江苏省无锡市宜兴市2023年中考冲刺卷数学试题含解析

2023年中考数学模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列运算中，计算结果正确的是（）
A．a2•a3=a6 B．a2+a3=a5 C．（a2）3=a6 D．a12÷a6=a2
2．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠1）的图象如图所示，则下列结论：
①a、b同号；
②当x=1和x=3时，函数值相等；
③4a+b=1；
④当y=﹣2时，x的值只能取1；
⑤当﹣1＜x＜5时，y＜1．
其中，正确的有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．将下列各选项中的平面图形绕轴旋转一周，可得到如图所示的立体图形的是（）
A．B．C．D．
4．下列事件中为必然事件的是（）
A．打开电视机，正在播放茂名新闻 B．早晨的太阳从东方升起
C．随机掷一枚硬币，落地后正面朝上D．下雨后，天空出现彩虹
5．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（）
A．54°B．64°C．27°D．37°
6．如图，反比例函数y ＝－的图象与直线y ＝－x的交点为A、B，过点A作y轴的平行线与过点B作的x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为( )
A．8 B．6 C．4 D．2
7．对于二次函数,下列说法正确的是（）
A．当x>0，y随x的增大而增大
B．当x=2时，y有最大值－3
C．图像的顶点坐标为（－2，－7）
D．图像与x轴有两个交点
8．一个圆锥的侧面积是12π，它的底面半径是3，则它的母线长等于（）
A．2 B．3 C．4 D．6
9．3
-的相反数是（）
A．
3
3 B．-
3
3C．3D．3
-
10．一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（）（结果保留小数点后两位）（参考数
据：≈1.732，≈1.414）
A．4.64海里B．5.49海里C．6.12海里D．6.21海里
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，在△ABC中，DM垂直平分AC，交BC于点D，连接AD，若∠C=28°，AB=BD，则∠B的度数为_____度．
12．如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a
244
a a
+-+=_____．
13．求1+2+22+23+…+22007的值，可令s=1+2+22+23+…+22007，则2s=2+22+23+24+…+22018，因此2s﹣s=22018﹣
1，即s=22018﹣1，仿照以上推理，计算出1+3+32+33+…+32018的值为_____．
14．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为边BC 上一点，AC 与DE 相交于点F ，若CE=2EB ，S △AFD=9，则S △EFC 等于_____．
15．若点A(1，m)在反比例函数y ＝3
x 的图象上，则m 的值为________．
16．如图，CB=CA ，∠ACB=90°，点D 在边BC 上(与B 、C 不重合)，四边形ADEF 为正方形，过点F 作FG ⊥CA ，交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论：①AC=FG ；②S △FAB ：S 四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF ；④AD2=FQ•AC ，其中正确的结论的个数是______．
三、解答题（共8题，共72分） 17．（8分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元（x ＞40），请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该品牌玩具获得利润w 元，并把结果填写在表格中： 销售单价（元） x 销售量y （件）
销售玩具获得利润w （元）
（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x 应定为多少元．在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 18．（8分）先化简，再求值：3a （a1+1a+1）﹣1（a+1）1，其中a=1．
19．（8分）吴京同学根据学习函数的经验，对一个新函数y ＝2
5
45x x -
-+的图象和性质进行了如下探究，请帮他把
探究过程补充完整该函数的自变量x 的取值范围是 ．列表： x … ﹣2
﹣1 0 1
2
3 4 5
6
…
y
…
5
17-
m
﹣1
52-
﹣5
n
﹣1
12-
517-
…
在下面的格点图中，建立适当的平面直角坐标系xOy 中，描出上表中各对对应值为坐标的点（其中x 为横坐标，y 为纵坐标），并根据描出的点画出该函数的图象：
观察所画出的函数图象，写出该函数的两条性质：
①；
②．
20．（8分）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通(每人必选且只选一种)，在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统方式”调查问卷
计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
()1
这次统计共抽查了______名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为______；
()2
将条形统计图补充完整；
()3
该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名.
21．（8分）解不等式组：.
22．（10分）（2013年四川绵阳12分）如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若E 是AC 的中点，⊙O 的半径为1，求图中阴影部分的面积．
23．（12分）如图所示，已知一次函数y kx b =+（k≠0）的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比例函数y m
x
=（m≠0）的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D ．若OA=OB=OD=1．
（1）求点A 、B 、D 的坐标；
（2）求一次函数和反比例函数的解析式．
24．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ．画出△AOB 平移后的三角形，其平移后的方向为射线AD 的方向，平移的距离为AD 的长．观察平移后的图形，除了矩形ABCD 外，还有一种特殊的平行四边形？请证明你的结论．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1、C 【解析】
根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相减；同底数幂相除，底数不变指数相减对各选项分析判断即可得解． 【详解】
A 、a2•a3=a2+3=a5，故本选项错误；
B 、a2+a3不能进行运算，故本选项错误；
C 、（a2）3=a2×3=a6，故本选项正确；
D 、a12÷a6=a12﹣6=a6，故本选项错误． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2、A 【解析】
