初一数学奥数培优练习(1)图形计数及线段-答案

泉州五中初一数学奥数培优练习（1）
——图形的计数及线段
班级______ 座号________ 姓名______________
1、计算下列各图中线段的总条数．
2、计算下列各图中三角形的总个数．
3、计算下列各图中正方形的总个数．
4、如图所示，平面上有16个点，在每个点上钉上钉子，如以这些钉子为顶点，用线把它们围起来，你能围出几个正方形？
5、请计算图中所示的正五边形ABCDE 中三角形的个数．
6、计算图中长方体（包括正方体）的个数．
A B C D E A B C D E F
A B C D
E F P G
H
Q 甲 乙
7、如图，一只甲虫从A 点出发，沿图中线段爬到F 点，如果爬行时， 同一个点或同一条线段只能经过一次，那么这只甲虫最多有多少种 不同的爬行方法？
8、上图是由小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形的数字表示在该位置的小立方块的个数，再根据左视图所提供的信息，确定x 和y 的值，并画出主视图．
9、图中8条直线最多能把平面分成多少部分？
10．在一条直线上有四个不同的点依次是A ，B ，C ，D ，那么到A ，B ，C ，D 的距离之和最小的点是（
）
A ．可以是直线AD 外的某一点
B ．只有点B 或点
C C ．只是线段A
D 的中点 D ．有无穷多个
11．如图，B 、C 、D 依次是AE 上的三点，已知AE = 8.9cm ，BD = 3cm ，则图中以A 、B 、C 、D 、E 这5个点为端点的所有线段长度的和为 cm ．
12．如图，已知B 是线段AC 上的一点，M 是线段AB 的中点，N 是线段AC 的中点，P
l 4 l 3
l 2
l 1
（1） x 2 1 y 2
俯视图 左视图
A B C D E
A
B
C
Q P M
N
为NA 的中点，Q 为MA 的中点，则MN ：PQ = ．
泉州五中初一数学奥数培优练习（1） ——图形的计数及线段参考答案
1、解：图甲中的线段上共有4条基本线段AB ，BC ，CD ，DE ；由两条基本线段组成的线段有3
条：AC ，BD ，CE ；由三条基本线段组成的线段有2条：AD ，BE ；由四条基本线段组成的线段有1条：AE ．所以，图甲中线段的总条数是4+3+2+1=10．用同样的方法，我们可以求得图乙中线段的总条数是5+4+3+2+1=15．
2、解： 数三角形的总个数的规律与数线段方法类似，如图（a ），三角形的总个数为
1+2+3+4+ (7)
2
)
17(7+=28． 图(b)是一个复合图形，可采用分类的方法去数：
先看在ABC ∆中三角形的个数，应为1+2+3+4=10个，显然在ACD ∆中也应有10个三角形．另外，以BD 为底边的三角形有4个．因此共有10+10+4=24个三角形．请数出图(c)中三角形的个数．
3、解： 为方便起见，假设每个小方格的边长为1个单位，并称为基本线段．
在（1）中，每边有两条基本线段，所以长为1个长度单位的正方形有2×2=4（个），边长为2个长度单位的正方形有1×1=1（个），即1×1+2×2=5212
2
=+（个）． 在（2）中，每边有3条基本线段，有2条2个长度单位的线段，有1条3个长度单位的线段，所以边长为1个长度单位的正方形有3×3=9（个），边长为2个长度单位的正方形有
2×2=4（个），边长为3个长度单位的正方形有1×1=1（个），即
1×1+2×2+3×3=143213
2
2
=++（个）． 在（3）中，3043212
2
2
2
=+++（个）． 在（4）中，55543212
2
2
2
2
=++++（个）．
4、解： 这个问题与前面数正方形个数是不同的．这个问题的正方形的边不是先画好的，而是要
我们自己去定．我们知道，正方形是四个角都是直角，四条边都相等的四边形．所以，只要四个顶点选得好，就可用线围出一个正方形来． 很明显，我们能围出14个图甲那样的正向的正方形．
除此之外，我们还能围出如图乙和图丙所示的斜向正方形来，但不能围出更小或更大的斜向正方形．
图乙中所示的斜向正方形有4个；
图丙中所示的斜向正方形2个，因此，在图中共可围出20个正方形．
5、解：在正五边形ABCDE 中，根据三角形的形状和大小可分如下六类：
如△ABE 的有5个；如△ABP 的有10个；如△ABF 的有5个；如△AFP 的有5个； 如△ACD 的有5个；如△AGD 的有5个.
所以，图中共有35个三角形． 6、解：长方体的长AB 棱上共有线段：15256=⨯条．长方体的宽棱上共有线段3
2
2
3=⨯条．而
长方体的高棱共有线段：
62
3
4=⨯条．15×3×6＝270个．因此，图中共有长方体270个．
7、解：从点A 出发，有三条路可走：AB ，AE ，AD ．因此，可以分成三类计算不同的爬法数： 沿AB 出发，共有3种爬法；沿AE 出发，共有3种爬法；沿AD 出发，共有3种爬法．所以，最多有9种不同的爬法．
8、解：结合俯视图和左视图，可得x ＝1或2；y ＝3，所以
主视图有两种，如图
9、1条直线最多将平面分成2个部分；2条直线最多将平面
分成4个部分；3条直线最多将平面分成7个部分；现在添上第4条直线，它与前面的3条直线最多有3个交点，这个3交点将第4条直线分成4段，其中第一段原来所在平面部分一分为二．所以，4条直线最多将平面分成7+4＝11个部分．
完全类似地，5条直线最多将平面分成11+5＝16个部分；6条直线最多将平面分成16+6＝22个部分；7条直线最多将来面分成22+7＝29个部分；8条直线最多将平面分成29+8＝37个部分；8条直线最多将平面分成37个部分． 一般地，n 条直线最多将平面分成)2(2
13222
++=
++++n n n 个部分． 10．在一条直线上有四个不同的点依次是A ，B ，C ，D ，那么到A ，B ，C ，D 的距离之和最小的点是（D ）
A ．可以是直线AD 外的某一点
B ．只有点B 或点
C C ．只是线段A
D 的中点
D ．有无穷多个
解：在线段BC 上的点到A 、B 、C 、D 距离和最少为AD + BC ，而BC 上的点有无穷
多个
甲 乙 丙 或
11．如图，B、C、D依次是AE上的三点，已知AE = 8.9cm，BD = 3cm，则图中以A、B、C、D、E这5个点为端点的所有线段长度的和为41.6 cm．
解：其长度总和= 4AB + 6BC + 6CD + 4DE
= 4(AB + DE) + 6(BC + CD)
= 4(AE–BD) + 6BD
= 4AE + 2BD= 41.6cm
12．如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P 为NA的中点，Q为MA的中点，则MN：PQ = 2：1 ．
解：MN = AN–AM
PQ = P A–QA
=1
2
(AN–AM)
A B C D E
A B C
Q P M N。