高等代数复习题参考答案

高等代数复习题参考答案
一、
选择题
1. B 2．B 3. B 4．D 5．C 6．A 7．A 8．C 9．D 10. B 11． A 12． D 13．A 14. C 15．B 16．D 17．B 18．C 19．D 20．A
二、 填空题
21．2 22．3 23．-2 24．1233,0λλλ===
25. 1t =- 26．1152⎛⎫
⎪⎝⎭ 27．()0,1,1- 28．n 29．3- 30．2
31. 0 32．2 33．4- 34． 1230a a a ++= 35． 相 36．1
37. 201010002-⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
38．相 39．1 40．n 41．
1 42. t <43. 100110
221102
2⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪-⎝
⎭
44．()134E A - 45．
1 46．4- 47．21t -<< 48．100020003⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
三、
解答题
49. 解：（1）24
6123123T A B C ⎛⎫ ⎪==--- ⎪ ⎪⎝⎭
()
4
5162324486()818116224381162243T T A CB B C A ⎛⎫
⎪
===--- ⎪ ⎪⎝⎭
（2）1121012001A --⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
1144439X BA ---⎛⎫
== ⎪--⎝⎭
50. 解：由已知等式得到()2X A E B E -=+，
若A E -可逆，得
1
(2)()X B E A E -=+-
110120110,2210001002A E B E ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1
1102211()022001A E -⎛⎫
- ⎪ ⎪
⎪
-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 1302231022002X ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
51. 解：E B A X B A E BXA AXB BXB AXA =--⇒++=+)()( 21])[(--=⇒B A X
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---=-100110111B A ，
⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=--100110211)(1B A ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100210521100110211100110211X
52. 解：2()A E B A E -=- 因10,A E A E -=-≠∴-Q 可逆， 于是有()A E B E +=，
90,A E A E +=≠∴+Q 可逆，故
()
1
210331003120
33B A E -⎛⎫- ⎪ ⎪
⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝
⎭
53．解：123
12
030112(,,,)~00100002r a b αααβ⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭
（1）2b ≠时，β不能由321ααα,,线性表示
（2）当1,2a b ≠=时，β可由321ααα,,唯一线性表示，表示式为122βαα=-+
当1,2a b ==时，β可由321ααα,,多种线性表示，表示式为
123(32)(2),k k k k R βααα=-++-∈
54．解：（1）证明：设112321233123()()()0k k k ααααααααα+++-++-++= 则有123112321233()()()0k k k k k k k k k ααα+-+-++++=
123,,αααQ 是线性空间V 的一组基，线性无关
123123123
00k k k k k k k k k +-=⎧⎪
∴-+=⎨⎪++=⎩，解得1230,0,0k k k === 因此123123123,,ααααααααα++-+-++也是V 的一组基
（2）所求过渡矩阵为111111111A -⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
（3）所求坐标为1
1111222232333311
10221111111110
222111110
22y a a a a y a a a a y a a a a -⎛⎫ ⎪
-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪-⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝
⎭
55．解：因方线性方程组Ax β=有二个不同的解，故齐次线性方程组0Ax =有非零解，所以()()2
110A a a =-+=，得11a a ==-或
当1a =时增广矩阵()111211120001~000111110000A --⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
βM ，可见()()R A R A ≠βM ，方程组无解，不合题意，舍去。