根据二次函数的性质和图象可以判断题目中各个小题是否成立． 【详解】
由函数图象可得，
a ＞1，
b ＜1，即a 、b 异号，故①错误， x=-1和x=5时，函数值相等，故②错误，
∵-
15
22
b
a
-+
=
＝2，得4a+b=1，故③正确，
由图象可得，当y=-2时，x=1或x=4，故④错误，
由图象可得，当-1＜x＜5时，y＜1，故⑤正确，
故选A．
【点睛】
考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．3、A
【解析】
分析：面动成体．由题目中的图示可知：此圆台是直角梯形转成圆台的条件是：绕垂直于底的腰旋转．
详解：A、上面小下面大，侧面是曲面，故本选项正确；
B、上面大下面小，侧面是曲面，故本选项错误；
C、是一个圆台，故本选项错误；
D、下面小上面大侧面是曲面，故本选项错误；
故选A．
点睛：本题考查直角梯形转成圆台的条件：应绕垂直于底的腰旋转．
4、B
【解析】
分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件：
A、打开电视机，正在播放茂名新闻，可能发生，也可能不发生，是随机事件，故本选项错误；
B、早晨的太阳从东方升起，是必然事件，故本选项正确；
C、随机掷一枚硬币，落地后可能正面朝上，也可能背面朝上，故本选项错误；
D、下雨后，天空出现彩虹，可能发生，也可能不发生，故本选项错误．
故选B．
5、C
【解析】
由∠AOC＝126°，可求得∠BOC的度数，然后由圆周角定理，求得∠CDB的度数．
【详解】
解：∵∠AOC＝126°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，
∵∠CDB＝1
2∠BOC＝27°
故选：C．
【点睛】
此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6、A
【解析】
试题解析：由于点A、B在反比例函数图象上关于原点对称，
则△ABC的面积=2|k|=2×4=1．
故选A．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
7、B
【解析】
二次函数
22
11
4(2)3 44
y x x x
=-+-=---
,
所以二次函数的开口向下，当x＜2，y随x的增大而增大，选项A错误；
当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B正确；
顶点坐标为（2，-3），选项C错误；
顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，
故答案选B.
考点：二次函数的性质.
8、C
【解析】
设母线长为R，底面半径是3cm，则底面周长=6π，侧面积=3πR=12π，
∴R=4cm．
故选C．
9、C
【解析】
根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可.
【详解】
3
-与3只有符号不同，
所以3
-的相反数是3，
故选C．
【点睛】
本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键.
10、B
【解析】
根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE，AD=DE，设BD=x，Rt△ABD中，根据勾股定理得AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，由AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，解之即可得出答案.
【详解】
根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，
∵AC=30，∠CAB=30°∠ACB=15°，
∴∠ABC=135°，
又∵BE=CE，
∴∠ACB=∠EBC=15°，
∴∠ABE=120°，
又∵∠CAB=30°
∴BA=BE，AD=DE，
设BD=x，
在Rt△ABD中，
∴AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，
∴AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，
∴x= = ≈5.49，
故答案选：B.
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理与等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握三角形内角和定理与等腰直角三角形的性质.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、1
【解析】
根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD＝CD，等边对等角可得∠DAC＝∠C，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ADB＝∠C＋∠DAC，再次根据等边对等角可得可得∠ADB＝∠BAD，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【详解】
∵DM垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝28°，
∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝28°＋28°＝56°，
∵AB＝BD，
∴∠ADB＝∠BAD＝56°，
在△ABD中，∠B＝180°−∠BAD−∠ADB＝180°−56°−56°＝1°．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记各性质与定理是解题的关键．
12、1．
【解析】
直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可．
【详解】
由数轴可得：0＜a＜1，
则
2
a4a4
-+2
2a
-
（）（1﹣a）=1．
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a的取值范围是解题的关键．
13、
2019 31
2
-
【解析】
仿照已知方法求出所求即可．【详解】
令S=1+3+32+33+…+32018，则3S=3+32+33+…+32019，因此3S﹣S=32019﹣1，即S=
2019
31
2
-
．
故答案为：
2019
31
2
-
．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
14、1
【解析】
由于四边形ABCD是平行四边形，所以得到BC∥AD、BC=AD，而CE=2EB，由此即可得到△AFD∽△CFE，它们的相似比为3：2，最后利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD、BC=AD，
而CE=2EB，
∴△AFD∽△CFE，且它们的相似比为3：2，
∴S△AFD：S△EFC=（3
2）2，
而S△AFD=9，
∴S△EFC=1．
故答案为1．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题首先利用平行四边形的构造相似三角形的相似条件，然后利用其性质即可求解．
15、3
【解析】
试题解析：把A（1，m）代入y＝3
x得：m=3.
所以m的值为3.
16、①②③④．
【解析】
