基础 , 建立了医院眼科病人排队系统的数学模型 . 首 先 , 建立了对医院病床安排系统进行综合评价的指标体系 , 并对现有 F C F S 规则和改 进规则进行了评价 ; 然后 , 建立了区间估计模型 , 使得病人在门诊时就被告知大致入 住时间 . 最后 , 建立了多指标床位分配模型 , 得出了床位的最佳设置值 . 关键词 : 评价指标 ; 排队论 ; 区间估计 ; 床位分配 中图分类号 : O 226; O 212. 1 文献标识码 : A 文章编号 : 1671 6574( 2010) 01 0079 10 1 引 言 对医院病床进行合理安排 , 有效减少病人的排队等待时间 , 提高医疗资源的使用效率 , 具 有重要的理论和实际意义 . 文献 [ 1] 中提出了某医院眼科病床合理安排的评价和优化问题 . 该 眼科门诊每天开放 , 住院部共有病床 79 张 . 眼科手术主要分四大类 : 白内障 、视网膜疾病 、青 光眼和外伤 . 外伤疾病属于急症 , 住院后第二天便安排手术 , 其他病人采用 F C F S ( F i r s t c o m e , F i r s t s e r v e ) 规则安排住院 . 医院提供了 50 天 349 名已出院病人 、79 名住院病人及 102 名等待 住院病人情况的历史数据记录 . 问题一 , 建立合理的评价指标体系 , 用以评价病床安排模型的 优劣 . 问题二 , 试就该住院部当前的情况 , 建立合理的病床安排模型 , 并对该模型利用问题一 中的指标体系作出评价 . 问题三 , 根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况 , 在病人门诊 时即告知其大致入住时间区间 . 问题四 , 若该住院部周六 、周日不安排手术 , 医院的手术时间 安排是否应作出相应调整 ? 问题五 , 在一般情形下 , 医院病床安排可采取使各类病人占用病床 的比例大致固定的方案 , 就此方案建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间 ( 含等待入院 及住院时间 ) 最短的病床比例分配模型 . 该问题属于多通道随机服务问题 . 文献 [ 2, 3] 分别采用秩和比法和 T O P S I S 法讨论了医院 病床使用效率的评价方法 , 文献 [ 4] 讨论了一类简单的 M/M/1 医院排队系统的优化问题 . 这 些方法和已有的排队论理论
2 [ 6]
, 并利用 M a t l a b 软件计算得到 , 在显著性水平 α = 0. 05时 , 每天到达病
人数服从参数 λ= 8. 69的 P o i s s o n 分布 ( 此时 p = 0. 5586) , 病人住院时间不服从负指数分布 ( 此时 p = 0. 0000) , 直方图分别如图 1、 图 2所示 . 因此 , 本医院排队系统属于 M/G /C /∞/∞ 系统 .
