数学建模与数学实验 回归分析课件
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数学建模与数学实验-回归分析
i1
i1
称 Qe 为残差平方和或剩余平方和.
2 的无偏估计为
ˆ
2 e
Qe
(n 2)
称ˆ
2 e
为剩余方差（残差的方差）， ˆ
2 e
分别与ˆ0 、ˆ1
独立 。
ˆe 称为剩余标准差.
2019/10/19
返回 elecfans 电子发烧友
8
三、检验、预测与控制
1、回归方程的显著性检验
例1 测16名成年女子的身高与腿长所得数据如下：
身 高 1 4 31 4 51 4 61 4 71 4 91 5 01 5 31 5 41 5 51 5 61 5 71 5 81 5 91 6 01 6 21 6 4 腿 长 8 8 8 5 8 8 9 1 9 2 9 3 9 3 9 5 9 6 9 8 9 7 9 6 9 8 9 91 0 01 0 2
数 学 模 型 及 定 义
模 型 参 数 估 计
2019/10/19
检 验 、 预 测 与 控 制
性可 回线 归性 （化 曲的 线一 回元
数 学 模 型 及 定 义
模 型 参 数 估 计
归非
） 线elecfans 电子发烧友
检 验 与 预 测
多 元 线 性 回
归
中
的
逐 步 回 归 分 析
3
一、数学模型
15
11
10.5
10
9.5
9
8.5
8
7.5
7
6.5
6
2
4
6
8
10
12
14
16
散 点 图
此即非线性回归或曲线回归 问题（需要配曲线） 配曲线的一般方法是：
数学建模——线性回归分析-82页PPT精选文档
2019/11/16
zhaoswallow
5
16
166.88
141.4
-144.34
118.67
134.67
159.28
17
164.07
143.03
-140.97
118.75
133.75
158.83
18
164.27
142.29
-142.15
118.85
134.27
158.37
19
164.57
141.44
9
根据表1和表2围绕方案0的1--32组实验数 据，可以列出关于未知数的32个方程的方程 组，利用SAS或Matlab编程求解方程组，得
2019/11/16
zhaoswallow
10
为了确定li和x1,L , x8之间是否有线性关系， 还需要根据样本值运用假设检验来判断， 以确定求得的回归方程是否有价值。
129.63 73
180
80
125
125
81.1
90
158.77 73
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80
125
125
81.1
90
145.32 73
180
80
125
125
81.1
90
120
78.596 180
80
125
125
81.1
90
120
75.45
180
80
125
125
81.1
90
120
90.487 180
80
125
125
141.58 125
81.1
90
数学建模——线性回归分析 82页PPT文档
对函数拟合，可以采用线性函数，也可以采 用非线性函数，比如多项式函数，三角函数，指 数函数等等。在给出具体问题的具体数据时，首 先想到的还是最简单的方法下手，采用最简单的 函数去拟合，也就是线性函数来表达。
2019/8/21
zhaoswallow
7
由电网的拓扑结构，线路上的有功潮流由机 组出力决定。又根据功率的叠加原理，各线路 上有功潮流应为各发电机组出力的线性组合， 考虑对所有实验数据采用最小二乘法进行线性 拟合，从而得到各线路有功潮流关于各发电机 组出力的近似表达式。
• 在回归模型中，若变量之间的关系是线性关系， 称为线性回归模型，否则，称为非线性回归模 型。
• 当自变量只有一个，称为一元线性回归， 如果 自变量有多个，称为多元线性回归。
2019/8/21
zhaoswallow
12
1、一元线性回归
一元线性回归模型为
No y 0 1x
（1）
其中x是自变量，y是因变量，
81.1
90
120
83.848 180
80
125
125
81.1
90
120
73
231.39 80
125
125