由正方形的性质得出∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，证出∠CAD＝∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC＝FG，①正确；
证明四边形CBFG是矩形，得出S△FAB＝1
2FB•FG＝
1
2S四边形CBFG，②正确；
由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC＝∠ABF＝45°，③正确；
证出△ACD ∽△FEQ ，得出对应边成比例，得出④正确． 【详解】
解：∵四边形ADEF 为正方形， ∴∠FAD ＝90°，AD ＝AF ＝EF ， ∴∠CAD ＋∠FAG ＝90°， ∵FG ⊥CA ，
∴∠GAF ＋∠AFG ＝90°， ∴∠CAD ＝∠AFG ， 在△FGA 和△ACD 中，
G C AFG CAD AF AD ＝＝＝∠∠⎧⎪
∠∠⎨⎪⎩
，
∴△FGA ≌△ACD （AAS ）， ∴AC ＝FG ，①正确； ∵BC ＝AC ， ∴FG ＝BC ， ∵∠ACB ＝90°，FG ⊥CA ， ∴FG ∥BC ，
∴四边形CBFG 是矩形，
∴∠CBF ＝90°，S △FAB ＝12FB•FG ＝1
2S 四边形CBFG ，②正确；
∵CA ＝CB ，∠C ＝∠CBF ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ABF ＝45°，③正确；
∵∠FQE ＝∠DQB ＝∠ADC ，∠E ＝∠C ＝90°， ∴△ACD ∽△FEQ ， ∴AC ：AD ＝FE ：FQ ，
∴AD•FE ＝AD2＝FQ•AC ，④正确； 故答案为①②③④． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
三、解答题（共8题，共72分） 17、 (1) 1000﹣x ，﹣10x2+1300x ﹣1；（2）50元或80元；（3）8640元. 【解析】
（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得
销售量y=600﹣（x ﹣40）x=1000﹣x ，销售利润w=（1000﹣x ）（x ﹣30）=﹣10x2+1300x ﹣1． （2）令﹣10x2+1300x ﹣1=10000，求出x 的值即可；
（3）首先求出x 的取值范围，然后把w=﹣10x2+1300x ﹣1转化成y=﹣10（x ﹣65）2+12250，结合x 的取值范围，求出最大利润． 【详解】 解：（1）销售量y=600﹣（x ﹣40）x=1000﹣x ， 销售利润w=（1000﹣x ）（x ﹣30）=﹣10x2+1300x ﹣1． 故答案为: 1000﹣x ，﹣10x2+1300x ﹣1．
（2）﹣10x2+1300x ﹣1=10000
解之得：x1=50，x2=80
答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润．
（3）根据题意得100010x 540x 44-≥⎧⎨≥⎩，
解得：44≤x≤46 ．
w=﹣10x2+1300x ﹣1=﹣10（x ﹣65）2+12250
∵a=﹣10＜0，对称轴x=65，
∴当44≤x≤46时，y 随x 增大而增大．
∴当x=46时，W 最大值=8640（元）．
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．
18、2
【解析】
试题分析：首先根据单项式乘以多项式的法则以及完全平方公式将括号去掉，然后再进行合并同类项，最后将ａ的值代入化简后的式子得出答案.
试题解析：解：原式=3a3+6a1+3a ﹣1a1﹣4a ﹣1=3a3+4a1﹣a ﹣1，
当a=1时，原式=14+16﹣1﹣1=2．
19、（1）一切实数（2）-1
2，-52 （3）见解析（4）该函数有最小值没有最大值；该函数图象关于直线x ＝2对称
【解析】
（1）分式的分母不等于零；
（2）把自变量的值代入即可求解；
（3）根据题意描点、连线即可；
（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．
【详解】
（1）由y ＝25
45x x -
-+知，x2﹣4x+5≠0，所以变量x 的取值范围是一切实数． 故答案为：一切实数；
（2）m ＝251(1)452-
=--++，n ＝25531252-=--+， 故答案为：-1
2，-52；
（3）建立适当的直角坐标系，描点画出图形，如下图所示：
（4）观察所画出的函数图象，有如下性质：①该函数有最小值没有最大值；②该函数图象关于直线x＝2对称．
故答案为：该函数有最小值没有最大值；该函数图象关于直线x＝2对称
【点睛】
本题综合考查了二次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．
20、（1）100，108°；（2）答案见解析；（3）600人.
【解析】
（1）先利用QQ计算出宗人数，再用百分比计算度数；（2）按照扇形图补充条形图；（3）利用微信沟通所占百分比计算总人数.
【详解】
解：（1）喜欢用电话沟通的人数为20，所占百分比为20%，
∴此次共抽查了：20÷20%=100人.
喜欢用QQ沟通所占比例为：
303 10010
，
∴QQ的扇形圆心角的度数为：360°×3
10=108°.
（2）喜欢用短信的人数为：100×5%=5人
喜欢用微信的人数为：100-20-5-30-5=40
补充图形，如图所示：
（3）喜欢用微信沟通所占百分比为：
40
100×100%=40%.
∴该校共有1500名学生，估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：1500×40%=600人.
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
21、x<2.
【解析】
试题分析：由不等式性质分别求出每一个不等式的解集，找出它们的公共部分即可.
试题解析：，
由①得:x<3，
由②得：x<2，
∴不等式组的解集为：x<2.
22、解：（1）CD与⊙O相切．理由如下：
∵AC为∠DAB的平分线，∴∠DAC=∠BAC．
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．，∴∠DAC=∠OCA．
∴OC∥AD．
∵AD⊥CD，∴OC⊥CD．
∵OC是⊙O的半径，∴CD与⊙O相切．
（2）如图，连接EB，由AB为直径，得到∠AEB=90°，
∴EB∥CD，F为EB的中点．∴OF为△ABE的中位线．
∴OF=1
2AE=
1
2，即CF=DE=
1
2．
在Rt△OBF中，根据勾股定理得：EF=FB=DC=
3 2．
∵E 是AC 的中点，∴AE =EC ，∴AE=EC ．∴S 弓形AE=S 弓形EC ．
∴S 阴影=S △DEC=12×12×32=38．
【解析】
（1）CD 与圆O 相切，理由为：由AC 为角平分线得到一对角相等，再由OA=OC ，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OC 与AD 平行，根据AD 垂直于CD ，得到OC 垂直于CD ，即可得证．
（2）根据E 为弧AC 的中点，得到弧AE=弧EC ，利用等弧对等弦得到AE=EC ，可得出弓形AE 与弓形EC 面积相等，阴影部分面积拼接为直角三角形DEC 的面积，求出即可．
考点：角平分线定义，等腰三角形的性质，平行的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，三角形中位线定理，勾股定理，扇形面积的计算，转换思想的应用．
23、（1）A （－1，0），B （0，1），D （1，0）
（2）一次函数的解析式为y x 1=+ 反比例函数的解析式为2y x
= 【解析】解：（1）∵OA=OB=OD=1，
∴点A 、B 、D 的坐标分别为A （－1，0），B （0，1），D （1，0）。