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据进行详细统计分析的基础上 , 建立了眼科病床合理安排的数学模型 , 给出了以上问题的解决 方案 . 2 模型假设及数据的初步分析 综合理论和历史数据分析的需要 , 本文作如下假设 : ( 1) 病人数据源是无限的 ; ( 2) 不同病人的入院时间与住院时间均为独立同分布随机变量序列 , 且与病人的年龄 、 性 别等因素无关 ; ( 3) 考虑理想化的病人排队系统 , 忽略其他可能改变病人等待住院 、 手术及出院时间的因 素 , 也不考虑病人发生死亡或手术医疗事故等意外情况 ; ( 4) 由于医院条件的限制 , 白内障手术只能安排在每周一 、 周三做 . 排队论理论是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究 , 得出这些数量指标 ( 等待时 间、 排队长度 、 忙期长短等 ) 的统计规律 , 然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组 织被服务对象 , 使得服务系统既能满足服务对象的需要 , 又能使机构的费用最经济或某些指标 [ 5] 最优 . 在进行分析之前 , 必须首先识别每天到达病人数和病人住院时间的统计分布规律 . 为此 , 采用 P e a r s o nχ检验
第 1 期
汪 琴 , 岑璐局 , 张渊娴 , 马新生 : 基于排队论的眼科病床合理安排的数学模型
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1 y= . t 定义 2 医院病床利用率 记 n 表示对日期顺序的编号 , n= 1 , 2, … , 50. 每天的出院人数为 c n, 则每天医院病床的有 效利用率为 c n g = 1, 2, …, 50 , 其中 m= 79为眼科总的病床数 . n= , n m 病床的平均有效利用率为
系统的运行指标平均队长 、 平均等待时间和逗留时间分别为 λ L s =L q + . μ L n-c ) P q = ∑ ( n =
n= c + 1
( c ρ )ρ 2P 0. c !( 1 -ρ )
c( Leabharlann 为n= c + 1
n-c ) P ∑(
n
= ∑ nP ′ n + c =∑
′
′ n =1
′ n =1
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等待时间 , 缩短等待住院病人 t 队列的队长 . 显而易见 , 以上三项要求之间存在着矛盾 , 不能 只为了满足其中一项要求而牺牲另一项甚至两项要 求 , 因此 , 如何协调上述三项要求 , 寻求总体综合效 益优化便是本题的中心 . 由于白内障手术只在周一和周三做 , 且做双眼 是周一先做一只 , 周三再做一只 , 并且周一和周三只 安排白内障手术 , 其他眼科疾病 ( 除急症外 ) 都不安 排在周一 、周三 . 所以若根据 F C F S 规则安排住院 , 便会导致一些病人在住院后不能及时被安排手术 , 最多的病人住院后等待了 6 天才被安排手术 . 为此 我们对 F C F S 的病床安排模型进行改进 . 对在周一 、 周三至周六住院的白内障病人筛选 出来 , 把他们都安排在周二 、 周日住院 , 这样就能保 证白内障病人在住院后的第二天就能接受手术 , 提 高了医院病床的利用率 . 对在周一至周六住院白内 障( 双眼 ) 病人都安排在周日住院 . 不仅如此 , 我们 图 6 M/G /C /∞ /∞ 还根据青光眼和视网膜疾病的手术不安排在周一和周三进行 , 所以我们筛选出在周六和周一 住院的青光眼和视网膜疾病的病人 , 把他们的住院时间推迟一天 , 即周日和周二住院 , 这样便 保证了这些病人在医院里准备 2 天后都能够及时地进行手术 . 由于我们对一些病人的住院时 间进行了调整 , 使得医院有了更多的空床位 , 尤其是对白内障 ( 双眼 ) 病人住院的时间推迟得 比较久 , 部分病人推迟了 6 天左右 , 我们便筛选出在他们之后住院且住院时间小于 6 天的病 人 , 对他们的住院时间提前 , 这样做不仅缩短了病人的等待住院时间 , 使等待住院病人队列缩 短 , 还提高了医院资源的有效利用率 . 图 6是我们解决该问题的思路与方案 . 根据以上的分析 , 利用 M A T L A B 进行编程 , 在原有的 F C F S 病床安排模型的基础上进行修 改 , 设计病人住院安排如表 1 . 表 1 病人住院安排表
∑ P = 1, 且 ρ≤ 1.
i = 0 i
用递推法解上述差分方程 , 可求得状态概率 . P 0 =
∑
k= 0
c 1
1 k !
λ μ
n
k
1 1 + · · c ! 1 -ρ
λ μ
1 c -
,
P n =
1· n !
λ P , n ≤c , 0 μ λ P , n>c . 0 μ
n
1 · n c n !c
[ 5]
均无法直接解决以上问题 .
本文以排队论理论为指导 , 引入病人满意度和病床利用率两个评价指标 , 在对大量历史数
收稿日期 : 2009 -11 -10 作者简介 : 汪琴 ( 1988 ) , 女 , 浙江杭州人 , 浙江教育学院理工学院数学与应用数学专业 2007 级学生 ; 岑璐局 ( 1988 ) , 男 , 浙江宁波人 , 浙江教育学院理工学院应用化学专业 2007 级学生 ; 张渊娴 ( 1989 ) , 女 , 浙江嘉兴人 , 浙江教育学院理工 学 院数学与应用数学专业 2007级学生 . ＊通讯作者 : 马新生 ( 1966 ) , 男 , 江西宁都人 , 浙江教育学院理工学院教授 , 工学博士 .