1a =-时，()31012111210201~010*********A ⎛
⎫- ⎪--⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪
⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪
⎪⎝⎭
βM ，()()2R A R A ==βM ，方程组有无穷多解，故1a =-
通解为31(1,0,1),,022T
T
k ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
η
56．（1）222100(1,,)(1,,)011011x x x x x x ⎛⎫
⎪
+-= ⎪ ⎪-⎝⎭Q ，所以过渡矩阵为
100011011P ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
（2）1
1231001003331101130
32220111111102
2y y y -⎛
⎫ ⎪
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-
⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝
⎭
（3）()22101(1,,)1,,1(1,,)010000A x x x x x ⎛⎫ ⎪
== ⎪ ⎪⎝⎭
Q ，
故线性变换A 在基21,,x x 下的矩阵101010000A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
线性变换A 在基22
1,,x x x x +-下的矩阵为1111110
221102
2B P AP -⎛
⎫ ⎪-
⎪ ⎪
== ⎪ ⎪- ⎪⎝
⎭
57．已知二次型2212323121323(,,)33442f x x x x x x x x x x x =+---，利用正交变换Py x =将
二次型),,(321x x x f 化为标准形，并写出该正交变换
解：二次型f 的矩阵为022231213A --⎛⎫ ⎪
=-- ⎪ ⎪--⎝⎭
()()2
22
23
1422
1
3
E A λ
λλλλλ-=-=-+-，故A 的特征值为4,4,2-， 对应于4λ=的线性无关的特征向量为()()121,0,2,1,2,0ξξ''=-=- 对应于2λ=-的线性无关的特征向量为()32,1,1ξ'= 正交化：取()112332
,2,5,1,5
ηξηηξ'==-
-=
单位化：3121231232/2/1/0,5/,1/1/ηηηγγγηηη⎛⎫⎛⎛-
=
=== -== ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ 取()123,,P γγγ=，则作正交变换x Py =可将二次型),,(321x x x f 化为标准形
222
123442f y y y =+-
58．解：二次型f 的矩阵为3113113a A a ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，2,2,5是矩阵A 的特征值
故有()2
1121111011a
A E a a -==--=，1a ∴=
对应于2λ=的线性无关的特征向量为()()121,0,1,1,1,0ξξ''=-=- 对应于2λ=-的线性无关的特征向量为()31,1,1ξ'= 正交化：取()112331
,1,2,1,2
ηξηηξ'==-
-=
单位化：3121231231/1/0,2,1/1/1/ηηηγγγηηη⎛⎫⎛⎛-
=
=== -== ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝
所求正交变换为1/1/1/0
2/1/1/1/1/x Py y ⎛-
== -
⎝
59．解：（1）二次型f 的矩阵为0101111a A a
a ⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪--⎝⎭
()()()01
1211
1
1
a
E A a
a a a a λλλλλλλ---=
-=--+----+，故A 的三个特征值为2,,1a a a -+
（2）从二次型f 的规范形可知，A 的三个特征值一定是两正一零，而
21a a a -<<+，所以2a = 60．解：取[]3P t 的一组基21,,t t ，()()()
22221433,656,,A t t A t t t A t t =--=--=
A ∴在基21,,t t 下的矩阵为4
60350361A ⎛⎫ ⎪
=-- ⎪ ⎪--⎝⎭
因()()2
12E A λλλ-=-+，所以A 的特征值为1,1,2-
对应于1λ=的线性无关的特征向量为()()120,0,1,2,1,0ξξ''==- 对应于2λ=-的线性无关的特征向量为()31,1,1ξ'=-
令()123,,P ξξξ=，则有1112P AP -⎛⎫ ⎪
=Λ= ⎪ ⎪-⎝⎭
取()()()221232,,1,g x t g x t g x t t =-+==-++ 线性变换A 在该组基下的矩阵为对角阵。

61．解：取[]3P t 的一组基2,,1t t ， 可得A 在这组基下的矩阵为101011011A -⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
可见()2r A =，且()()1,0,0,0,1,1''是A 的列向量组的一个极大无关组
所以[]32dim A P t ⎡⎤=⎣
⎦，且2
,1t t +是[]3A P t 的一组基 求解方程组0Ax =得基础解系为()1,1,1ξ'=- 故A -1(0)的维数为1， 21t t -+为它的一个基
62．解：（1）21V V I 是齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=+=+0
2020
2321
3121x x x x x x x 的解空间 ，
由于方程组的系数矩阵的秩为2，故其基础解系含的解向量个数为2，即维(21V V I )=2 解上述方程组得一个基础解系为()()0142100021,,,,,,,-==ξξ，此即为
21V V I 的 一组基。

（2）因维()2V 1=，维()3V 2=，由维数公式得
）维（21V V +=维()1V +维()2V )V V (21I 维-=2+3-2=3，
取21V V I 中的一组基2121V V ,+∈ξξ，再在2V 中取一个向量
()∉=01113,,,ξ21V V I ，易证321ξξξ,,线性无关，所以的一组基就是21321V V ,,+ξξξ。

63．解：（1）21V V I 是齐次线性方程组123131
23200320
x x x x x x x x -+=⎧⎪
+=⎨⎪-+=⎩的解空间
由于方程组的系数矩阵的秩为2，故其基础解系含的解向量个数为1，即维(21V V I )=1
解上述方程组得一个基础解系为()11,1,1ξ=--，此即为21V V I 的 一组基。

