2019-2020数学同步导学练全国通用人教A版选修2-3课件:第一章 计数原理1.3.1 .pdf
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(3)可设 Sn=C���1��� +3C���2��� +9C���3��� +…+3n-1C������������ ,
于是 3Sn=3C���1��� +32C���2��� +33C���3��� +…+3nC������������ = C���0��� +3C���1��� +32C���2��� +33C���3��� +…+3nC������������ -1,
方法二: 2
������ +
1 ������
4
=
2������+1 ������
4
= ���1���2(2x+1)4
=���1���2 ·[C40(2x)4·10+C41 ·(2x)3·11+C42 ·(2x)2·12+C43(2x)·13+C44 ·(2x)0·14]
=���1���2(16x4+32x3+24x2+8x+1)
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D典例透析 IANLI TOUXI
2.如何用组合的知识理解二项式定理 剖析由于(a+b)n=(������ + ������)(������ + ������)…(������ + ������),将(a+b)看作是含有
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题型一 题型二 题型三 题型四
反思1.求二项展开式的特定项常见题型及处理措施: (1)求第 k 项.Tk=C������������-1an-k+1bk-1. (2)求常数项.对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项). (3)求有理项.对于有理数,一般是根据通项公式所得到的项,其所 有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式 中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除 性来求解. (4)求整式项.求二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母 的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致. 提醒:在实际求解时,若通项中含有根式,宜把根式化为分数指数 幂,以减少计算中的错误. 2.常见问题:求常数项(未知量的指数为零),求有理项(项的指数为 整数),求某一项.注意某项的系数与某项的二项式系数的区别.
2.逆用二项式定理要注意二项展开式的结构特点,a的指数是从 高到低,b的指数是从低到高,a,b的指数和都相等,如果项的系数是 正负相间,那么是(a-b)n的形式.
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������ +
1 ������
4
=
C40(2
������)4
1 ������
0
+ C41(2
������)3·
1 ������
+ C42 ·(2
������)2·
1 ������
2 + C43(2
������)·
1 ������
3
+ C44 ·(2
������)0·
1 ������
4=16x2+32x+24+8������ + ���1���2.
解:(1)方法一:
2������-
3 2������2
5
=
C50(2x)5+C51(2x)4·
-
3 2������2
+
C52(2x)3
-
3 2������2
2
+ C53(2x)2
-
3 2������2
3
+
C54(2x)·
-
3 2������2
4
+
C55
-
3 2������2
5=32x5-120x2+18������0
分析(1)可直接用二项式定理展开或先对括号内式子化简再展开.
(2)分析式子的结构形式,逆用二项式定理求解.
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题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)方法一:直接利用二项式定理展开并化简: 2
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练 1】
(1)求
2������-
3 2������2
5
的展开式;
(2)化简:C���0��� (x+1)n-C���1��� (x+1)n-1+…+(-1)rC������������ (x+1)n-r+…+(-1)nC������������;
(3)化简:C���1��� +3C���2��� +9C���3��� +…+3n-1C������������ .
a(2b)5+C66(2b)6=a6+12a5b+60a4b2+160a3b3+240a2b4+192ab5+64b6.
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2.二项展开式的通项
(a+b)n 的二项展开式中的第 k+1 项C������������ an-kbk 叫做二项展开式的通 项,用 Tk+1 表示,即 Tk+1=C������������ an-kbk (其中 0≤k≤n,k∈N,n∈N*).
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1.二项式定理 二项展开式:(a+b)n=C���0��� ������������ + C���1��� ������������ − 1������ + ⋯ + C������������ ������������ − ������������������ + ⋯ + C������������ ������������(n∈N*)叫做二项式定理,其中各项的系数C������������ (k∈ {0,1,2,…,n})叫做二项式系数.
−
135 ������4
+
405 8������7
−
3224������310.
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(2)C���0��� (x+1)n-C���1��� (x+1)n-1+…+(-1)rC������������ ·(x+1)n-r+…+(-1)nC������������=[(x+1 )-1]n=xn.
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解:(1)由通项公式知,展开式中第 k+1 项为 Tk+1=C������������ ·(3 x)n-k·
-
2
1
3
������
������
=
C������������
1
·(������3)n-k·
-
1 2
·������ -13
=16x2+32x+24+8������ + ���1���2.
