高中数学压轴培优教程—圆锥曲线篇

高中数学压轴培优教程
圆锥曲线篇
目录
第一章基础篇
1.1曲线与方程 (1)
1.2顶角最大问题 (19)
1.3渐近线性质 (25)
1.4共焦点问题 (35)
1.5面积问题 (49)
1.6抛物线的性质 (67)
1.7定点问题 (83)
1.8定值问题 (111)
1.9最值与范围问题 (161)
第二章技法篇
2.1垂径定理与第三定义 (189)
2.2点差法与定比点差法 (205)
2.3点乘双根法 (225)
2.4齐次化巧解双斜率问题 (233)
2.5同构式方程简化运算 (251)
2.6非对称韦达定理 (265)
第三章观点篇
3.1椭圆的共轭直径 (279)
3.2圆锥曲线等角定理 (293)
3.3蒙日圆及其应用 (307)
3.4阿基米德三角形 (321)
3.5椭圆中的蝴蝶模型 (335)
3.6曲线系及其应用 (347)
3.7极点极线与调和点列 (363)
参考文献 (411)
第二章 技法篇
219
2.2 点差法与定比点差法
一、知识纵横
1、点差法的原理
（1）假设点1111(,),(,)A x y B x y 在有心二次曲线22
221±=x y a b 上，且弦AB 的中点为00(,)M x y ．,A B 代入曲线，
有22
1122
22
222
211
⎧±=⎪⎪⎨⎪±=⎪⎩x y a b x y a b ，两式作差，得1212121222()()()()0+−+−±=x x x x y y y y a b ；左右两边同除以1212()()++x x x x ，得1212
221212110+−±⋅
⋅=+−y y y y a b x x x x ．变形得220201⋅=±=−AB y b k e x a ，其中e 为有心二次曲线的离心率(圆的离心率0=e )．
（2）抛物线2
2=y px ，任意弦AB 的中点为00(,)M x y ，,A B 代入曲线，有2
11
222
22⎧=⎪⎨=⎪⎩y px y px ，两式作差，得
121212()()2()+−=−y y y y p x x ，左右两边同除以12()−x x ，得0⋅=AB k y p ．
2、有心二次曲线
实仿射平面的有一个对称中心的常态二次曲线称为有心二次曲线，所有有心二次曲线都是椭圆或双曲线． 3、点差法基本题型
（1）求以定点为中点的弦所在直线的方程 （2）过定点的弦和平行弦的中点轨迹问题 （3）求与中点弦有关的圆锥曲线的方程 （4）圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
与中点有关的的几何特征：对称、垂直平分、等腰三角形、菱形、平行四边形等． 4、点差法在双曲线中的适用条件
已知双曲线22
221(0,0)−=>>x y a b a b
，任意弦AB 的中点00(,)M x y ，
若当中点00(,)M x y 满足22
002201−x y a b ≤≤，则这样的双曲线的中点弦不存在（如图阴影部分）；
若当中点00(,)M x y 满足2200221−>x y a b 或22
00220−<x y a b
，则这样的双曲线的中点弦存在．
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5、定比分点
若λ=AM MB ，则称点M 为点,A B 的λ定比分点． 当0λ>时，点M 在线段AB 上，称为内分点；
当0(1)λλ<≠−时，点M 在线段AB 的延长线上，称为外分点．
定比分点坐标公式：若点1122(,),(,)A x y B x y ，λ=AM MB ，则点M 的坐标为1212
(,)11λλλλ
++++x x y y M ． 6、定比点差法原理：
若λ=AM MB ，λ=−AN NB ，则称,M N 调和分割,A B ，根据定义，那么,A B 也调和分割,M N ．
定理：设,A B 为有心二次曲线22
221±=x y a b
上的两点，若存在,M N 两点，满足λ=AM MB ，λ=−AN NB ，
则一定有22
1⋅⋅±=M N M N
x x y y a b ． 证明：（1）设点1122(,),(,)A x y B x y ，(,),(,)M M N N M x y N x y ， 因为λ=AM MB ，λ=−AN NB ， 则由定比分点坐标公式可得1212
(
,)11λλλλ
++++x x y y M ，1
212(,)11λλλλ−−−−x x y y N (1)λ≠±， 将,A B 代入曲线，有22
112222
222
2 1 1 ⎧±=⎪⎪⎨⎪±=⎪⎩①②
x y a b x y a b ，222222
2222 λλλλ⨯±=②③得x y a b ①-③，得
21212121222
()()()()
1λλλλλ+−+−±=−x x x x y y y y a b
． 这样就得到了
12121212
221111111λλλλλλλλ+−+−⋅⋅±⋅⋅=+−+−x x x x y y y y a b ，则22
1⋅⋅±=M N M N x x y y a b ．
（2）若点(,)M M M x y 为异于原点的定点，则点N 在直线22
1⋅⋅±=M M x x y y
a b 上． 7、定比点差法基本题型
（1）求弦长被坐标轴分界的两段的比值范围；
（2）简化证明过定点的直线问题的运算以及定值问题；
二、典型例题
第二章 技法篇
221
1、 点差法
关于点差法的研究，在解析几何中有着广泛的应用，主要有以下四种基本题型． 1．1、求以定点为中点的弦所在直线的方程
例1．已知双曲线2
