高中数学必修4 同步导学案：第3章 3.1.2 两角和与差的正弦 Word版含答案

3.1.2 两角和与差的正弦
1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式.(难点)
2.能利用公式解决简单的化简求值问题.(重点)
[基础·初探]
教材整理两角和与差的正弦
阅读教材P136内容，完成下列问题.
1.公式：
名称简记符号公式使用条件
两角和的正弦Sα＋βsin(α＋β)＝sin αcos β＋cos
αsin β
α，β∈R
两角差的正弦Sα－βsin(α－β)＝sin αcos β－cos
αsin β
α，β∈R
y＝a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝
a
a2＋b2
，sin
θ＝
b
a2＋b2
.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦公式中的角α，β是任意的.( )
(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立.( )
(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立.( )
(4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.()
【解析】(1)√.根据公式的推导过程可得.
(2)√.当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.
(3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.
(4)√.因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°
＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确. 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问4：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
给角求值
(1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )
A.－
3
2
B.－12
C.12
D.32
(2)求sin 157°cos 67°＋cos 23°sin 67°的值；
(3)求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)的值. 【精彩点拨】 (1)化简求值应注意公式的逆用.
(2)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值. 【自主解答】 (1)sin 47°－sin 17°cos 30°
cos 17°
＝sin
17°＋30°－sin 17°cos 30°
cos 17°
＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°
cos 17°
＝
cos 17°sin 30°cos 17°＝sin 30°＝1
2
.
【答案】 C
(2)原式＝sin(180°－23°)cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin 23°cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin(23°＋67°)＝sin 90°＝1.
(3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－3cos(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋15°)cos 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－3cos(θ＋15°)
＝12sin(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)－12sin(θ＋15°)－3cos(θ＋15°)＝0.
1.对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：
(1)化为特殊角的三角函数值； (2)化为正负相消的项，消去，求值； (3)化为分子、分母形式，进行约分再求值.
2.在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换.
[再练一题] 1.化简下列各式：
(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3－x ； (2)
sin 2α＋β
sin α
－2cos(α＋β).
【解】 (1)原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π
3－3cos
2π3cos x －3sin 2π3sin x ＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －3
2
sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2＋1－32sin x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32
－3＋32cos x ＝0.
(2)原式＝sin[α＋β＋α]－2cos α＋βsin α
sin α
＝sin α＋β
cos α－cos
α＋βsin α
sin α
＝sin[α＋β－α]
sin α
＝
sin β
sin α
. 给值求值
(2016·青岛高一检测)已知
π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝12
13
，sin(α＋β)＝－3
5
，求sin 2α的值.
【导学号：72010078】
【精彩点拨】 观察出角的关系，即2α＝(α－β)＋(α＋β)，然后求出sin(α－β)和cos(α＋β)的值，利用两角和的正弦公式求解结果.
【自主解答】 因为π2＜β＜α＜3π
4，
所以0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜3
2π.
又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－3
5，
所以sin(α－β)＝ 1－cos 2
α－β
＝
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝5
13
， cos(α＋β)＝－ 1－sin 2
α＋β
＝－
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－352
＝－45.
所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝
513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－56
65
.
解答此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来，一般注意以下几方面： (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两“已知角”的和与差的形式. (2)当“已知角”有一个时，应注意“所求角”与“已知角”的和与差的形式，“所求
角”再用诱导公式变成“已知角”.
(3)角的拆分方法不唯一，应根据题目合理拆分.
(4)用同角三角函数的基本关系式求值时，一定要注意角的范围.
[再练一题]
2.本例中条件不变，试求sin 2β的值. 【解】 由例题中解法知：
sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－4
5.
所以sin2β＝sin[(α＋β)－(α－β)]
＝sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1213＋45×5
13
＝－1665.
[探究共研型]
辅助角公式的应用
探究1 函数y 【提示】 不对.因为sin x ＋cos x ＝2⎝
⎛⎭
⎪⎫
22sin x ＋22 cos x
＝2⎝
⎛⎭⎪⎫sin x ·cos π4＋cos x ·sin π4 ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4， 所以函数的最大值为 2.
探究2 函数y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值等于多少？ 【提示】 因为y ＝3sin x ＋4cos x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫35sin x ＋45cos x ， 令cos φ＝35，sin φ＝4
5
，
则y ＝5(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝5sin(x ＋φ)， 所以函数y 的最大值为5.