(2)原式
=C50(x-1)5+C51(x-1)4+C52(x-1)3+C53(x-1)2+C54(x-1)+C55-1=[(x-1)+1]5-1= x5-1.
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令103-2������=z,则 k=5-32z,∴z 为偶数,从而求得当 z=2,0,-2 时,k=2,5,8
符合条件.
∴有理项为 T3=C120 ·
-
1 2
2x2=445x2,
T6=C150
-
1 2
5=-683,
T9=C180
-
1 2
8 x-2=24556x-2.
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������ 个
红球(a)、白球(b)的盒子,则(a+b)n 的展开式的每一项可以理解为从 n 个盒子中的每个盒子里取出一个球的可能结果,而其前面的系数则 是这种结果的方法数,如 an-rbr 是从这 n 个盒子中取出 r 个白球(b)、 (n-r)个红球(a)的情况,其方法数为������nr,因此有 (a+b)n=������n0 an+������n1 an-1b+…+������nr an-rbr+…+������nn bn(n∈N*).
3
x-
1 23
������
������
的展开式中,第 6 项为常数项.
(1)求n;
(2)求含x2的项的系数;
(3)求展开式中所有的有理项.
分析利用展开式的通项公式,求出当x的次数为0时n的值,再求解
第(2)问、百度文库(3)问.
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故 x2 的系数为
-
1 2
2
·C120
=
1 4
×45=445.
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(3)当 Tk+1 为有理项时,103-2������为整数,0≤k≤10,且 k∈N.
−
135 ������4
+
405 8������7
−
3224������310.
方法二:
2������-
3 2������2
5
=
(4������3-3)5 32������10
=
321������10(1
024x15-3
840x12+5
760x9-4
320x6+1
620x3-243)=32x5-120x2+18������0
名师点拨1.利用二项展开式的通项可以求出展开式中任意指定 的项(或系数).如常数项、有理项等.
2.(a+b)n与(b+a)n的值相同,但展开式的第k项却不一定相同.
【做一做2】 (x-y)8的二项展开式中,第4项的系数
为
.(用数字回答)
解析:由已知 T4=C83x5(-y)3=-56x5y3,则第 4 项系数为-56. 答案:-56
1.3 二项式定理
-1-
1.3.1 二项式定理
-2-
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1.理解二项式定理及二项展开式的特征,掌握二项展开式的通项. 2.正确运用二项展开式展开或化简某些二项式,运用通项求某些 特定项、二项式系数或项的系数. 3.二项式定理的逆用是对二项式定理考查的一个重点,对应二项 式的结构特征,要寻找每一项的规律与联系,学习中应注意次数的 变化及系数与组合数的联系.
则 Sn=(1+33)������-1 = 4���3���-1.
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题型二 利用通项求二项展开式中的特定项
【例 2】
已知在
������
=
-
1 2
������
������-2������
·C������������ ������ 3 .
∵第 6 项为常数项,
∴k=5,且 n-5×2=0,∴n=10.
(2)由(1)知 Tk+1=
-
1 2
������
·C1������0
10-2������
·������ 3 .
令103-2������=2,则 k=2.
归纳总结二项式(a+b)n的展开式有(n+1)项,是和的形式,各项的 幂指数的规律是:
(1)各项的次数都等于二项式的幂指数n. (2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按 升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.
【做一做1】 写出(a+2b)6的展开式. 解:(a+2b)6=C60a6+C61a5(2b)+C62a4(2b)2+C63a3(2b)3+C64a2(2b)4+C65
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反思1.形式简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开,对 于形式较复杂的二项式,在展开之前可以根据二项式的结构特点进 行必要的变形,然后再展开,以使运算得到简化.记准、记熟二项式 (a+b)n的展开式是正确解答与二项式定理有关的问题的前提.
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题型一 二项式定理的正用与逆用
【例 1】
(1)求
2
������ +
1 ������
4
的展开式;
(2)化简(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).
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1.如何正确区分二项展开式中某一项的系数与二项式系数 剖析两者是不同的概念. C������������(r=0,1,2,…,n)叫做二项式系数,而某 一项的系数是指此项中除字母外的部分.如(1+2x)7 的二项展开式的 第 4 项的二项式系数为C73=35,而其第 4 项的系数为C73 ·23=280.