81.1
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120
73
198.48 80
125
125
81.1
90
120
73
212.64 80
125
125
81.1
90
120
73
190.55 80
125
125
81.1
90
120
73
180
75.857 125
Q
1
2019/8/21
zhaoswallow
7
由电网的拓扑结构，线路上的有功潮流由机 组出力决定。又根据功率的叠加原理，各线路 上有功潮流应为各发电机组出力的线性组合， 考虑对所有实验数据采用最小二乘法进行线性 拟合，从而得到各线路有功潮流关于各发电机 组出力的近似表达式。
• 在回归模型中，若变量之间的关系是线性关系， 称为线性回归模型，否则，称为非线性回归模 型。
• 当自变量只有一个，称为一元线性回归， 如果 自变量有多个，称为多元线性回归。
2019/8/21
zhaoswallow
12
1、一元线性回归
一元线性回归模型为
No y 0 1x
（1）
其中x是自变量，y是因变量，
81.1
90
120
83.848 180
80
125
125
81.1
90
120
73
231.39 80
125
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90
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198.48 80
125
125
81.1
90
120
73
212.64 80
125
125
81.1
90
120
73
190.55 80
125
125
81.1
90
120
73
180
75.857 125
Q
1
数学建模与数学实验-回归分析ppt课件
电子发烧友
12
3、预测与控制 （1）预测
用 y 0 的 回 归 值 y ˆ 0 ˆ 0 ˆ 1 x 0 作 为 y 0 的 预 测 值 .
y 0 的 置 信 水 平 为 1 的 预 测 区 间 为
y ˆ 0 ( x 0 ) y ˆ 0 ( x 0 ) ,
数学建模与数学实验
回归分析
2020/11/23
后勤工程学院数学教研室
电子发烧友
1
实验目的
1、直观了解回归分析基本内容。 2、掌握用数学软件求解回归分析问题。
实验内容
1、回归分析的基本理论。 2、用数学软件求解回归分析问题。 3、实验作业。
回归分析
一元线性回归
多元线性回归
* *
* *
数 学 模 型 及 定 义
模 型 参 数 估 计
2020/11/23
检 验 、 预 测 与 控 制
性可 回线 归性 （化 曲的 线一 回元
数 学 模 型 及 定 义
模 型 参 数 估 计
归非
） 线 电子发烧友
检 验 与 预 测
多 元 线 性 回
2020/11/23
电子发烧友
9
（Ⅰ）F检验法 当 H 0成 立 时 ，FQ e/U n (2)~F（ 1， n-2）Байду номын сангаас
n
其 中 U y ˆiy2（ 回 归 平 方 和 ） i 1
故 F>F 1(1,n2)， 拒 绝 H 0 ， 否 则 就 接 受 H 0 .
和 ˆ 1 t( n 2 )ˆ e /L x,x ˆ 1 t( n 2 )ˆ e /L x x
1 2
1 2
2 的 置 信 水 平 为 1 - 的 置 信 区 间 为
[课件]数学建模 相关分析与回归分析 清华大学PPT
![[课件]数学建模 相关分析与回归分析 清华大学PPT](https://img.taocdn.com/s3/m/2492f4accc22bcd126ff0c9e.png)
**** *
r>0
** * * * ** **** * ** * *
**
***
r <0 表 示大体 上 Y随 着X增 加而递 减。
* * * * ** **** ** * * ** *** ** *
r<0
** **
* * * *
*** *
*** * * *
r0
*
*
*
*
* * * * * * * * *
1）假设回归方程不显著 H0：方程不显著 H1：方程显著
ˆy 2/1 y ˆ 2 / n 2 yy
