08-14江苏高考真题汇编-压轴题(数列、函数)

08-14江苏高考数列与函数
一 概述
以08-14近六年高考的江苏真题为背景，研究数列与函数两个部分解答题的命题特点，解题思路，解答技巧。

二 真题方法提炼
1 数列
（08）19．（1）设是各项均不为零的n （4n ≥）项等差数列，且公差0d ≠，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．
（i ）当4n =时，求1a d
的数值； （ii ）求n 的所有可能值．
（2）求证：对于给定的正整数n (4n ≥)，存在一个各项及公差均不为零的等差数列
12b b ，，⋯n b ，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．
初等数论的简单应用
（09）17．（本小题满分14分）
设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足2222
234577a a a a ,S +=+= （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；
（2）试求所有的正整数m ，使得1
2
m m m a a a ++为数列{}n a 中的项.
简单的分离常数，整体法
（10）19．（16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知
3122a a a +=，数列{}n S 是公差为d 的等差数列.
①求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）
②设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都成立。

求证：c 的最大值为
2
9 基本不等式，初等数论的简单应用
（12）20．（本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n
b
满足：1n a n *+=∈N ．
（1）设11n n n b b n a *+=+∈N ，，求证：数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
是等差数列；
（2
）设1n n n
b b n a *+=∈N ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值． 基本不等式与函数单调性的应用
（13）19．(2013江苏，19)(本小题满分16分)设{a n
}是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项和．记2n n nS b n c
=+，n ∈N *，其中c 为实数． (1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)；
(2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.
待定系数法求解
（11）20、设M 为部分正整数组成的集合，数列}{n a 的首项11=a ，前n 项和为n S ，已知对任意整数k 属于M ，当n>k 时，)(2k n k n k n S S S S +=+-+都成立
（1）设M=｛1｝，22=a ，求5a 的值；
（2）设M=｛3，4｝，求数列}{n a 的通项公式
（14）20.(本小题满分16分)
设数列的前项和为.若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“H 数列”.
(1)若数列的前n 项和(N ),证明: 是“H 数列”;
(2)设 是等差数列,其首项,公差.若 是“H 数列”,求的值；
(3)证明：对任意的等差数列，总存在两个“H 数列”和，使得 (N )成立.
}{n a n n S n m m n a S =}{n a }{n a n n S 2=∈n *}{n a }{n a 11=a 0<d }{n a d }{n a }{n b }{n c n n n c b a +=∈n *
2 函数
（08）20．已知函数11()3x p f x -=，22()23x p f x -=⋅（12,,x R p p ∈为常数）．函数()f x 定
义为：对每个给定的实数x ，112212(),()()()(),()()
f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨>⎩若若 （1）求1()()f x f x =对所有实数x 成立的充分必要条件（用12,p p 表示）；
（2）设,a b 是两个实数，满足a b <，且12,(,)p p a b ∈．若()()f a f b =，求证：函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度之和为
2
b a -（闭区间[,]m n 的长度定义为n m -） 用到不等式的知识
利用图像进行讨论
（09）20．(本小题满分16分)
设a 为实数，函数2
()2()||f x x x a x a =+--.
(1) 若(0)1f ≥，求a 的取值范围；
(2) 求()f x 的最小值；
(3) 设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．
(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集. 利用图像分析求解
（10）20.（16分）设)(x f 使定义在区间),1(+∞上的函数，其导函数为)('x f .如果存在实数a 和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，使得)1)(()('2+-=ax x x h x f ，则称函数)(x f 具有性质)(a P .
(1)设函数)(x f )1(1
2)(>+++=x x b x h ，其中b 为实数 ①求证：函数)(x f 具有性质)(b P
②求函数)(x f 的单调区间
(2)已知函数)(x g 具有性质)2(P ，给定为实数，
设m x x x x ,),,1(,2121<+∞∈21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，且1,1>>βα，若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|,求m 的取值范围 先讨论内容较少，较易拿分的
深刻理解题目的含义，利用不等式的传递性，放缩的思想
（12）18．（本小题满分16分）已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的
两个极值点．
（1）求a 和b 的值；
（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；
（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．
找特殊点，待定系数法求高次多项式的根 利用图像找零点
（11）19、已知
a ，
b 是实数，函数,)(,)(23bx x x g ax x x f +=+= )(x f '和)(x g '是)(),(x g x f 的导函数，
若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性一致
（1）设0>a ，若函数)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致,求实数b 的取值范围；
（2）设,0<a 且b a ≠，若函数)(x f 和)(x g 在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a -b |的最大值
找特殊点，缩小范围
（13）20．(2013江苏，20)(本小题满分16分)设函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝e x－ax，其中a为实数．
(1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围；
(2)若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．常规方法
先找较易求解的进行讨论，同时结合图像
（14）19.(本小题满分16分)
已知函数,其中e 是自然对数的底数.
(1)证明:是R 上的偶函数；
(2)若关于的不等式≤在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)已知正数满足：存在，使得成立.试比较与的大小，并证明你的结论.
x x x f -+=e e )()(x f x )(x mf 1e -+-m x ),0(+∞m a ),1[0+∞∈x )3()(030
0x x a x f +-<1e -a 1e -a。