于是 3Sn=3C���1��� +32C���2��� +33C���3��� +…+3nC������������ = C���0��� +3C���1��� +32C���2��� +33C���3��� +…+3nC������������ -1,
方法二: 2
������ +
1 ������
4
=
2������+1 ������
4
= ���1���2(2x+1)4
=���1���2 ·[C40(2x)4·10+C41 ·(2x)3·11+C42 ·(2x)2·12+C43(2x)·13+C44 ·(2x)0·14]
=���1���2(16x4+32x3+24x2+8x+1)
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2.如何用组合的知识理解二项式定理 剖析由于(a+b)n=(������ + ������)(������ + ������)…(������ + ������),将(a+b)看作是含有
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题型一 题型二 题型三 题型四
反思1.求二项展开式的特定项常见题型及处理措施: (1)求第 k 项.Tk=C������������-1an-k+1bk-1. (2)求常数项.对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项). (3)求有理项.对于有理数,一般是根据通项公式所得到的项,其所 有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式 中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除 性来求解. (4)求整式项.求二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母 的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致. 提醒:在实际求解时,若通项中含有根式,宜把根式化为分数指数 幂,以减少计算中的错误. 2.常见问题:求常数项(未知量的指数为零),求有理项(项的指数为 整数),求某一项.注意某项的系数与某项的二项式系数的区别.
2.逆用二项式定理要注意二项展开式的结构特点,a的指数是从 高到低,b的指数是从低到高,a,b的指数和都相等,如果项的系数是 正负相间,那么是(a-b)n的形式.
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������ +
1 ������
4
=
C40(2
������)4
1 ������
0
+ C41(2
������)3·
1 ������
+ C42 ·(2
������)2·
1 ������
2 + C43(2
������)·
1 ������
3
+ C44 ·(2
������)0·
1 ������
4=16x2+32x+24+8������ + ���1���2.
解:(1)方法一:
2������-
3 2������2
5
=
C50(2x)5+C51(2x)4·
-
3 2������2
+
C52(2x)3
-
3 2������2
2
+ C53(2x)2
-
3 2������2
3
+
C54(2x)·
-
3 2������2
4
+
C55
-
3 2������2
5=32x5-120x2+18������0
分析(1)可直接用二项式定理展开或先对括号内式子化简再展开.
(2)分析式子的结构形式,逆用二项式定理求解.
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解:(1)方法一:直接利用二项式定理展开并化简: 2
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练 1】
(1)求
2������-
3 2������2
5
的展开式;
(2)化简:C���0��� (x+1)n-C���1��� (x+1)n-1+…+(-1)rC������������ (x+1)n-r+…+(-1)nC������������;
(3)化简:C���1��� +3C���2��� +9C���3��� +…+3n-1C������������ .
a(2b)5+C66(2b)6=a6+12a5b+60a4b2+160a3b3+240a2b4+192ab5+64b6.
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2.二项展开式的通项
(a+b)n 的二项展开式中的第 k+1 项C������������ an-kbk 叫做二项展开式的通 项,用 Tk+1 表示,即 Tk+1=C������������ an-kbk (其中 0≤k≤n,k∈N,n∈N*).
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1.二项式定理 二项展开式:(a+b)n=C���0��� ������������ + C���1��� ������������ − 1������ + ⋯ + C������������ ������������ − ������������������ + ⋯ + C������������ ������������(n∈N*)叫做二项式定理,其中各项的系数C������������ (k∈ {0,1,2,…,n})叫做二项式系数.
−
135 ������4
+
405 8������7
−
3224������310.
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(2)C���0��� (x+1)n-C���1��� (x+1)n-1+…+(-1)rC������������ ·(x+1)n-r+…+(-1)nC������������=[(x+1 )-1]n=xn.
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解:(1)由通项公式知,展开式中第 k+1 项为 Tk+1=C������������ ·(3 x)n-k·
-
2
1
3
������
������
=
C������������
1
·(������3)n-k·
-
1 2
·������ -13
=16x2+32x+24+8������ + ���1���2.
