第3章线性平稳时间序列分析

当︱φ︱<1，动态系统稳定，即给定的ω的影响将逐渐消 失；当︱φ︱>1，动态系统发散；当︱φ︱=1，输入变量
ω将对系统产生持久性影响。
线性过程

定义：{Xt}称为线性过程，若 X t G jt j ，其中
j

{εt}是白噪声序列，系数序列{Gj}满足
G
2 j

。
j
齐次线性差分方程的解
特征方程 p a1p1 a2p2 ap 0 特征方程的根称为特征根，记作 1, 2 ,, p 齐次线性差分方程的通解
不相等实数根场合
zt c11t c2t2 cptp
有相等实根场合
zt
(c1 c2t cd t d1)1t

cd
t
1 d
1
cptp
复根场合
zt

rt (c1eit
c2eit
) c3t3


c
t
pp
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p h(t)
非齐次线性差分方程的解
非齐次线性差分方程的特解
使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解
平稳条件：对应齐次差分方程的特征根在单位圆内
特征方程： 特征根:
1 0
1
AR(1)模型平稳
1 1
平稳域
考察下列模型的平稳性：
(1) X t 0.8X t1 t
(2) Xt 1.1Xt1 t
序列的期望和方差如何求？
AR(2)模型：二阶自回归模型
对应齐次差分方程的特征多项式
() p 1 p1 2 p2 p
其根互 为倒数
AR模型平稳性判别方法
特征根判别
AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单位 圆内
根据特征根和自回归系数多项式的根成倒数的性质， 等价判别条件是该模型的自回归系数多项式的根都在 单位圆外
AR(2)模型的平稳性条件
X t c 1X t1 2 X t2 t
平稳条件：对应齐次差分方程的特征根在单位圆内
特征方程： 2 1 2 0
特征根:
1 12 42
2
AR(2)模型平稳
1
AR(2)模型的平稳性条件
平稳域 AR(2)平稳性判别：
AR(1)模型：一阶自回归模型
描述这种关系的数学模型就是一阶自回归模型，简 记为AR(1)，即
X t 1 X t1 t
其中Xt为零均值(即中心化处理 后的)平稳序列。φ1为Xt对Xt-1的 依赖程度,εt为随机扰动，一般 为零均值的白噪声序列。
AR(1)的中心化变换
一般情形： X t c 1 X t1 t
用ARMA模型去近似地描述动态数据在实际应用 中有许多优点，例如它是线性模型，只要给出少 量参数就可完全确定模型形式；另外，便于分析 数据的结构和内在性质，也便于在最小方差意义 下进行最佳预测和控制。
线性过程
方法性工具
这些工具会使得时间序列模型表达和分析更为简 洁和方便。 延迟算子 线性差分方程
X t 1 X t1 2 X t2 p X t p t
AR(p) 的自回归系数多项式
引进延迟算子，中心化的AR(p)模型又可以简记为
(B)Xt t 其中(B) 11B 2B2
自回归系数多项式
pBp
(u) 11u 2u2 pu p
对于自回归模型来说，当Xt不仅与前期Xt-1有关， 而且与Xt-2相关时，AR(1)模型就不再适用了。这 时就需要用AR(2)模型。
中心化的AR(2)模型： X t 1X t1 2 X t2 t
非中心化的AR(2)模型：Xt c 1Xt1 2 Xt2 t 其中εt为随机扰动，一般为零均值的白噪声序列。
延迟算子
定义：设B为一步延迟算子，如果当前序列乘以
一个延迟算子，就表示把当前序列值的时间向过
去拨一个时刻，即 BXt=Xt-1。
性质：
B0 1

B(c

X
t
)

c

B(
X
t
)

c

X
t
1
,
c为任意常数

B(
X
t
Yt )

X t1
Yt1


(1

B)n

n
(1)i Cni Bi
（1）t 1/ 1 2B Xt


（2）t 1/ 1 0.5B Xt 0.5Bn Xt 0.5n Xtn
n0
n0
ARMA模型
自回归移动平均模型
Autoregressive-Moving Average Model
ARMA模型的背景
一个系统，如果它在t时刻的响应 Xt 不仅与其以前 时刻的响应有关，而且还与其以前时刻进入系统的 扰动存在着一定的相关关系，那么这个系统就是自 回归移动平均系统，相应的模型记作ARMA模型。

其中 G1 B I B 1 I j B j 称为逆函数。 j 1
例： Xt=εt -0.1εt-1 是因果的，可逆的
ARMA模型
AR模型 (Auto Regression Model) MA模型 (Moving Average Model) ARMA模型 (Auto Regression Moving
MA(1)模型：一阶移动平均模型
如果一个系统在t时刻的响应Xt仅与其前一时刻进入系 统的扰动εt-1存在着一定的相关关系，描述这种关系的 数学模型就是一阶移动平均模型，记作MA(1)，即
X t t 1t1
为常数，是序列均值；
εt为零均值的白噪声序列； θ为移动平均系数。


X
t
t
1 X t1 2 X t2 WN 0, 2

E X s t 0, s t
p Xtp t
说明当前期的随 机扰动与过去的 序列值无关
非中心化的AR(p)模型：
X t c 1 X t1 2 X t2 p X t p t
系统是因果性的：若系数序列Gj满足Gj=0, j<0，即