2
12
−=y x ，过()1,1B 能否作直线l ，使l 与双曲线交于,P Q 两点，且B 是线段PQ 的中
点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由． 【解析】假设这样的直线存在，设点11(,)P x y 、22(,)Q x y 点B 是线段PQ 的中 121222+=⎧⎨+=⎩x x y y ，221122221
21
2
⎧−=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩y x y x 两式相减得：121212121()()()()02+−−+−=x x x x y y y y ， 左右两边同除以1212()()+−x x x x ，得1212
1212
1102+−−⋅⋅=+−y y y y x x x x ，
即0011
11022
−⋅⋅=−⋅=PQ PQ y k k x ，解得2=PQ k ，又直线l 过,,P Q B 三点，
所以l 的方程为12(1)−=−y x ，即210−−=x y ．
联立直线与双曲线2
212
210⎧−
=⎪⎨⎪−−=⎩
y x x y ，消去y 得22430,162480−+=∆=−=−<x x ， 此方程无实数解，与假设矛盾，所以满足题设的直线不存在．
【注】本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心．由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要．若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在． 1．2、求过定点的弦或平行弦的中点轨迹
例2．已知椭圆22
143+
=x y 的弦AB 所在直线过点(1,1)E ，求弦AB 中点F 的轨迹． 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则弦AB 的中点(,)F x y ， 若直线AB 的斜率存在，将,A B 代入椭圆，的22
1122
22143
14
3⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ， 两式作差，得
12121212()()()()
043
+−+−+=x x x x y y y y ，
左右两边同除以1212()()+−x x x x ，
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得
1212
1212
11043+−+⋅⋅=+−y y y y x x x x ，即1
21211043−+⋅⋅=−y y y x x x ，又四点,,,A B E F 共线， 所以直线EF 的斜率
1
1
−−y x 等于直线AB 的斜率1212−−y y x x ，则1110431−+⋅⋅=−y y x x ，
整理得2234340+−−=x y x y ．若直线AB 的斜率不存在，
则AB 的方程为1=x ，代入椭圆方程解得,A B 的坐标为33
(1,),(1,)22
−，
所以(1,0)F 也满足上述方程．
故2234340+−−=x y x y 为所求点F 的轨迹方程．
【注】不难看出，在求满足一定条件的动弦的中点轨迹方程时，利用点差法可以大大减少计算量，简化推理过程．
1．3、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
例3．已知中心在原点，
一焦点为F 的椭圆被直线:32=−l y x 截得的弦的中点的横坐标为1
2
，求椭圆的方程．
【解析】设椭圆的方程为22
221+=y x a b ，则2250−=a b ┅┅①
设弦端点11(,)P x y 、22(,)Q x y ，弦PQ 的中点00(,)M x y ，则01
2
=
x ， 001
322
=−=−y x 所以12021+==x x x ，12021+==−y y y ,P Q 两点代入椭圆方程，
得22
1122
22
222
211
⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y x a b y x a b ，两式相减得1212121222()()()()0+−+−+=y y y y x x x x a b ， 即2
2
1212()()0−−+−=b y y a x x ，所以 212212−=
−y y a x x b ，即 223=a b
┅┅② 联立①②解得2
75=a ，2
25=b ，故所求椭圆的方程是22
17525
+
=y x ． 1．4、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
例4．已知椭圆22
143+
=x y ，试确定的m 取值范围，使得对于直线4=+y x m ，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称．
【解析】设111(,)P x y ，222(,)P x y 为椭圆上关于直线4=+y x m 的对称两点，00(,)P x y 为弦12PP 的中点，
第二章 技法篇
223
则22
1122
221431
4
3⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式作差得：12121212()()()()043+−+−+=x x x x y y y y ， 左右两边同除以1212()()+−x x x x ，得1212