(2)原式
=C50(x-1)5+C51(x-1)4+C52(x-1)3+C53(x-1)2+C54(x-1)+C55-1=[(x-1)+1]5-1= x5-1.
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令103-2������=z,则 k=5-32z,∴z 为偶数,从而求得当 z=2,0,-2 时,k=2,5,8
符合条件.
∴有理项为 T3=C120 ·
-
1 2
2x2=445x2,
T6=C150
-
1 2
5=-683,
T9=C180
-
1 2
8 x-2=24556x-2.
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������ 个
红球(a)、白球(b)的盒子,则(a+b)n 的展开式的每一项可以理解为从 n 个盒子中的每个盒子里取出一个球的可能结果,而其前面的系数则 是这种结果的方法数,如 an-rbr 是从这 n 个盒子中取出 r 个白球(b)、 (n-r)个红球(a)的情况,其方法数为������nr,因此有 (a+b)n=������n0 an+������n1 an-1b+…+������nr an-rbr+…+������nn bn(n∈N*).
3
x-
1 23
������
������
的展开式中,第 6 项为常数项.
(1)求n;
(2)求含x2的项的系数;
(3)求展开式中所有的有理项.
分析利用展开式的通项公式,求出当x的次数为0时n的值,再求解
第(2)问、百度文库(3)问.
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故 x2 的系数为
-
1 2
2
·C120
=
1 4
×45=445.
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(3)当 Tk+1 为有理项时,103-2������为整数,0≤k≤10,且 k∈N.
−
135 ������4
+
405 8������7
−
3224������310.
方法二:
2������-
3 2������2
5
=
(4������3-3)5 32������10
=
321������10(1
024x15-3
840x12+5
760x9-4
320x6+1
620x3-243)=32x5-120x2+18������0
名师点拨1.利用二项展开式的通项可以求出展开式中任意指定 的项(或系数).如常数项、有理项等.
2.(a+b)n与(b+a)n的值相同,但展开式的第k项却不一定相同.
【做一做2】 (x-y)8的二项展开式中,第4项的系数
为
.(用数字回答)
解析:由已知 T4=C83x5(-y)3=-56x5y3,则第 4 项系数为-56. 答案:-56
1.3 二项式定理
-1-
1.3.1 二项式定理
-2-
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1.理解二项式定理及二项展开式的特征,掌握二项展开式的通项. 2.正确运用二项展开式展开或化简某些二项式,运用通项求某些 特定项、二项式系数或项的系数. 3.二项式定理的逆用是对二项式定理考查的一个重点,对应二项 式的结构特征,要寻找每一项的规律与联系,学习中应注意次数的 变化及系数与组合数的联系.
则 Sn=(1+33)������-1 = 4���3���-1.
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题型二 利用通项求二项展开式中的特定项
【例 2】
已知在
������
=
-
1 2
������
������-2������
·C������������ ������ 3 .
∵第 6 项为常数项,
∴k=5,且 n-5×2=0,∴n=10.
(2)由(1)知 Tk+1=
-
1 2
������
·C1������0
10-2������
·������ 3 .
令103-2������=2,则 k=2.
归纳总结二项式(a+b)n的展开式有(n+1)项,是和的形式,各项的 幂指数的规律是:
(1)各项的次数都等于二项式的幂指数n. (2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按 升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.
【做一做1】 写出(a+2b)6的展开式. 解:(a+2b)6=C60a6+C61a5(2b)+C62a4(2b)2+C63a3(2b)3+C64a2(2b)4+C65
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反思1.形式简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开,对 于形式较复杂的二项式,在展开之前可以根据二项式的结构特点进 行必要的变形,然后再展开,以使运算得到简化.记准、记熟二项式 (a+b)n的展开式是正确解答与二项式定理有关的问题的前提.
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题型一 二项式定理的正用与逆用
【例 1】
(1)求
2
������ +
1 ������
4
的展开式;
(2)化简(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).
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1.如何正确区分二项展开式中某一项的系数与二项式系数 剖析两者是不同的概念. C������������(r=0,1,2,…,n)叫做二项式系数,而某 一项的系数是指此项中除字母外的部分.如(1+2x)7 的二项展开式的 第 4 项的二项式系数为C73=35,而其第 4 项的系数为C73 ·23=280.