全国初中数学联赛四川初赛试题

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初赛试题
（3月23日下午2：30—4：30或3月24日上午9：00—11：00）
一、选择题(本大题满分42分,每小题7分) 1.若a,b 为实数,满足
a a -+11=b
b
+-11,则(1+a+b)(1－a －b)的值是( ). (A)－1 (B)0 (C)1 (D)2
2.设p 是正奇数,则p 2除以8的余数等于( ). (A)1 (B)3 (C)5 (D)7
3.已知△ABC 中,AB=AC=43,高AD=4,则△ABC 的外接圆半径是( ). (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
4.设a,b 是整数,方程x 2＋ax ＋b=0的一根是324-,则a+b 的值是( ). (A)－1 (B)0 (C)1 (D)2
5.工地上有甲、乙二块铁板，铁板甲形状为等腰三角形，其顶角为450
，腰长为12cm ；铁板乙形状为直角梯形，两底边长分别为4cm 、10cm,且有一内角为600.现在我们把它们任意翻转,分别试图从一个直径为8.5cm 的圆洞中穿过,结果是( ). (A)甲板能穿过,乙板不能穿过 (B) 甲板不能穿过,乙板能穿过 (C)甲、乙两板都能穿过 (D)甲、乙两板都不能穿过
6.设抛物线y=x 2＋kx ＋4与x 轴有两个不同的交点(x 1,0),(x 2,0),则下列结论中,一定成立的是( ).
(A)x 12＋x 22=17 (B) x 12＋x 22=8 (C) x 12＋x 22﹤17 (D) x 12＋x 22﹥8 二、填空题(本大题满分28分,每小题7分)
1.已知不等式ax+3≧0的正整数解为1,2,3,则a 的取值范围是.
2.如图,在直角梯形ABCD 中,AB=BC=4,M 为腰BC 上一点,且△ADM 为等边三角形,则S △CDM ：S △ABM =.
M
D
C
B
A
3.有一种产品的质量要求从低到高分为1，2，3，4共四种不同的档次.若工时不变,车间每天可生产最低档次(即第一档次)的产品40件,生产每件产品的利润为16元;如果每提高一个档次,每件产品利润可增加1元,但每天少生产2件产品.现在车间计划只生产一种档次的产品.要使利润最大,车间应生产第种档次的产品.
4.方程2x2＋5xy＋2y2=2007的所有不同的整数解共有组.
三、(本大题满分20分)
已知一次函数y=ax+b的图象经过点A(3,3+2),B(－1,3),C(c,2－c).求a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值.
四、(本大题满分25分)
如图,在⊙O中,弦CD垂直于直径AB.M是OC的中点,AM的延长线交⊙O于E,DE交BC 于N.求证:BN=CN.
B
五、(本大题满分25分)
一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行.裁判先在黑板上写出下面的正整数2、3、4、…、2006，然后随意擦去一个数.接下来由乙、甲两人轮流擦去其中的一个数（即乙先擦去其中的一个数，然后甲再擦去一个数，如此轮流下去），若最后剩下的两个数互质，则判甲胜；否则，判乙胜。

按照这种游戏规则，求甲获胜的概率。

（用具体的数字作答）
20XX 年全国初中数学联赛四川初赛试题
参考答案及评分细则
一、选择题(本大题满分42分,每小题7分，共42分)
1、C
2、A
3、D
4、B
5、A
6、D 二、填空题(本大题满分28分,每小题7分，共28分)
1、－1≦a ﹤－
4
3
2、2
3、3
4、4 三、 (本大题满分20分)
已知一次函数y=ax+b 的图象经过点A(3,3+2),B(－1,3),C(c,2－c).求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值.
解：由条件知，3+2=3a+b,且3=-a+b,解得a=3-1,b=23-1. (5分) 于是2-c=ac+b=(3-1)c+(23-1),解得c=3-2 (10分) 因此，a-b=-3,b-c=3+1,c-a=-1. ∴a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca =21
〔(a-b)2+(b-c)2+(-a)2〕 =
2
1〔(-3)2
+(
3+1)2+(-1)2
〕
=4+3 . (20分) 四、(本大题满分25分)
如图,在⊙O 中,弦CD 垂直于直径AB.M 是OC 的中点,AM 的延长线交⊙O 于E,DE 交BC 于N.求证:BN=CN.
证明:连结AC 和BD. ∵弦CD 垂直于直径AB,
∴BC=BD. (5分) ∴∠BCD=∠BDC. ∵OA=OC, ∴∠OCA=∠OAC. ∵∠BDC=∠OAC, ∴∠BCD=∠OCA. ∴△BCD ∽△OCA. ∴
CO CB =CA
CD
(15分) 在△CDN 和△CAM 中, ∵∠DCN=∠ACM, ∠CDN=∠CAM,
∴△CDN ∽△CAM. (20分)
∵
CM CN =CA CD =CO CB =CM CB
2, ∴CN=2
1
CB,即BN=CN. (25分)
五、(本大题满分25分)
一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行.裁判先在黑板上写出下面的正整数2、3、4、…、2006，然后随意擦去一个数.接下来由乙、甲两人轮流擦去其中的一个数（即乙先擦去其中的一个数，然后甲再擦去一个数，如此轮流下去），若最后剩下的两个数互质，则判甲胜；否则，判乙胜。

按照这种游戏规则，求甲获胜的概率。

（用具体的数字作答）
解:由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是看裁判擦去哪个数。

注意到2，3，4，…，2006中有1002个奇数，有1003个偶数；
（1）若裁判擦去的是奇数，此时乙一定获胜。

乙不管甲取什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后两个数一定都是偶数，从而所剩两数不互质，故乙胜； （10分）
（2）若裁判擦去的数是偶数，此时甲一定获胜。

设裁判擦去的数是2m ，则将所剩的数配成1002对：（2，3），…，（2m-2,2m-1）,(2m+1,2m+2), …，(2005,2006).
这样，不管乙取哪一个数，甲就去所配数对中的另一个数，这样最后剩下的两数必然互质，故甲胜。

（20分）
所以，甲获胜的概率为2005
1003。

（25分）
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