50
g n ∑ n =1 . g= 50 利用历史数据 , 求得平均满意度 y =0. 55, 病床的平均有效利用率 g =0. 087553. 每个 病人的满意度和每张病床的使用率见图 3 和图 4 .
图 3 每个病人的满意度 图 4 每张病床的有效利用率 从病人的满意度看 , 由于采取了外伤病人优先安排住院原则 , 即外伤病人在门诊后的第二 天便可以住院 , 所以外伤病人的满意度达到最大值 , 都为 1 , 但是相比之下 , 其他病人的满意度 不恒定 , 这就导致了不同病人之间的满意度存在很大差距 , 使得满意度具有明显的波动性 . 这 说明该病床安排模型不能很好满足所有病人的要求 . 从病床的有效利用率看 , 病床的有效利用率不高 , 且每天的起伏很大 , 不能做到每天都使 病床得到最充分的利用 , 从而说明该病床安排模型不是非常合理 . 因此 , 当前该医院住院部对全体非急症病人运用的 F C F S 先到先服务的规则安排住院 , 虽 然操作简单 , 也满足了急症病人的需求 , 但效率不高 , 没有考虑等待住院病人队列的长度 , 即病 人的等候时间 , 也没有使医院的资源 , 即住院部所提供的病床得以充分的利用 . 综上所述 , 采用 F C F S 规则不适合解决安排住院的问题 . 3. 2 M/G /C / / 排队系统模型及 “ ≤ 问题二 ”的求解 由于病人每个病人住院必需排队等待 , 故本系统具有多个通道 , 且每队队长没有限制 . 又 医院眼科共有病床 79 张 , 故具有多个服务台 , 且各服务台工作是相互独立的 , 平均服务率相 同 ,即 μ μ … = μ μ , 其中 c = 79. 因此 , 本问题的排队属于 M/G /C / / 系统 . 整个服务 1 = 2 = c= λ λ 机构的平均服务率为 c μ , 其中 c = 79 , 令 ρ = , 只有当 < 1 时才不会排成无限的队列 , 称 ρ 为 c μ c μ
得到五种病人的床位分配是l71892312平均逗留时问为l3排队论模型的应用非常广泛因而适用于现实中的一切服务系统故本文给出的模型可以推广到其他的服务系统中例如通信系统交通系统计算机存贮系统生产管理系本文是在2009年全国大学生数学建模竞赛参赛文章获全国二等奖的基础上通过参考命题者提供的解答要点进行修改整理而得
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这个系统的服务强度或称服务机构的平均利用率 ( 见图 5) .
图 5 系统的服务强度 在分析这排队系统时 , 仍从状态间的转移关系开始 , 如状态 1 转移到状态 0, 即系统中有 一名病人被服务完了 ( 出院 ) 的转移率为 μ P 状态 2 转移到状态 1时 , 即在两个服务台上被服 1; 务的病人中有一个被服 务完成而出院 , 因为不 限是哪一个服务台 , 所 以这时的转移率便是 2μ P 同理 , 再考虑状态 n 转移到 n 1 的情况 . 当 n ≤c 时 , 状态转移率为 n μ P > c 时 ,因 2. n, 当 n 为只有 c 个服务台 , 最多有 c 个病人在被服务 , n c 个病人在等候 , 因此这时的状态转移率应 为 c μ P . n 故我们可以得到 μ P λ P 1 = 0, ( n + 1) μ P λ P ( λ+ n μ ) P 1≤n ≤c ) , n+ 1 + n-1 = n, ( c μ P λ P ( λ+ c μ ) P n > c ) , n+1 + n -1 = n, ( 这里