（2）因维()1V 2=，维()2V 1=，由维数公式得
）维（21V V +=维()1V +维()2V )V V (21I 维-=2+1-1=2
取21V V I 中的一组基112V V ξ∈+，再在1V 中取一个向量
()21,2,0ξ=∉21V V I ，易证12,ξξ线性无关，所以1212,V V ξξ+就是的一组基。

64．解：取一组单位正交基123,,e e e ，可得A 在这组基下的矩阵为113313000A -⎛⎫
⎪
=-- ⎪ ⎪⎝⎭
因()2r A =，且()()1,3,0,1,1,0''-是A 的列向量组的一个极大无关组 所以秩(A P 3
) =2，且12123,e e e e +-是A P 4
的一组基 求解方程组0Ax =得基础解系为()3,3,2ξ'= 故A -1(0)的维数为1，基为123332e e e ++
65. 设n 阶矩阵A 的秩为r ，则必存在一个秩为n r -的矩阵B 满足0.AB =
证明：因为n 阶矩阵A 的秩为r ，所以齐次线性方程组0Ax =必有一个基础解系含n r -个解向量设其为12n-r ,,,ξξξL 。

令矩阵12n-r (,,,)B ξξξ=L ，则()r B n r =-，且
12n-r 12n-r (,,,)(,,,)(0,0,,0)0AB A A A A ξξξξξξ====L L L ，命题得证。

66. 证明：反设向量组 12312,,,αααββ+线性相关，因为向量组123,,ααα线性无关 ，所以向量12ββ+可由向量组123,,ααα线性表示，所以2β可由1231,,,αααβ 线性表示。

又因为向量1β能由123,,ααα线性表示，从而向量2β能由123,,ααα线性表示，这
与已经条件矛盾，假设不成立，故命题得证 67. 证明：设10110k k x x A x A ξξξ--+++=L
则11011()0k k k A x x A x A ξξξ---+++=L 即121011)0k k k k x A x A x A ξξξ---+++=L
0,0,1,2,k k i A A i ξξ+=∴==Q L 100k x A ξ-∴=
又10k A ξ-≠，00x ∴= 同理可证110k x x -==，从而有1,,k A A ξξξ-L 线性无关。

68. 证明：若设向量组*123,,,ηξξξ线性相关，
因123,,ξξξ是0Ax =的一个基础解系，故123,,ξξξ线性无关， 从而得*η可由向量组123,,ξξξ线性表示。

由解的性质知*η是齐次线性方程组0Ax =的解，这与已知矛盾 故向量组 *123,,,ηξξξ线性无关。

证法二：设*01122330x x x x ηξξξ+++= ，则有*0112233()0A x x x x ηξξξ+++=
*,0,1,2,3i A b A i ηξ===Q ，故有*011223300x A x A x A x A x b ηξξξ+++==
而00,0b x ≠∴=，
因此1122330x x x ξξξ++=. 因123,,ξξξ是0Ax =的一个基础解系，故123,,ξξξ线性无关，所以1230x x x ===，从而向量组 *123,,,ηξξξ线性无关。

69. 设A , B 是,m n 阶对称阵，若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00是正定阵，则A , B 也都是正定阵。

证明： 任取一个非零的m 维向量10,x ≠，则m n +维向量10.0x x ⎛⎫
=≠ ⎪⎝⎭
因⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00为正定阵，则有()111100,00000A A x x x x x Ax B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
''''==> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A ∴是 正定阵。

同理可证B 也是正定阵。

70. 证明：,A A ααββ==-Q ，()()A A A A αβαβαβ''''∴=-=-
又因为A 为正交阵，故有A A E '=，从而有,0αβαβαβ'''=-∴=，因此向量α与向量β正交。

71．证明：因为n 阶矩阵A 为正交阵，所以A A E '=
()()()1n
E A A A A A E A A E A A E A E A A '''-=-=-=-=-=-- 因n 是奇数，1A =，所以E A E A -=-- ，0E A ∴-=
72.证明：任取一个非零的m n +维向量12x x x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，其中12,x x 分别为,m n 维向量
则12,x x 中至少有一个非零向量。

因A , B 分别为,m n 阶正定阵，若10x ≠，则
必有1
10x Ax '>；若20x ≠，则必有220x Ax '>， 而()1121122200,00x A A x x x x x Ax x Ax x B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''''==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以必有 000A x x B ⎛⎫'> ⎪⎝⎭，故⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛B A 00也是正定阵。