函数极限练习题

函数极限练习题
1. 求极限：计算以下极限的值。

- \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)
- \( \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x \)
- \( \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) / (x - 1) \)
2. 使用洛必达法则：求下列极限。

- \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)（提示：使用洛必达法则）
- \( \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2} \)
3. 无穷小量比较：确定下列无穷小量的阶数。

- \( x \) 相对于 \( \sin x \) 的阶数
- \( x^2 \) 相对于 \( e^x \) 的阶数
4. 夹逼定理的应用：使用夹逼定理求下列极限。

- \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \)
- \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} \)
5. 函数的连续性：判断下列函数在 \( x = 0 \) 处是否连续，并说明理由。

- \( f(x) = \frac{x^2}{x} \)
- \( g(x) = \frac{\sin x}{x} \)
6. 函数的可导性：判断下列函数在 \( x = 0 \) 处是否可导，并说明理由。

- \( h(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x}) \)
- \( i(x) = \frac{1}{x} \)（提示：考虑 \( x \) 的正负）
7. 泰勒展开：将函数 \( e^x \) 在 \( x = 0 \) 处进行泰勒展开，
至少展开到 \( x^3 \) 项。

8. 函数的极限存在性：判断下列函数的极限是否存在，如果存在，求
其值。

- \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} \)
- \( \lim_{x \to 0} x \sin(\frac{1}{x}) \)
9. 函数的单调性：证明函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 在 \( x > 1 \) 时是递增的。

10. 函数的极值问题：求函数 \( g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \) 的极
值点。

11. 函数的凹凸性：判断函数 \( h(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 \) 在
\( x = 2 \) 处的凹凸性。

12. 函数的渐近线：确定函数 \( f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \) 的
水平渐近线和垂直渐近线。

13. 函数的间断点：找出函数 \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \) 的所有间断点，并分类。

14. 函数的极限与函数值的关系：如果 \( \lim_{x \to a} f(x) = L \)，说明 \( f(a) \) 与 \( L \) 的关系。

15. 复合函数的极限：求下列复合函数的极限。

- \( \lim_{x \to 0} (\frac{\sin x}{x})^{\cos x} \)
- \( \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{2x} \)
请同学们认真完成以上练习题，以加深对函数极限概念的理解。