2）计算回归方程的F统计量 F= 回归平方和/自由度(f1) 剩余平方和/自由度(f2)
3）给定显著性水平和两个自由度，查F分布表，得到相应临界值F
4）若F>F,拒绝H0，回归方程显著； 若FF,不能拒绝H0，x与y之间的关系不明显或无关系，回归方程不 显著
计算回归系数b的t值:
t
2
b
b
S
b
2 a y b xy / n 2 y S y S 2 2 b 2 n x x x x
1428879 ( 8 . 3 ) 4087 0 . 5175 2824500 / 12 2
模块BASE中的过程CORR可方便地用于计算变量之间的 相互关系：计算数据集FITNESS中OXYGEN，MAXPULSE， RSTPULSE三个变量和另三个变量RUNTIME，RUNPULSE， WEIGHT之间的相关系数。
以下可看出变量MAXPULSE和RUNPULSE有最大的正相关，OXYGEN 和RUNTIME负相关的绝对值最大，RSTPLUSE和WEIGHT的相关的绝 对值最小。
r>0
** * * * ** **** * ** * *
**
***
r <0 表 示大体 上 Y随 着X增 加而递 减。
* * * * ** **** ** * * ** *** ** *
r<0
** **
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*** *
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r0
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1）假设回归方程不显著 H0：方程不显著 H1：方程显著
ˆy 2/1 y ˆ 2 / n 2 yy
2）计算回归方程的F统计量 F= 回归平方和/自由度(f1) 剩余平方和/自由度(f2)
3）给定显著性水平和两个自由度，查F分布表，得到相应临界值F
4）若F>F,拒绝H0，回归方程显著； 若FF,不能拒绝H0，x与y之间的关系不明显或无关系，回归方程不 显著
计算回归系数b的t值:
t
2
b
b
S
b
2 a y b xy / n 2 y S y S 2 2 b 2 n x x x x
1428879 ( 8 . 3 ) 4087 0 . 5175 2824500 / 12 2
模块BASE中的过程CORR可方便地用于计算变量之间的 相互关系：计算数据集FITNESS中OXYGEN，MAXPULSE， RSTPULSE三个变量和另三个变量RUNTIME，RUNPULSE， WEIGHT之间的相关系数。
以下可看出变量MAXPULSE和RUNPULSE有最大的正相关，OXYGEN 和RUNTIME负相关的绝对值最大，RSTPLUSE和WEIGHT的相关的绝 对值最小。
数学建模-第13讲 回归分析详解
使用次数
10 11 12 13 14 15 16
增大容积
10.49 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.76
2021/7/5
15
11
10.5
10
9.5
9
8.5
8
7.5
7
6.5
6
2
4
6
8
10
12
14
16
散 点 图
此即非线性回归或曲线回归 问题（需要配曲线） 配曲线的一般方法是：
i 1
i 1
最小二乘法就是选择 0 和 1 的估计 ˆ0 ， ˆ1 使得
Q(ˆ0
,
ˆ1
)
minQ(
0 ,1
0
,
1
)
2021/7/5
6
解得
ˆ
0
y
ˆ 1 x
ˆ
1
xy x2
xy x2
n x i x y i y
或 ˆ 1 i 1 n
x i x 2
i 1
其中 x 1 n i n 1 x i,y 1 n i n 1 y i ， x 2 1 n i n 1 x i2 ,x 1 n y i n 1 x iy i
为剩余方差（残差的方差），ˆ
2 e
分别与ˆ0ˆ1、 独立。
ˆe 称为剩余标准差.
2021/7/5
8
三、检验、预测与控制
1、回归方程的显著性检验
对 回 归 方 程 Y 0 1 x 的 显 著 性 检 验 ， 归 结 为 对 假 设 H 0 :1 0 ;H 1 :1 0
进 行 检 验 .