1212
11043+−+⋅⋅=+−y y y y x x x x ，
由题意可知：1202+=x x x ，1202+=y y y ，
12121
4
−=−−y y x x ， 所以003=y x ，即00(,3)P x x ．由P 在直线4=+y x m 上得00034=+⇒=−x x m x m ，即(,3)−−P m m ．
因为弦12PP 的中点P 必在椭圆内，所以
22()(3)143−−+<m m
，解得<m ． 例5．已知椭圆2222:1(0)+=>>x y E a b a b
的离心率=e ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
（1）求椭圆E 的方程．
（2）设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ，已知点(,0)−A a ，点0(0,)Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4⋅=QA QB ，求0y 的值．
【解析】（1
）由=
=
c e a ，得2234=a c ．由222=−c a b ，得2=a b ． 由题意可知1
2242⋅⋅=a b ，即2=ab ．解方程组22=⎧⎨=⎩
a b ab ，得2,1==a b ．
所以椭圆E 的方程为2
214
+=x y ．
（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，线段AB 的中点为33(,)M x y ，
当直线l 与x 轴重合时，(2,0),(2,0)−A B ，于是00(2,),(2,)→
→
=−−=−QA y QB y ． 由2000(2,)(2,)44⋅=−−⋅−=−+=QA QB y y y
，解得0=±y 当直线l 不过原点O 且不平行于x 轴时，于是321
213
,−=
=−l OM y y y k k x x x ， 又2
2112222141
4
⎧+=⎪⎪
⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式相减，得121212121()()()()04+−++−=x x x x y y y y ，
左右两边同除以1212()()+−x x x x ，得2
11221121
4
−+⋅=−−+y y y y x x x x ， 所以3314⋅=−l y k x ，则33
14=−⋅l x
k y ，
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又33333
0330333124114⎧==−⋅⎪+⎪⎨−−⎪⋅=−⋅⋅=−⎪⎩l l
y x k x y y y x y y k x y x ，所以30223330134(2)49⎧=−⋅⎪⎪⎨⎪+=−=−⋅⎪⎩y y x x y y ，
因为M 为线段AB 的中点，所以2322=+x x ，231302
223=−==−⋅y y y y y ，
20303055
(2,)(22,)2(22)433
⋅=−−⋅+−=−++=QA QB y x y x y ，解得2305212=−x y ，
所以22203300455
(2)(2)(22)91212
−⋅=+=−−+y x x y y
，解得0=y ，
综上所述：0=±y
05
=±y ． 2、定比点差法
关于点差法的研究，在解析几何中有着广泛的应用，下面主要从三方面来研究． 2．1求弦长被坐标轴分界的两段的比值范围
例6．已知椭圆22
194+=x y ，过定点(0,3)P 的直线与椭圆交于两点,A B （可重合），求PA PB 的取值范围．
【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，λ=AP PB ，则12
1
2013
1λλ
λλ
+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩x x y y ，
即120λ+=x x ，123(1)λλ+=+y y ，将,A B 两点代入椭圆方程：22
112222
2221,(1)94
,(2)9
4λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ， 2(1)(2)λ−⋅得
212121212()()()()
194
λλλλλ+−+−+=−x x x x y y y y ，
即124
(1)3
λλ−=−y y
所以：132135
(1)(1)2366
λλλ=++−=+y ，
又因为1[2,2]∈−y ，则1
[5,]5λ∈−−，
1[,5]5∈PA PB
． 【注】根据两个调和调和定比分点的联立，将坐标求出与比值的关系式，两个定比分点的式子将问题解决，这就是定比点差法的核心．
例7．已知椭圆22
22:1(0)+=>>x y C a b b a
的上下两焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于
,
M N 两点，2∆MNF
C ．
第二章 技法篇
225
（1）求椭圆C 的标准方程．
（2）已知O 为坐标原点，直线:=+L y kx m 与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，若存在实数λ，使得4λ+=OA OB OP ，求m 的取值范围． 【解析】（1）由题设条件得椭圆的方程为：2