X t G jt j G0t G1t1 j0
定理3.1：线性过程肯定是平稳过程，且是均方收敛的。
线性过程的因果性
在应用时间序列分析去解决实际问题时，所使用 的线性过程是因果性的，即：

X t G jt j t G1t1 j0

且
G
2 j


j0
用延迟算子表示：
X t


G
j
B
j

t
GBt
j0


条件： G j j0
线性过程的逆转形式
用t时刻及其以前时刻的Xt-j(j=0,1, …)来表示白噪声
εt ，即：

t G1 B X t X t I j X t j 为Xt的逆转形式 j 1
t1 y1
t0


t
1 1

t
yt yt1 t
P33
动态乘子(动态乘子为输入ω对输出yt的影响)
yt t 或 yt j j
0
t
当0<φ<1，动态乘子按几何方式衰减到零；当-1<φ<0，动 态乘子振荡衰减到零；
当φ>1，动态乘子指数增加；当φ<-1，动态乘子发散性振 荡；
线性差分方程?线性差分方程?齐次线性差分方程齐次线性差分方程的解?特征方程?特征方程的根称为特征根记作?齐次线性差分方程的通解?不相等实数根场合?有相等实根场合?复根场合非齐次线性差分方程的解?非齐次线性差分方程的特解?使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解?非齐次线性差分方程的通解zt?齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的特解之和一阶差分方程p33?用递归替代法解差分方程
值
yt
t1 y1
t0


t
1 1

t
动态乘子
yt t 或 yt j j
0
t
动态乘子为输入ω对输出yt的影响，依赖于j，即输入ωt
和输出yt+j观察值之间的时间间隔。
当参数φ取不同的值，系统最后的状态也不同。
一阶差分方程 yt

Bn
X
t

i0
X t n
线性差分方程
线性差分方程
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p h(t)
齐次线性差分方程
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p 0
zt a1zt1 a2 zt2 ap zt p 0
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p h(t)
非齐次线性差分方程的通解 zt

齐次线性差分方程的通解
程的特解 zt之和
zt
和非齐次线性差分方
zt zt zt
一阶差分方程
yt yt1 t
P33
用递归替代法解差分方程：假设已知y-1和ω的各期
Average Model)
AR(p)模型：p 阶自回归模型
AR(1)模型的背景
如果时间序列是独立的，没有任何依赖关系，这样 的资料所揭示的统计规律就是事物独立的随机变动， 系统无记忆能力。如果情况不是这样，资料之间有 一定的依存性，那么最简单的关系就是后一时刻的 行为主要与其前一时刻的行为有关，而与其前一时 刻以前的行为无直接关系，即已知Xt-1，Xt主要与 Xt-1相关。用记忆性来说，就是最短的记忆，即一 期记忆，也就是一阶动态性。
第三章 线性平稳时间序列分析
本章结构
线性过程 自回归过程 AR(p) 移动平均过程 MA(q) 自回归移动平均过程 ARMA(p，q) 自相关系数和偏自相关系数
线性平稳时间序列分析
在时间序列的统计分析中，平稳序列是一类重要 的随机序列。在这方面已经有了比较成熟的理论 知识，最常用的是ARMA (Autoregressive Moving Average)模型。
在此模型下，一个影响系统的扰动εt 被“牢记”一 定时期，从而影响系统的后继行为。正是系统的这 种动态性，引起了时间序列中的依存关系，从而决 定了序列中的依存关系不能用普通静态回归模型来 描述，而只能用ARMA模型。
MA(q)模型：q阶移动平均模型
MA模型：Moving Average Model
AR模型：是系统在t时刻的响应Xt仅与其以前时 刻的响应Xt-j有关，而与其以前时刻进入系统的 扰动εt-j无关。
MA模型：如果一个系统在t时刻的响应Xt，与 其以前时刻的响应Xt-j无关，而与其以前时刻 进入系统的扰动εt-j存在着一定的相关关系，这 时需要建立的是MA模型。
此时
E
Xt




c
1 1

0
中心化：令Yt=Xt- ，Yt即为Xt的中心化序列，
此时有
E Yt 0
AR模型平稳性的判别
判别原因
AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一， 但并非所有的AR模型都是平稳的。
判别方法
特征根判别法
AR(1)模型的平稳性条件
X t c 1X t1 t
MA(q)模型：q阶移动平均模型
非中心化的MA(q)模型：
Xt t 1t1 2t2 qtq , t WN 0, 2
引进延迟算子， MA(q)模型又可以简记为：
Xt (B)t
q阶移动平均系数多项式：
(B) 11B 2B2 qBq
特征根 平稳域
1,2 2 1，且2 1 1
考察下列模型的平稳性：
(3) Xt Xt1 0.5Xt2 t
(4) Xt Xt1 0.5Xt2 t
序列的期望和方差如何求？
AR(p) 模型：一般自回归模型
中心化的AR(p)模型：
q2

2 a
【注】MA(q)模型一定为平稳模型。
MA(q)模型的可逆性
可逆MA模型定义
若一个MA模型能够表示成无穷阶的自回归模型，则称 该M 0.5t1
（1）Xt 1 2Bt （2）Xt 1 0.5Bt
MA(q)模型的统计性质
Xt t 1t1 2t2 qtq , t WN 0, 2
常数均值：模型两边求期望可得
EX t
常数方差：
var Xt var t 1t1
q t q
112 22