（2）∵点A 、B 在一次函数y kx b =+（k≠0）的图象上，
∴k b 0b 1-+=⎧⎨=⎩，解得k 1b 1=⎧⎨=⎩。

∴一次函数的解析式为y x 1=+。

∵点C 在一次函数y=x+1的图象上，且CD ⊥x 轴，∴点C 的坐标为（1，2）。

又∵点C 在反比例函数m y x
=
（m≠0）的图象上，∴m=1×2=2。

∴反比例函数的解析式为2y x =。

（1）根据OA=OB=OD=1和各坐标轴上的点的特点易得到所求点的坐标。

（2）将A 、B 两点坐标分别代入y kx b =+，可用待定系数法确定一次函数的解析式，由C 点在一次函数的图象上可确定C 点坐标，将C 点坐标代入m y x
=可确定反比例函数的解析式。

24、（1）如图所示见解析；（2）四边形OCED 是菱形．理由见解析.
【解析】
（1）根据图形平移的性质画出平移后的△DEC 即可；
（2）根据图形平移的性质得出AC ∥DE ，OA=DE ，故四边形OCED 是平行四边形，再由矩形的性质可知OA=OB ，故DE=CE ，由此可得出结论．
【详解】
（1）如图所示；
（2）四边形OCED 是菱形．
理由：∵△DEC由△AOB平移而成，
∴AC∥DE，BD∥CE，OA=DE，OB=CE，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
∴DE=CE，
∴四边形OCED是菱形．
【点睛】
本题考查了作图与矩形的性质，解题的关键是熟练的掌握矩形的性质与根据题意作图.。