2021/7/5
19
2、求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型： [b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)
数学建模与数学实验ppt课件
02
通过数学实验，可以发现和解决数学理论中的问题，推动数学
理论的发展和完善。
数学实验在科学、工程、经济等领域有广泛应用，为解决实际
03
问题提供有效的工具和方法。
数学实验的常用工具
MATLAB
一种常用的数学计算软件，具有强大的数值 计算、矩阵运算和图形绘制等功能。
Python
一种通用编程语言，广泛用于科学计算、数 据分析和机器学习等领域。
02
03
相互促进
两者都是为了解决实际问题或探 究数学问题而进行的方法和工具。
数学建模为数学实验提供理论指 导，而数学实验可以验证数学建 模的正确性和有效性。
区别
目的
数学建模的主要目的是建立数学模型，描述实际问题中变 量之间的关系；而数学实验则是通过实验手段来探究数学 规律或验证数学结论。
应用领域
数学建模广泛应用于各个领域，如物理、工程、经济等； 而数学实验则更多应用于数学教育和研究领域。
简化模型
在保证模型精度的基础上，对模型进行必要 的简化。
求解模型
求解方法选择
根据模型的特点选择合适的数值计算方法或解 析解法。
编程实现
利用编程语言实现模型的求解过程。
误差分析和收敛性判断
对求解过程进行误差分析，判断求解方法的收敛性和稳定性。
模型验证与优化
数据拟合与检验
将模型结果与实际数据进行对比，检验模型的准确性和适用性。
问题分析
明确问题定义
对问题进行深入理解，明确问题的目标、约束条件和 相关参数。
收集数据和信息
收集与问题相关的数据和背景信息，为建立模型提供 依据。
确定主要影响因素
分析问题中起决定性作用的关键因素，忽略次要因素。
数学建模——回归分析模型 ppt课件
有最小值：
n n i 1 i 1
i
2 2 ( y a bx ) i i i
ppt课件
ˆx ˆi a ˆ b y i
6
数学建模——回归分析模型
一元线性回归模型—— a, b, 2估计
n ( xi x )( yi y ) ˆ i 1 b n ( xi x )2 i 1 ˆ ˆ y bx a
数学建模——回归分析模型
Keep focused Follow me —Jiang
ppt课件
1
数学建模——回归分析模型
• • • • • 回归分析概述 几类回归分析模型比较 一元线性回归模型 多元线性回归模型 注意点
ppt课件
2
数学建模——回归分析模型
回归分析 名词解释：回归分析是确定两种或两种以上变数 间相互赖的定量关系的一种统计分析方法。 解决问题：用于趋势预测、因果分析、优化问题 等。 几类常用的回归模型：
可决系数（判定系数） R 2 为:
可决系数越靠近1，模型对数据的拟合程度越好。 ppt课件 通常可决 系数大于0.80即判定通过检验。 模型检验还有很多方法，以后会逐步接触
15
2 e ESS RSS i R2 1 1 TSS TSS (Yi Y )2
数学建模——回归分析模型
2 i i 1
残差平 方和
13
数学建模——回归分析模型
多元线性回归模型—— 估计 j 令上式 Q 对 j 的偏导数为零，得到正规方程组，
用线性代数的方法求解，求得值为：
ˆ ( X T X )1 X TY
ˆ 为矩阵形式，具体如下： 其中 X , Y ,
数学建模培训回归分析
〔Ⅱ〕t检验法
当 H 0成 立 时 ， T L ˆ x e ˆ 1 x ~ t （ n - 2 ）
故 T t ( n 2 ) ， H 拒 0 绝 ， 否 H 则 0 就 接 受 . 1 2
n
n
其 L x 中 x (x i x )2 x i2 n x2
i 1
i 1
〔Ⅲ〕r检验法
n
( x i x ) y i( y )
y ˆˆ0ˆ1 x yˆ1 (x x )
显 然 ， ˆ 1 是 拟 合 直 线 的 斜 率 ， ˆ 0 是 拟 合 直 线 的 截 距 。 n
个 点 (x i,y i) ( i 1 ,2 ,...,n ) 的 几 何 重 心 (x ,y ) 落 在 拟 合 直 线 上 。
为 了 便 于 记 忆 ， 引 入 下 列 记 号 ：
从而削弱了x对y的影响。此时应用多元回归模型。
设