探究3 如何推导a sin x ＋b cos x ＝a 2
＋b 2
sin(x ＋φ)⎝
⎛
⎭
⎪⎫tan φ＝b a 公式. 【提示】 a sin x ＋b cos x
＝a 2
＋b 2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a a 2＋
b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ，
令cos φ＝
a a 2＋b
2
，sin φ＝b a 2＋b 2
，则
a sin x ＋
b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)
＝a 2
＋b 2
sin(x ＋φ)(其中φ角所在象限由a ，b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝b
a
确定，或由sin φ＝
b
a 2
＋b
2
和cos φ＝a a 2
＋b
2
共同确定).
当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝________.
【精彩点拨】 可先用公式S α±β将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)形式再求最大值对应的x 值.
【自主解答】 函数为y ＝sin x －3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫
12sin x －32cos x
＝2⎝
⎛⎭⎪⎫sin x cos π3－cos x sin π3
＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3， 当0≤x <2π时，－π3≤x －π3<5π
3，
所以当y 取得最大值时，x －π3＝π2，所以x ＝5π6
. 【答案】
5π6
1.对于形如sin α±cos α，3sin α±cos α的三角函数式均可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式化简为含有一个三角函数的形式.
2.在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则.
[再练一题]
3.函数f (x )＝sin x －cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( ) A.[－2,2] B.[]－3，3 C.[－1,1]
D.⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤－
32，32
【解析】 f (x )＝sin x －cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6
＝sin x －
32cos x ＋1
2
sin x ＝32sin x －3
2
cos x ＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6，
所以函数f (x )的值域为[－3，3]. 故选B. 【答案】 B
[构建·体系]
1.(2016·清远期末)化简：sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°等于( ) A.1
2 B.－12
C.32
D.－
32
【解析】 原式＝sin(21°－81°)＝－sin 60°＝－3
2
.故选D. 【答案】 D
2.函数y ＝sin x －cos x 的最小正周期是( ) A.π2
B.π
C.2π
D.4π
【解析】 y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4，所以T ＝2π.
【答案】 C 3.
sin 47°－sin 17°cos 30°
cos 17°
＝( )
A.－
32
B.－12
C.12
D.32
【解析】 sin 47°－sin 17°cos 30°
cos 17°
＝sin
17°＋30°－sin 17°cos 30°
cos 17°
＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°
cos 17°
＝sin 30° ＝12. 【答案】 C
4.(2016·淮安高一检测)sin 155°cos 35°－cos 25°cos 235°＝________. 【解析】 原式＝sin 25°cos 35°＋cos 25°sin 35°＝ sin(25°＋35°)＝sin 60°＝
3
2
. 【答案】
32
5.已知α，β均为锐角，sin α＝
55，cos β＝1010
，求α－β. 【导学号：72010079】
【解】 ∵α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010
， ∴sin β＝31010，cos α＝25
5
.
∵sin α<sin β，∴α<β，∴－π
2<α－β<0，
∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝
55×1010－255×31010＝－22，∴α－β＝－π4
.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________
学业分层测评(二十五) (建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.(2015·全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A.－
3
2
B.3
2
C.－1
2
D.12
【解析】 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝1
2
，故选D.
【答案】 D
2.(2016·北京高一检测)在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝10
10，则sin C 等于( )
A.25
5 B.－255
C.
55
D.－
55
【解析】 因为cos B ＝
10
10
且0<B <π， 所以sin B ＝31010又A ＝π
4
，
所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin π4cos B ＋cos π
4sin B
＝
22×1010＋22×31010＝25
5
. 【答案】 A
3.已知π4＜β＜π2，sin β＝223，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝( )
A.1
B.2
C.
22＋3
6
D.
22－36
【解析】 ∵π4＜β＜π
2，∴cos β＝1－sin 2β＝
1－⎝
⎛⎭
⎪⎫2232＝13，∴sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫β＋π3＝
12sin β＋32cos β＝12×223＋32×13＝22＋3
6
. 【答案】 C
4.(2016·温州高一检测)在△ABC 中，若sin B ＝2sin A cos C ，那么△ABC 一定是( ) A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形
D.等边三角形
【解析】 在△ABC 中，因为sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin
C ＝2sin A cos C ，所以sin A cos C －cos A sin C ＝0，即sin(A －C )＝0，因为0＜A ＜π，0
＜C ＜π，所以－π＜A －C ＜π，所以A －C ＝0，即A ＝C ，所以△ABC 一定是等腰三角形，故选B.