2
14
y x +=．
（2）当0m =时，1λ=−，显然成立；当0m ≠时，4OA OB OP λ+=144
OP OA OB λ
⇒=+，
因为,,A P B 三点共线，所以3λ=；所以3AP PB =， 设1122(,),(,)A x y B x y ，所以1212
33(
,)1313
x x y y P ++++，所以1234y y m +=，将,A B 两点代入椭圆方程：2
2112
222 1 4 1 4
y x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②
，①-②得：12121212(3)(3)(3)(3)84y y y y x x x x +−+−+=−， 即128
3y y m
−=−，由上可知：2
24(2,2)33y m m =+∈−， 所以2
(3,3)m m
+
∈−，解得：(2,1)(1,2)m ∈−−，
综上所述：m 的取值范围为(2,1)
(1,2){0}−−．
2．2简化证明过定点的直线问题的运算以及定值问题
例8．设椭圆22
22:1(0)+=>>x y C a b a b
过点M
，且左焦点为1(F ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足⋅=⋅AP QB AQ PB ，证明：点Q 总在某定直线上．
【解析】（1）由题意：22222221
2,
1,=+==−c c a b a b
，解得224,2==a b ， 所以椭圆C 的方程为22
142
+
=x y ． （2）证明：设点为(,)Q x y ，12(,)A x y ，22(,)B x y ． 由题设知,,,AP PB AQ QB 均不为零，记λ=
=
AP AQ PB
QB
，
则01λλ>≠且，又,,,A P B Q 四点共线，将点(4,1)P 代入椭圆方程得22
41142+>，
则点P 在椭圆外，又因为点Q 在线段AB 上，从而λ=−AP PB ，λ=AQ QB ，
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于是121
24,1(1)1,
1λλλλ−⎧=⎪⎪−⎨−⎪=⎪−⎩x x y y 121
2,1(2),
1λλλλ+⎧
=⎪⎪+⎨
+⎪=⎪+⎩
x x x y x y 又点AB 在椭圆C 上，即22
1122221,(3)421,(4)42
⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y 2(3)(4)λ−⋅，得
212121212()()()()
142
λλλλλ+−+−+=−x x x x y y y y ，
即12121212()()()()
111411211λλλλλλλλ
+−+−⋅⋅+⋅⋅=+−+−x x x x y y y y ， 将（1），（2）代入得1,2202
+
=+−=即y
x x y ． 综上所述，点(,)Q x y 总在定直线220+−=x y 上．
例9．已知12(,0),(,0)−F c F c 为有心二次曲线22
22:1(0)±=>>x y E a b a b 的左、右两个焦点，P 为曲线上任意
一点，直线12,PF PF 分别交曲线E 异于P 的点,A B ，设11λ=PF F A ，22μ=PF F B ，证明：λμ+为定值．
【解析】证明：设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，因为11λ=PF F A ，可得01
110
1λλ
λλ+⎧=−⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩x x c y y ，
将1100(,),(,)A x y P x y ，代入曲线方程有22
002
2221122
1,(1)1,(2)⎧±=⎪⎪⎨⎪±=⎪⎩x y a b x y a b ，2(2)λ⨯得
22
22
21122,(3)λλλ+
=x y a b ，(1)(3)−得
20101010122
()()()()
1λλλλλ+−+−±=−x x x x y y y y a b
． 两边同除以21λ−整理得01010101
221111111λλλλλλλλ
+−+−⋅⋅±⋅⋅=+−+−x x x x y y y y a b ，
所以01
211λλ−−⋅=−x x c a ，即201(1)λλ−=−a x x c ．又01,1λλ+−=+x x c
即01(1)λλ+=−+x x c ．
两式相加得：2222
02λ−+=−a c a c x c c
同理：222202μ+−=−a c a c x c c ，所以22222λμ++=⋅−a c a c
． 【注】若将11λ=PF F A ，22μ=PF F B ，换成11λ=AF F B ，22μ=BF F P ，则有22
22
1
1
2λμ++=⋅−a c a c 为定值，
1
1
()()24μλ
λμλμλμ++=++≥，得22min 22()2λμ−+=⋅+a c a c ．
第二章 技法篇
227
例10．已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b 的离心率为2
3，半焦距为(0)>c c ，且1−=a c ，经过椭圆的左焦
点F ，斜率为11(0)≠k k 的直线与椭圆交于,A B 两点，O 为坐标原点．
（1）求椭圆C 的标准方程； （2）当11=k 时，求∆AOB S 的值；