n
n
Lyy
( yi y)2
y2 ny2 i
i 1
i 1
总离差平方和
n
n
Qe ( yi yˆi )2 ( yi ˆ0 ˆ1 xi )2
i 1
i 1
剩余平方和
n
n
U ( yˆi y)2 (ˆ0 ˆ1 xi y)2
i 1
Q e Q (ˆ 0 ,ˆ 1 ) ny i ˆ 0 ˆ 1 x i2 n( y i y ˆ i) 2
i 1
i 1
称Qe为残差平方和或剩余平方和. 可以证明：
E(Q e)(n2)2
于 是 2 的 无 偏 估 计 为 ˆe2Qe (n2)
称 ˆe 2为 剩 余 方 差 （ 残 差 的 方 差 ） ， 它 是 2的 无 偏 估 计 ， 且 ˆe 2分 别 与 ˆ0， ˆ1独 立 。 ˆe也 叫 剩 余 标 准 差 。 显 然 ， ˆe
回归分析及模型PPT课件
散点图 (例题分析)
散点图
(不良贷款对其他变量的散点图)
不良贷款
14
12
10
8
6
4
2
0
0
100
200
300
400
贷款余额 不良贷款与贷款余额的散点图
14
12
10
8
6
4
2
0 0
10
20
30
40
贷款项目个数
不良贷款与贷款项目个数的散点图
不良贷款
不良贷款
14
12
10
8
6
4
2
0 0
10
20
30
累计应收贷款
tr
n2 1r2
0.8431 6 0 2.8 5 2423 67.5344
3. 根据显著性水平＝0.05，查t分布表得
t(n-2)= t0.05(23)= 2.069
4. 决策：由于t=7.5344>t0.05(23)=2.069，拒绝H0 5. 结论：不良贷款与贷款余额之间存在着显著的线性
相关关系
1. 变量间关系不能用函数关
系精确表达
y
不确定
2. 一个变量的取值不能由另 一个变量唯一确定
的依存
关系
3. 当变量 x 取某个值时，变 量 y 的取值可能有几个
4. 各观测点分布在一条线的 周围
x
相关关系
(几个例子)
父亲身高y与子女身高x之间的关系 收入水平y与受教育程度x之间的关系 粮食单位面积产量y与施肥量x1 、降雨量
相关系数的显著性检验
(需要注意的问题)
1. 即使统计检验表明相关系数在统计上是显著的，并不 一定意味着两个变量之间就存在重要的相关性
相关主题
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,
?
1
)
2019/4/2
电子发烧友
6
解得
? ?
??0
?
y?
??1 x
? ?
??1
?
?
xy ? x y x2 ? x2
n
? ?xi ? x ??yi ? y?
或 ??1 ? i?1 n
? ?xi ? x ?2
i?1
? ? ? ? n i?1
n i?1
n i?1
3
一、数学模型
例1 测16名成年女子的身高与腿长所得数据如下：
身高 腿长
143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164 88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102
以身高x为横坐标，以腿长y为纵坐标将这些数据点（xI，yi） 在平面直角坐标系上标出.
解答
102
100
98
y ? ?0 ? ?1x ? ?
96
94
92
90
88
86
84
140
145
150
155
160
165
2019/4/2
散点图 电子发烧友
4
一般地，称由y ? ? 0 ? ? 1x ? ? 确定的模型为一元线性回归模型，
? ? ? ? 记 Qe ? Q(??0 , ??1 ) ?
n
yi ? ??0 ? ??1xi 2 ?
n
( yi ? y?i ) 2
i?1
i?1
称 Qe 为残差平方和或剩余平方和.
? 2 的无偏估计为 ??e2 ? Qe (n ? 2)
称??e2
为剩余方差（残差的方差），??
2 e
分别?与?0
、??1 独立 。
数学建模与数学实验
回归分析
2019/4/2
后勤工程学院数学教研室
电子发烧友
1
实验目的
1、直观了解回归分析基本内容。 2、掌握用数学软件求解回归分析问题。
实验内容
1、回归分析的基本理论。 2、用数学软件求解回归分析问题。 3、实验作业。
回归分析
一元线性回归
3、在 x=x0 处对 y 作预测，对 y 作区间估计.
