2018-2019苏教版高三数学必修4检测：第1章1.3-1.3.4三角函数的应用

第1章 三角函数 1.3 三角函数的图象和性质 1.3.4 三角函数的应用
A 级 基础巩固
一、选择题
1．某人的血压满足函数关系式f (t )＝24sin 160πt ＋110，其中f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )
A ．60
B ．70
C ．80
D ．90 解析：因为T ＝2π160π＝180，所以f ＝1
T ＝80.
答案：C
2．与图中曲线对应的函数解析式是( )
A ．y ＝|sin x |
B ．y ＝sin |x |
C ．y ＝－sin |x |
D ．y ＝－|sin x |
解析：注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A ，D.当x ∈(0，π)时，sin|x |>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B ，只有选项C 满足．
答案：C
3．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过1
2
周期后，乙的位置将移至( )
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
解析：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，则乙的位置移到丙处．
答案：C
4.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离
s (cm)和时间t (s)的函数关系式为s ＝6sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫2πt ＋π6，那么单摆来回摆动
一次所需的时间为( )
A ．2π s
B ．π s
C ．0.5 s
D ．1 s
解析：单摆来回摆动一次，即完成一个周期，
所以T ＝2π|ω|＝2π
2π＝1 s ，即单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.
答案：D
5．用作调频无线电信号的载波以y ＝a sin(1.83×108πt )为模型，其中t 的单位是秒，则此载波的周期为__________，频率为________．
解析：T ＝2πω＝2π1.83×108π≈1.09×10－8(s)， f ＝1
T
＝9.17×107(Hz)．
答案：1.09×10－8s 9.17×107Hz
6．已知某种交变电流I (A)随时间t (s)的变化规律可以拟合为函
数I ＝52sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
100π t －π2，t ∈[0，＋∞)，则这种交变电流在0.5 s 内
往复运动的次数是________．
解析：周期T ＝1
50s ，所以频率为每秒50次．所以0.5秒内往复
运动的次数为25.
答案：25
7.如图所示，点P 是半径为r 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω(rad/s)做圆周运动，则点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系式为________________．
解析：当质点P 从P 0转到点P 位置时，点P 转过的角度为ωt ，则∠POx ＝ωx ＋φ，由任意角的三角函数定义知点P 的纵坐标y ＝r sin(ωt ＋φ)．
答案：y ＝r sin(ωt ＋φ)
8．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，且直线y ＝－π
3为其图象的一条对称轴，如
果|φ|<π
2
，那么此函数的解析式为________________．
解析：因为⎩⎨⎧y max ＝A ＋n ＝4，y min ＝－A ＋n ＝0，所以⎩⎨⎧A ＝2，
n ＝2.
又T ＝π2＝2πω
，
所以ω＝4.所以y ＝2sin(4x ＋φ)＋2. 因为x ＝－π
3
为其图象的一条对称轴，
所以4⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3＋φ＝π
2＋k π(k ∈Z)，
所以φ＝k π＋11
6π(k ∈Z )．
因为|φ|<π2，所以φ＝－π
6
.
所以y ＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
4x －π6＋2.
答案：y ＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
4x －π6＋2
9．已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y
＝10sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
π8x －5π4＋20，x ∈[4，16]．
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2)假若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
解：(1)由于y ＝10sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π8x －54π＋20，x ∈[4，16]， 所以当x ＝6时，函数有最小值，即最低温度为10 ℃； 当x ＝14时，函数有最大值，即最高温度为30 ℃. 因此最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.
(2)令10sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
π8x －5π4＋20＝15，
可得sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π8x －5π4＝－12，而x ∈[4，16]，
所以x ＝26
3
.
令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π8x －5π4＋20＝25，
可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＝12
， 而x ∈[4，16]，所以x ＝34
3
.
故该细菌的存活时间为343－263＝8
3
(小时)．
10.如图所示，弹簧挂着的小球作上下运动，时间t (s )与小球相对平衡位置(即静止时的位置)的高度h (cm)之间的函数关系是h ＝
2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2t ＋π4，t ∈[0，＋∞)．
(1)以t 为横坐标，H 为纵坐标，画出函数在长度为一个周期闭区间的上简图；
(2)小球开始振动的位置在哪里？
(3)小球最高点、最低点的位置及各自距离平衡位置的距离分别是多少？
解：(1)画出h ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2t ＋π4的简图(长度为一个周期)． ①列表：
②描点．
③连线：用平滑曲线依次连接各点即得h ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2t ＋π4的简图，如图所示．
(2)当t ＝0时，h ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2t ＋π4＝ 2. 即小球开始振动时的位置为(0，2)． (3)当t ＝π8时，h ＝2；当t ＝5π
8
时，h ＝－2.
即最高点位置为⎝
⎛⎭
⎪⎫π8，2，最低点位置为⎝
⎛⎭
⎪⎫
5π8，－2；
最高点、最低点各自到平衡位置的距离均为2 cm.
B 级 能力提升
11．一种波的波形为函数y ＝－sin π
2x 的图象，若其在区间[0，t ]
上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
解析：函数y ＝－sin π
2x 的周期T ＝4且x ＝3时y ＝1取得最大值，
因此t ≥7.
答案：C
12．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．
解析：y ＝f (x )＝sin x ＋
2|sin x |＝⎩⎨⎧3sin x ，x ∈[0，π]，
－sin x ，x ∈（π，2π].
在同一平面直角坐标系内画y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示． 由图可知，当y ＝f (x )与y ＝k 的图象有且仅有两个不同交点时，k 的取值范围为1＜k ＜3.
答案：(1，3)
13．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg 和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值．
设某人的血压满足函数式P (t )＝115＋25sin (160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)．
(1)求函数p (t )的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较． 解：(1)函数p (t )的最小正周期为T ＝2π|ω|＝2π160π＝1
80(min)．
(2)此人每分钟心跳的次数即频率为：f ＝1
T ＝80.
(3)p (t )max ＝115＋25＝140 mmHg ， p (t )min ＝115－25＝90 mmHg ，
即收缩压为140 mmHg ，舒张压为90 mmHg ，比正常值稍高． 14．如图所示，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．
(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式(其中t 以年初以来的月为计量单位)；
(2)估计当年3月1日动物种群数量．
解：(1)设动物种群数量y 关于t 的解析式为 y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A >0，ω>0)，
则⎩⎨⎧－A ＋b ＝700，A ＋b ＝900，
解得A ＝100，b ＝800. 又周期T ＝2×(6－0)＝12，所以ω＝2πT ＝π
6
.
所以y ＝100sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6t ＋φ＋800.
又当t ＝6时，y ＝900，
所以900＝100sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6·6＋φ＋800. 所以sin(π＋φ)＝1.所以sin φ＝－1. 所以取φ＝－π
2
.
所以y ＝100sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
π6t －π2＋800.
(2)当t ＝2时，y ＝100sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
π6·2－π2＋800＝750，
即当年3月1日动物种群数量约是750.
15．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：
f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π12t ＋π3，t ∈[0，24)．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？
解：(1)因为f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π12t ＋π3， 又0≤t <24，
所以π3≤π12t ＋π3<7π
3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.
当t ＝2时，sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
π12t ＋π3＝1；
当t ＝14时，sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
π12t ＋π3＝－1.
于是f (t )在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温．
由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
π12t ＋π3，
故有10－2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
π12t ＋π3>11，
即sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12t ＋π3<－12.
又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π
6，即10<t <18.
故在10时至18时实验室需要降温．。