（3）设(1,0)R ，延长,AR BR 分别于椭圆交于,C D 两点，直线CD 的斜率为2k ，求证：1
2
k k 为定值． 【解析】（1）由题意：得2
31
⎧=
⎪⎨⎪−=⎩c a a c 解得32=⎧⎨=⎩a c 所以2225=−=b a c ，
故椭圆C 的标准方程22
195
+
=x y ． (2)由（1），知(2,0)−F 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12187
+=−x x ，12914=−x x ，
12|||=−=
AB x
x 30
7
=
， 设O 点到直线AB 的距离为d
，则=d
1130||227∆=
⋅=⨯AOB S AB d ． (3)设AB 直线方程：(2)=+y k x ，11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，λ=AR RC ，μ=BR BD ， 将,,,A B C D 坐标代入椭圆得：221122331,(1)951,(2)9
5⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，22
2222
441,(3)95
1,(4)
95⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y 2(1)(2)λ−得：213131313()()()()
195λλλλλ−+−++=−x x x x y y y y ，
2(3)(4)μ−得：
224242424()()()()
195
μμμμμ−+−++=−x x x x y y y y ，
13
1
31101λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨
+⎪=⎪+⎩x x y y ，2424110
1μμμμ+⎧=⎪+⎪
⎨+⎪=⎪+⎩
x x y y ，所以1391λλ−=−x x ，2491λμ−=−x x ， 由上式得：125445λλ=−⎧⎪
⎨=−⎪⎩x x ，245445μ
μ=−⎧⎪⎨
=−⎪⎩
x x ， 所以
1
2
12343422444
4
(5)(5)
λμ
λ
μ
λμλμ−−++−
−
+−==
−−−−−+
y y kx k
kx k
y y x x (54)2(54)2117()74
4
1144()
λμλ
μ
λμ
λμ
λμ
−+−+−+−−=
=
=
−+
−−k k
k k
k k ．
【注】综上可知，若出现相交弦共点在坐标轴上的时候，常规联立非常繁琐，那么将坐标变换成比值，达到事半功倍的效果，其结果就是几步秒杀．
例11．已知椭圆22
143+=x y ，点(4,0)P ，过点P 作椭圆的割线PAB ，C 为B 关于x 轴的对称点，求证：
直线AC 恒过定点．
【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则22(,)−C x y ，设AC 与x 轴的交点为(,0)M m ，λ=AP PB ，μ=AM MC ，则1212
(
,)11λλλλ
++++x x y y P ，1
212(,)11μμμμ+−++x x y y M ， 于是124(1)λλ+=+x x ，120λ+=y y ，12(1)μμ+=+x x m ，120 (1)μ−=y y ，则μλ=−， 由点,A B 在椭圆上得：221122
221,(1)43
1,(2)4
3⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ， 2(1)(2)μ−⨯得：212121212()()()()
143
μμμμμ+−+−+=−x x x x y y y y ，
所以124(1)μμ−−=
x x m ，124(1)λλ++=x x m
，由(1)可知：1=m ， 综上可知：直线AC 恒过定点(1,0)．
【注】因为,,A B P 三点共线，,,A C M 三点也共线，且,,A B C 三点都在椭圆上，我们用定比点差法去解决这个问题．
例12．（2018·全国卷Ⅰ）设椭圆2
2:12+=x C y 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的
坐标为(2,0)．
（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程． （2）设O 为坐标原点，证明：∠=∠OMA OMB ．
【解析】（1）由已知得(1,0),F l 的方程为1=x ，由已知可得点A
的坐标为
或(1,，
所以AM
的方程为2=−
y x
2
=−y x （2）当l 与x 轴重合时，00∠=∠=OMA OMB ．
当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠=∠OMA OMB ．
当l 与x 轴不重合也不垂直时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，点B 关于x 轴对称的点22(,)'−B x y ，
229
根据几何性质可得：令ON 为∠ANB 的角平分线，AB 与x 轴交点为2F ，下面通过证明N 与M 重合来证明∠=∠OMA OMB ，根据角平分线定理有：
22=='AF AN AN F B NB NB ，令λ'=AN NB ，则12
(,0)1λλ
++x x N ，由
122211λλλ−=−⇒=−x x AF F B ，,A B 代入椭圆方程2
2112