【答案】 B
5.已知sin(α＋β)＝35，sin(α－β)＝－23，则tan α
tan β
＝( )
【导学号：72010080】
A.1
15 B.25 C.119
D.－119
【解析】 由已知sin(α＋β)＝35，sin(α－β)＝－2
3，得sin αcos β＋cos αsin β
＝35，sin αcos β－cos αsin β＝－23，两式分别相加减得sin αcos β＝－1
30，cos αsin β＝1930，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝－1
301930
＝－1
19
，故选D.
【答案】 D 二、填空题
6.求值：sin 10°－3cos 10°
cos 40°＝________.
【解析】
sin 10°－3cos 10°
cos 40°
＝2⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
12sin 10°－32cos 10°cos 40°
＝2sin 10°－60°cos 40°＝－2sin 50°cos 40°＝－2. 【答案】 －2
7.(2016·汕头高一检测)已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α，β∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，则β＝________.
【解析】 由题意得：sin α＝437，sin(α＋β)＝5314
，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1114×17＋5314×437＝12，又β∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π3
. 【答案】 π3
8.若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________.
【解析】 由8sin α＋5cos β＝6，两边平方，
得64sin 2α＋80sin αcos β＋25cos 2
β＝36.①
由8cos α＋5sin β＝10，两边平方，
得64cos 2α＋80 cos α sin β＋25sin 2β＝100.②
①＋②，得64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β)＝136，
∴sin(α＋β)＝4780
. 【答案】 4780 三、解答题
9.已知：π6＜α＜π2，且cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＝1517，求cos α，sin α的值. 【解】 因为π6＜α＜π2，所以0＜α－π6＜π3
. 因为cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＝1517， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－cos 2⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＝817. 所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6
＝
83＋1534， cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝153－834
. 10.(2016·普宁高一检测)已知π4<α<3π4，0<β<π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－35，sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π4＋β＝513
，求sin(α＋β)的值. 【解】 因为π4<α<3π4，所以π2<π4
＋α<π， 所以sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α ＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝45
. 又因为0<β<π4，3π4<3π4
＋β<π， 所以cos ⎝
⎛⎭⎪⎫3π4＋β ＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π4＋β＝－1213， 所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝
－sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β ＝－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β ＝－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513 ＝6365
. [能力提升]
1.已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3
x ＋π3，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)的值为( )
A.2 3
B. 3
C.1
D.0
【解析】 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3－π3＝2sin π3x ，因为周期为6，且f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝0 ，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝0.
【答案】 D
2.(2016·衡水高一检测)使函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)为奇函数，且在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为减函数的φ的一个值为( ) A.
π3 B.5π3 C.2π3 D.4π3
【解析】 f (x )＝sin(2x ＋φ)＋
3cos(2x ＋φ)＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12sin 2x ＋φ＋32cos 2x ＋φ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2x ＋φcos π3＋cos 2x ＋φsin π3＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3为奇函数，所以φ＋π3＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－π3(k ∈Z )，排除A 和D ；因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为减函数，又2x ＋φ＋π3＝2x ＋k π∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤k π，k π＋π2k ∈Z ，所以k 为奇数，故选C. 【答案】 C
3.在△ABC 中，若4sin A ＋2cos B ＝1,2sin B ＋4cos A ＝33，则sin C 的值为________.
【解析】 由已知得(4sin A ＋2cos B )2＋(2sin B ＋4cos A )2
＝28，
即16＋4＋16(sin A cos B ＋cos A sin B )＝28，
∴20＋16sin(A ＋B )＝28，
∴sin(A ＋B )＝12
， ∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]
＝sin(A ＋B )＝12
. 【答案】 12
4.若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x ＜π2
. (1)把f (x )化成A sin(ωx ＋φ)的形式；
(2)判断f (x )在⎣
⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上的单调性，并求f (x )的最大值. 【解】 (1)f (x )＝(1＋3tan x )cos x
＝cos x ＋3·sin x cos x
·cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫12cos x ＋32sin x ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin π6cos x ＋cos π6sin x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ＜π2. (2)∵0≤x ＜π2，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是单调增函数，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，π2上是单调减函数. ∴当x ＝π3
时，f (x )有最大值为2.。