浙江省杭州市萧山区2016届高三高考命题比赛数学试卷1

2016年高考模拟试卷数学卷（理科）
考试时间：120分钟 分值：150分
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1．函数2lg )(-=x x f 的定义域为 （ ） A ．()0-，∞ B ．()2-，∞ C ．[)∞+，2 D ． ()∞+，2 【根据《2015年10月浙江省普通高中学业水平考试》第1题改编】
2．在ABC ∆中，“0AB BC ⋅>”是“ABC ∆是钝角三角形”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【根据《2014学年第一学期联谊学校期中考试高三数学（理科）试卷》（设计人：夏国良）第2题改编】
3．若对任意()+∞∈,1x ，不等式0)1)(1(≥+-ax x 恒成立，则a 的取值范围为 （ ） A ．0>a B ．0≥a C. 1->a D. 1-≥a 【原创】
4．已知函数)0(),cos()(πθθ<<+=x x f 在3
π
=
x 时取得最小值，则)(x f 在[]π，0上的
单调增区间是 （ ） A ．[
ππ
，3
]
B ．[
3
23π
π，] C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡320π， D ．⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡ππ
，32
【根据《2013学年第一学期联谊学校期中考试高三数学（理科）试题卷》第8题改编】 5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＞S 7＞S 5，则满足S n •S n+1＜0的正整数n 的值为（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13 【原创】 6．已知二面角βα--l 的大小为o
60，b 和c 是两条异面直线，且b ⊥α,c ⊥β，则b 与
c 所成的角为( )
A ．300
B ．60
C ．900
D ．1200
【原创】 7．已知O 为△ABC 的外心，||=16，|
|=10
，若
=x
+y
，且32x+25y=25，则∠
B=( ) 【原创】 A ． 3
π
B ．
4
π C ．
6
π D ．
12
π 8．已知实数a<b<c,设方程
01
11=-+-+-c
x b x a x 的两个实根分别为)(,2121x x x x <，则下列关系中恒成立的是（ ） 【原创】
A ．c x b x a <<<<21
B ．c x b a x <<<<21
C ．c b x x a <<<<21
D ．21x c b x a <<<<
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
9．双曲线12
22
=-x y 的焦距是_______，渐近线方程是_______. 【根据2015年浙江省高考理科卷第9题改编】
10. 设e 1，e 2为单位向量， 且e 1，e 2的夹角为π
3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则e 1·e 2 = ，
向量a 在b 方向上的投影为________．
【根据《2015学年第一学期期中考试题卷（高三理科）》第11题改编】
11．一个棱锥的三视图如图， 则该棱锥的各棱长之和等于______,棱锥的的体积等于______． 【原创】
12．已知函数)2
2
)(2cos()2sin()(π
ϕπ
ϕϕ<
<-
+++=x x x f 的图像经过点)2
2
,
(π， 则ϕ的值为 ．【原创】 13．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的边长为1，过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1的截面面积为S ， S 的取值范围是______．【原创】
14．已知函数2
2
1)(m mx x x f -+-=，若)(x f 在]1,0[上单调递增，则实数m 的取值范围_______ ． 【原创】
15．已知kx x x f +=2
)(，f (x )的值域为_________ _ （用含k 的字母表示）；记
)]([)(x f f x F =，若)()(x f x F 与有相同的值域，则k 范围为_________ _； 1)()(2-+=x x f x g 记，若)(x g 在(0,2)上有两个不同的零点x 1，x 2，则k 的取值范围是
__________ ． 【原创】
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分14分）在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足
俯视图
侧视图
正视图1
11
1
1
sin sin sin B A a c
C a b
-+=+
（Ⅰ）求角B ；
（Ⅱ）若sin cos A C =
求角C ． 【原创】
17. （本题满分15分）如图ABCD 为梯形，CD AB //,︒=∠60C ，点E 在CD 上,22
1
==
=DE EC AB ，BC BD ⊥．现将ADE ∆沿AE 折起，使得平面⊥DBC 平面ABCE 。

(1)求证：⊥BD 平面BCEF ；
(2)求直线CE 与平面ADE 所成角的正弦值． 【原创】
18. （本题满分15分）已知函数()2
f x ax bx c =++()0a ≠满足()00f =,对于任意x ∈R
都有()f x x ≥,且 1122f x f x ⎛⎫⎛⎫
-
+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,令()()()10g x f x x λλ=-->. (1) 求函数()f x 的表达式；（2）函数()g x 在区间()0,1上有两个零点，求λ的取值范围. 【原创】
A
B
C
D E
F
A
B
C
D
E
F
19. （本题满分15分）已知),0,1(),0,2(N M 若动点P 满足||2→
→
→=⋅NP MP MN ，且动点错
误！未找到引用源。