2221,(1)2
1,(2)
2
⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y 2(1)(2)λ−⨯得：212121212()()
()()12
λλλλλ+−++−=−x x x x y y y y ，
即21212
121011(2,0)21112
λλλλλλ+−−⋅⋅+⋅=⇒=⇒+−−F N x x x x x x y y N ，即N 与M 重合，所以∠=∠OMA OMB ． 例13．（2018·北京文）已知椭圆2222:1(0)+=>>x y M a b a b
k 的直
线l 与椭圆M 有两个不同的交点,A B ，
（1）求椭圆M 的方程．
（2）若1=k ，求||AB 的最大值．
（3）设(2,0)−P ，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ，若,C D 和点71
(,)44
−Q 共线，求k ．
【解析】（1
）由题意得2=c
c
=
c e a
=a 2221=−=b a c ，所以椭圆M 的标准方程为2
213
+=x y ．
（2）设直线AB 的直线方程为=+y x m ，由22
13
=+⎧⎪
⎨+=⎪⎩y x m x y ，消去y 可得2246330++−=x mx m ， 则2223644(33)48120∆=−⨯−=−>m m m ，即24<m ，
1122(,),(,)A x y B x y ，1232
+=−
m
x x ，212334−=m x x ，
12|||=−=AB x x
=， 易得当20=m
时，max ||=AB ||AB
．
（3）设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，λ=AP PC ，2424
(
,)(2,0)11μμμμ
++=−++x x y y P ，有2
2112233 1 (1)3 1 (2)
3
⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，2
(1)(2)λ−⨯得：
213131313()()()()13λλλλλ+−++−=−x x x x y y y y ， 即13(2)()13(1)λλ−−=−x x ，13
1133
3171244
(3)172441λλλλλλ−⎧⎧=−=−−⎪⎪⎪⎪−⇒⎨
⎨+⎪⎪=−−=−⎪⎪⎩+⎩x x x x x x ， 同理24
2244
3171244
(4)172441μλλλλλ
−⎧⎧=−=−−⎪⎪⎪⎪−⇒⎨
⎨+⎪⎪=−−=−⎪⎪⎩+⎩x x x x x x 故121()(5)4λμ−=−−x x ，同时132
4λμ⎧
=⎪−⎪
⎨⎪=⎪−⎩
y y y y ，由于
CD 过定点71(,)44−Q ， 故21341234111114444()(6)711144444μλλμλμ−−−
−
−−=⇒=⇒−=−−+−−−
y y y y y y x x ， 结合（5）（6）可得
12
12
1−=−y y x x ，即1=k ． 例14．已知点(0,1)P ，椭圆2
2:(1)4+=>x C y m m 上两点,A B 满足2=AP PB ，则当m 为何值时，点B 横坐
标的绝对值最大．
【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，22(,),(0,1)B x y P ，则22
112222,(1)4,(2)4
⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y m x y m ，由2=AP PB 得1212
20122112+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪⎩+x x y y ， 2
(1)(2)2−⋅得222222212122(2)(12)4−⋅+−⋅=−x x y y m ，即12121212
22221412121212
+−+−⋅⋅+⋅=+−+−x x x x y y y y m ，则，
122−=−y y m ，1223+=y y ，则234
+=
m
y ，所以2223()44++=x m m ， 即22
2
1094
−+−=m m x ，当5=m 时，()2
2max 4=x ，则2max
2=x ．
三、方法总结
点差法是解决圆锥曲线与直线的关系中常用到的一种方法．当直线与圆锥曲线相交的问题涉及到相交弦的中点时，宜应用点差法求解，即将直线被圆锥曲线截得的弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，得到两个等式，再将两个等式作差，转化得到弦的中点坐标与直线斜率的关系，进而解决问题．在解答圆锥曲线
231
的某些问题时，若果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程．
当1λ=时，点M 为弦AB 的中点．若1λ≠时，点M 不再是中点，就成了定比分点．这时就会出现12λ+x x 这样形式的式子，若果再凑出12λ−x x ，我们就会想到222121212()()λλλ+−=−⋅x x x x x x ，则在有心
二次曲线的方程上乘以2λ再作差，就会得到这样的式子，因此我们想到了“定比点差法”．
定比点差法实际上是直线的参数方程的变异形式，只不过将其中的t 变作了λ，也就是说只要是共线点列的问题都可以在考虑运用直线的参数方程的同时考虑定比点差法．定比点差法在处理圆锥曲线上过定点的直线的证明题时往往可以起到简化运算的作用．但定比点差法无法应用于抛物线，并且它采用的参数