返回
2019/4/2
电子发烧友
5
二、模型参数估计
1、回归系数的最小二乘估计
有 n 组独立观测值，（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
设
? yi ? ? 0 ? ?x1 ? ? i ,i ? 1,2,..., n
10
（Ⅲ）r 检验法
n
? (xi ? x )( yi ? y)
记
r?
i?1
n
n
? ? (xi ? x )2 ( yi ? y)2
i?1
i?1
当|r|> r1-α 时，拒绝 H0；否则就接受 H0.
其中 r1?? ?
1
1? ?n ? ?2 F1?? ?1, n ? 2?
2019/4/2
电子发烧友
11
2、回归系数的置信区间
? 0 和? 1 置信水平为 1-α 的置信区间分别为
????0 ? t ? (n ? 2)??e
??
1? 2
1 n
?
x2 Lxx
, ??0
?
t ? (n ?
1? 2
2)??e
1 x2 ? ??
n Lxx ??
和
????1
?
?
t
1?Байду номын сангаас
?
2
(n
?
2)??e
/
Lxx
,
??1
?
t
1?
?
(n
?
2)??e
/
2
? Lxx ?
?
? 2 的置信水平为 1?- 的置信区间为
多元线性回归
）归回线曲（归回性 线
非元一的化性线可 测预与验检 的
中归回性线元多 析分归回步逐
义数 学 模 型 及 定
* 模 型 参 数 估 计
* 检 验 、 预 测 与
控
数 学 模 型 及 定 义
* 模 型 参 数 估 计
*
2019/4/2
制
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n i?1
其中 x ? 1
xi , y ? 1
yi ，x ? 21
xi , xy ?
2
1
xi yi .
n
n
n
n
（经验）回归方程为 :
y? ? ??0 ? ??1x ? y ? ??1 (x ? x)
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2、 ? 2 的无偏估计
? ?
E?
i
?
0, D?i
??
2
且?1? 2，..., ? n 相互独立
n
n
? ? 记
Q ? Q(? 0,? 1) ?
?
2 i
?
?yi ? ? 0 ? ? 1xi ?2
i?1
i?1
最小二乘法就是选择? 0 和? 1 的估计??0 ，??1 使得
Q(??0 , ??1 )
?
min
? 0 ,?1
Q
(
?
0
（Ⅱ）t检验法
当H 0 成立时，T ?
Lxx ??1 ~t（n-2） ??e
故 T ? t ? (n ? 2) ，拒绝H 0 ，否则就接受H 0 . 1? 2
n
n
? ? 其中Lxx ? ( xi ? x) 2 ? xi2 ? nx 2
i?1
i ?1
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??e 称为剩余标准差.
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三、检验、预测与控制
1、回归方程的显著性检验 对回归方程 Y ? ? 0 ? ? 1 x 的显著性检验，归结为对假设 H 0 : ? 1 ? 0; H 1 : ? 1 ? 0
进行检验 .
假设 H 0 : ? 1 ? 0 被拒绝，则回归显著，认为 y 与 x 存在线性关 系，所求的线性回归方程有意义；否则回归不显著， y 与 x 的关系 不能用一元线性回归模型来描述，所得的回归方程也无意义 .
记为
?y ? ?0 ? ?1x ? ?
? ?
E?
?
0, D?
?
?
2
固定的未知参数? 0 、? 1 称为回归系数，自变量x 也称为回归变量.
Y ? ? 0 ? ? 1 x ，称为 y 对 x 的回归直线方程.
一元线性回归分析的主要任务是：
1、用试验值（样本值）对? 0 、? 1 ? 和 作点估计；
2、对回归系数? 0 、? 1 作假设检验；
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（Ⅰ）F检验法
当H 0 成立时，
F? U
~F （1，n-2）
Qe /(n ? 2)
n
? 其中 U ? ?y?i ? y ?2 （回归平方和） i?1
故 F> F1?? (1, n ? 2) ，拒绝H 0 ，否则就接受H 0 .