的轨迹为错误！未找到引用源。

(1)求轨迹错误！未找到引用源。

的方程；
(2)若A ，B 是轨迹C 上两点，且满足3||||22=+OB OA (O 是坐标原点) ①若直线OB OA ,的斜率分别为OB OA k k ,，求证：||OB OA k k ⋅是定值 ②求△AOB 面积的最大值.【改编自2012年高考样卷】
20.（本题满分15分）已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 和为n S ，且满足
21)1(3+=++n S S n n (n ∈N *)．
(1)用a 表示2a 的值； (2)求数列{}n a 的通项公式；
(3)当23
=a 时，证明：对任意*N n ∈，都有12111112
22122322<++++-n
n a a a a .【原创】
2016年高考模拟试卷数学卷参考答案
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1．函数2lg )(-=x x f 的定义域为 （ ）
A ．()0-，∞
B ．()2-，∞
C ．[)∞+，2
D ． ()∞+，2 【解析】考虑到真数大于零，故选D
【设计意图】学考改编题，考察函数的定义域求法，除了检验双基外，还需考生对真数大于零进行辨析，考察学生数学思维的严谨性，基础题.
2．在ABC ∆中，“0AB BC ⋅>”是“ABC ∆是钝角三角形”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【解析】 0AB BC ⋅>，即0cos >⋅θC B B A
，()πθθ,0,0cos ，且∈>∴，所有两个
向量的夹角为锐角，又两个向量夹角为三角形内角的补角，所以B 为钝角.反过来，三角形为钝角三角形不一定B 为钝角，所以反推不成立，故选A.
【设计意图】改编题，考察充要条件的判断，涉及三角形形状的判断和向量数量积问题，考察学生罗辑思维的严谨性，较基础.
3．若对任意()+∞∈,1x ，不等式0)1)(1(≥+-ax x 恒成立，则a 的取值范围为 （ ） A ．0>a B ．0≥a C. 1->a D. 1-≥a 【解析】因为()+∞∈,1x ，所以01,01≥+∴>-ax x 恒成立，即()0,11
-∈-
≥x
a ，所有 0≥a ，故选B.
【设计意图】本题原创，主要考察变量分离这一个基本方法，之前需要学生利用条件把二次不等式转化为一次不等式，是基础题．
4．已知函数)0(),cos()(πθθ<<+=x x f 在3
π
=x 时取得最小值，则)(x f 在[]π，0上的
单调增区间是（ ）
A ．[
ππ
，3] B ．[323ππ，] C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡320π， D ．⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡ππ，32 【解析】由题意
ππθπ
k 23
+=+，且πθ<<0，3
2π
θ=
∴.增区间为πππππk x k 22322+<+
<+（Z k ∈）ππππk x k 23
423+<<+∴（Z k ∈），又[]π,0∈x ，故选A.
【设计意图】改编题，考察学生三角函数固定区间上单调性的求解，基础题.
5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＞S 7＞S 5，则满足S n •S n+1＜0的正整数n 的值为（ ）
A ． 10
B ． 11
C ． 12
D ．13 【解析】∵S 6＞S 7＞S 5，得 S 6-S 7＞0，S 7-S 5＞0，，∴a 7＜0，a 6+a 7＞0． ∴
，
=6（a 6+a 7）＞0．
∴满足S n •S n+1＜0的正整数n 的值为12．故选C ，基础题．
【设计意图】原创题，学生熟练掌握等差数列的前n 项和公式和基本性质是解题的关键．由S 6＞S 7＞S 5，利用等差数列的前n 项和公式可得a 7＜0，a 6+a 7＞0．进而得到足S n •S n+1＜0的正整数n 的值为12．
6．已知二面角βα--l 的大小为o
60，b 和c 是两条异面直线，且b ⊥α,c ⊥β，则b 与
c 所成的角为( )
A ．300
B ．60
C ．900
D ．1200
【解析】选B ，基础题.
【设计意图】原创题，本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理能力. 7．已知O 为△ABC 的外心，||=16，|
|=10
，若
=x
+y
，且32x+25y=25，则∠
B=( ) A ． 3
π
B ．
4
π C ．
6
π D ．
12
π 【解析】解：如图．若=x +y
，
则
=x
+y
，
由于O 为外心，D ，E 为中点，OD ，OE 分别为两中垂线．
=|
|（|
|cos ∠DAO ）=|
|•|
|
=|
|××|
|=16×8=128，
同样地，=|
|2=100，
所以
2
=128x+100y=4（32x+25y ）=100，∴|
|=10．
由
220sin AC R B ==得sin 2
B =故B=4π,故选B ． 【设计意图】原创题，本题考查三角形外心的性质、向量数量积的运算、向量模的求解，及正弦定理的应用．本题中进行了合理的转化=x
+y
，根据向量数量积的几何
意义分别求出，
后，得出关于x ，y 的代数式，利用32x+25y=25整体求解，属
较难题．
8.已知实数a<b<c,设方程
01
11=-+-+-c
x b x a x 的两个实根分别为)(,2121x x x x <，则下列关系中恒成立的是（ ）
A ．c x b x a <<<<21
B ．c x b a x <<<<21
C ．c b x x a <<<<21
D ．21x c b x a <<<< 【解析】
0)
)()(()