λ在解析几何问题中并不通用，在求解具体的斜率、弦长与面积时往往会引起运算上的麻烦(当然，求坐
标还是很简便的)，所以并不是所有的共线问题都适用用定比点差法解决．
综上所述，在研究点差法及定比点差法时，主要核心思想统一体现为减元、消元以及方程的思想．
四．巩固练习
1．已知椭圆()222210+=>>x y a b a b 的一条准线方程是1=x ，有一条倾斜角为4
π
的直线交椭圆于、A B 两点，
若AB 的中点为11,24⎛⎫
− ⎪⎝⎭C ，则椭圆方程为 ．
【答案】22
11124
+=x y
【解析】设()()1122,,、A x y B x y ，则12121
1,2
+=−+=x x y y ， 且2211221+=x y a b ①， 22
22221+=x y a b
②， −①②得：2222121222−−=−x x y y a b ，()()2212122212121
1
2
+−−∴=−=−⋅−+b x x y y b x x a y y a ，
2
1221221−∴===−AB y y b k x x a
，222∴=a b ③
又2
1=a c ，2∴=a c ④ 而222=+a b c ⑤
由③④⑤可得2
12
=a ，2
14=b ，所求椭圆方程为2211124
+
=x y ． 2．已知椭圆221259+
=x y 上不同的三点()()11229,,4,,,5⎛⎫
⎪⎝⎭
A x y
B
C x y 与焦点()4,0F 的距离成等差数列．
（1）求证：128+=x x ；
（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 【解析】（1）略； （2）解
128+=x x ，∴设线段AC 的中点为()04,D y ．
又、A C 在椭圆上，∴22111259+=x y ①，22
221259+=x y ②，
−①②得：2222
1212259−−=−
x x y y ， ()()1212121200
99836
2525225+−∴
=−=−⋅=−
−+x x y y x x y y y y ． ∴直线DT 的斜率0
2536
=
DT y k ，∴直线DT 的方程为()0025436−=−y y y x ．
令0=y ，得6425=x ，即64,025⎛⎫ ⎪⎝⎭T ，∴直线BT 的斜率90
55644425
−=
=−k ． 3．若抛物线2:=C y x 上存在不同的两点关于直线():3=−l y m x 对称，则实数m 的取值范围是 ．
【答案】(
【解析】当0=m 时，显然满足．
当0≠m 时，设抛物线C 上关于直线():3=−l y m x 对称的两点分别为()()1122,,、P x y Q x y ，且PQ 的中点为()00,M x y ，则211=y x ①，222=y x ②， −①②得：221212−=−y y x x ，1212120
11
2−∴=
==
−+PQ y y k x x y y y ， 又1=−
PQ k m ，02
∴=−m y ． 中点()00,M x y 在直线():3=−l y m x 上，()003∴=−y m x ，于是05
2
=
x ． 中点M 在抛物线2=y x 内部，200∴<y x ，即2
5
22⎛⎫−< ⎪⎝⎭
m
，解得<m
综上可知，所求实数m
的取值范围是(．
4．（2011浙江理）设1F ，2F 分别为椭圆2
213
+=x y 的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上，若125=F A F B ，则点A 的坐标是 ．
233
解答：记直线1F A 反向延长交椭圆于1B ，由125=F A F B 及椭圆对称性得1115=AF F B ，
设11(,)A x y ，22(,)B x y
，(F ．
①定比分点公式得：12125155015+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩
x x y
y 1
212550⎧+=−⎪⇒⎨+=⎪⎩x x y y ②又⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22
1122221(1)31(2)3x y x y 2
21122221(1)4252525(3)3x y x y ⎧+=⎪⎪
⇒⎨⎪+=⎪⎩
③由（1）-（3）得
+−++−=−12121212(5)(5)
(5)(5)243
x x x x y y y
y ⇒−=125x x ，
又+=−125x x ⇒=10x ⇒±(0,1)A ．
5．（2009江理）双曲线()22
2210,0−=>>x y a b a b
的右顶点A 作斜率为1−的直线，该直线与双曲线的两条渐
近线的交点分别为B ，C ．若1
2
=AB BC ，则双曲线的离心率是（ ）
A
B
C
D
【答案】C
【解析】设11(,)C x y ，22(,)B x y ，(,0)A a ，由1
2
=
AB BC ，
由12=AB BC 得1
212121121021
12⎧
+⎪=⎪⎪+⎪⎨⎪+⎪=⎪+⎪
⎩a x x y y 12123230−=−⎧⇒⎨−=⎩x x a y y ． 又22112222
222200⎧−=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩x y a b x y a b 22
1122
22222
20 990 ⎧−=⎪⎪⇒⎨⎪−=⎪⎩①②x y a b x y a b ， 由①-②得：
1212121222
(3)(3)(3)(3)
0+−+−−=x x x x y y y y a b 1230⇒+=x x ，又1232−=−x x a
所以1=−x a ，所以(,)−C a b ，所以0
1−=−=
−−AC b k a a
2⇒=b
a ⇒=e 6．已知椭圆22
162+=x y 的左右焦点分别为1F ，2F ，A ，B ，P 是椭圆上的三个动点，且
11λ=PF F A ，22μ=PF F B ．若2λ=，求μ的值．
【解析】设()00,P x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 由11λ=PF F A 得()01010
10111001λλλλλλλ+⎧
−=⎪⎧+=−+⎪⎪+⇒⎨
⎨++=⎪⎩⎪=⎪+⎩x x c x x c y y y y 由22μ=PF F B 得()02
020********μμμμμμμ
+⎧=⎪⎧+=−++⎪
⎪⇒⎨
⎨++=⎪⎩⎪=⎪+⎩x x c x x c y y y y
由22
00222
2
1122
11⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y a b
x y a b ⇒22
00222222
21
1221 λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②x y a b
x y a
b
235
由①-②得：
()()()()
010*******
2
1λλλλ−+−++
=−x x x x y y y yx a
b
()()()()
()()20101201111λλλλλλ−+⇒=⇒−=−−−+x x x x a a x x c ，又()()011λλ+=−+x x c
所以222202λ−+=−a c a c x c c ，同理可得2222
02μ−+=−
+a c a c x c c 所以()()222222
22
22108λμλμμ−+++=⋅
⇒+=⋅=⇒=−a c a c a c c c a c ． 7．已知椭圆2
2:12
+=x
y C ，设过点()2,2P 的直线l 与椭圆C 交于A ，B ，点Q 是线段AB 上的点，且
112+=PA PB PQ
，求点Q 的轨迹方程．
【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，()00,Q x y ，
由
112
+=PA PB PQ 22−+⇒+=⇒+=PQ PQ PA AQ PB QB PA PB PA PB
0−⇒
+
=⇒
=
AQ QB PA AQ PA
PB
PB
QB
，记
()0λλ=
=>AP AQ PB
QB
，
即λ=−AP PB ，λ=AQ QB ．
由λ=−AP PB 得:()()12
12121222112121λλλλλλλλ
−⎧
=⎪⎧−=−⎪
⎪−⇒⎨
⎨−−=−⎪⎪⎩=⎪−⎩
x x x x y y y y
由λ=AQ QB 得:()()1201201212001111λλλλλλλλ+⎧=⎪⎧+=+⎪⎪+⇒⎨⎨
++=+⎪⎪⎩=⎪+⎩
x x x x x x y y y y y y
又22
112222
2222⎧+=⎪⎨+=⎪⎩x y x y 221122222
222 2
22 λλλ⇒⎪⎧+=⎪⎨+=⎩①②x y x y 由①-②得：()()()()()
212121212221λλλλλ+⋅−+⋅+⋅−=−x x x x y y y y ()()()()()
20021141121λλλλλ⇒+⋅−+⋅+⋅−=−x y 00242⇒+=x y ，即00210+−=x y ．
注意到在椭圆内，故点Q 的轨迹方程为()22
21022+−=+<x y x y ．
8．（2019全国卷理）已知抛物线2:3=C y x 的焦点为F ，斜率为3
2
的直线l 与C 的交点分别为，A B ，与x 轴的交点为P ．
（1）若4+=AF BF ，求直线l 的方程； （2）若3=AP PB ，求AB ．
【答案】（1）3728=
−y x ；（2
）=AB 【解析】（1）设直线l 的方程为：3
2
=+y x m ，与抛物线方程联立可得：
()222393303
42
⎧=⎪
⇒+−+=⎨=+⎪⎩y x
x m x m y x m ， 设()()1122,,，A x y B x y ，故()124
13
+=
−x x m 由抛物线定义可得：()1243
1432
+=++=−+=AF BF x x p m ，解得78=−m ． 故直线方程为：37
28
=
−y x ． （2）设直线l 的方程为：32=+y x m ，联立2232203
2
⎧=⎪
⇒−+=⎨=+⎪⎩y x
y y m y x m
设()
()()11220,,,0，，A x y B x y P x ，则1212 2 2 +=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩①
②y y y y m 由3=AP PB 可得()12030−=−y y ，即123=−y y ③
237
由①②解得1231=⎧⎨=−⎩y y ，代入③式得32=−m ，故直线方程为33
22=−y x ．
解得：()53,3,13⎛⎫− ⎪⎝⎭，A B
，故=AB ．
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