)(())(())((111=-----+--+--=-+-+-c x b x a x a x b x c x a x c x b x c x b x a x 令))(())(())(()(a x b x c x a x c x b x x f --+--+--=
由0))(()(,0))(()(,0))(()(>--=<--=>--=a c b c c f c b a b b f c a b a a f 所以c x b x a <<<<21，故选A.
【设计意图】原创题.能力方面，考查了学生思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力；方法方面，考查了学生函数思想、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法.学生需根据条件特征构造函数，转化方程根的分布问题为函数零点问题，利用函数方程思想或数形结合思想解决本题，难度大.
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
9．双曲线12
22
=-x y 的焦距是_______，渐近线方程是_______. 【解析】.2,02
;322,3122
x y x y c c ±==±=∴=+=即渐近线方程为
【设计意图】改编自2015年浙江省高考理科卷第9题，考察学生解析几何中的基本概念.对于这一类送分题，考生除了有扎实的基本功，还需仔细审题：第一空需辨析焦距是c 还是2c ；第二空需注意双曲线的焦点是在x 轴上还是在y 轴上.
10. 设e 1，e 2为单位向量， 且e 1，e 2的夹角为π
3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则e 1·e 2 = ，
向量a 在b 方向上的投影为________． 【解析】2
13
cos
21=
=⋅π
e e
, .25231322)3(cos 2121121=+=⋅+=⋅+=⋅=e e e e e e b
b a a
θ
【设计意图】本题改编自《2015学年第一学期期中考试题卷（高三理科）》（设计人：冯科），考察学生向量数量积和向量投影的关系，基础题.
11. 一个棱锥的三视图如图， 则该棱锥的各棱长之和等于______,棱锥的的体积等于______
【解析】三视图复原的几何体是中间横竖均为等腰直角三角形的四面体，可求得棱锥的各棱长之和等
于4,棱锥的的体积等于
23
【设计意图】原创题，本题考查由三视图求几何体的棱长和体积，先判断三视图复原的几何体的形状，结合三视图的数据，确定中间横竖均为等腰直角三角形，考查空间想象能力，是基础题．
12. 设△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，C
A C A c b c a sin sin )
sin(++=--，则角A 为_______. 【解析】
3
sin sin sin 222222π
=⇒=-+⇒-=-⇒+=+=--A bc a c b bc b c a c a b C A B c b c a 【设计意图】原创题，本题考查三角形的性质和正弦定理、余弦定理，考查转化能力和运算求解能力，基础题．一般的，在已知关系式中，若既含有边又含有角，通常的思路是将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角．
13．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的边长为1，过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1的截面面积为S ， S 的取值范围是______.
【解析】2⎣ 【设计意图】原创题，本题主要考查空间点、线、面位置关系等基础知识，同时考查空间想
象能力和运算求解能力.
14. 已知函数2
2
1)(m mx x x f -+-=，若)(x f 在]1,0[上单调递增，则实数m 的取值范围_______.
【解析】01≤≤-m 或2≥m
【设计意图】原创题，本题主要考查函数的图象与性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论、数形结合等思想方法分析和解决问题的能力．
15. 已知kx x x f +=2
)(，f (x )的值域为_________ _ （用含k 的字母表示）；记
)]([)(x f f x F =，若)()(x f x F 与有相同的值域，则k 范围为_________ _；
俯视图
侧视图
正视图1
1
1
1
1
1)()(2-+=x x f x g 记，若)(x g 在(0,2)上有两个不同的零点x 1，x 2，则k 的取值范围是
__________.
【解析】⎪
⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡+∞-∈,4)(2k x f ；)]([)(x f f x F =看做以)(x f 为自变量的二次函数，值域相同，只
需
抛
物
线
取
到
顶
点
，
所
以
20,2
42≥≤∴-≤-k k k
k 或；
⎩⎨⎧<<-+≤<+=-+=2
1,121
0,11)()(2
2
x kx x x kx x x f x g 有两个不同的零点.因为一次函数至多一个零点，所以有两种情况：①一次函数上面没有零点，两个零点都子啊二次函数上；②分段函数
的两段各有一个零点，下面讨论. ①0122
=-+kx x 在(1,2)上有两个零点，这于2
1
21-
=x x 矛盾，不符合题意. ②21,10,012,012122
21<<≤<=-+=+x x kx x kx 其中,
所以(]1,011∈-
=k x ,1-≤∴k ,又单调递减，关于222
21
x x x k -=又212<<x ，所以 )1,27(--∈k .综上，)1,2
7
(--∈k .
【设计意图】根据《普高学业水平测试模拟卷（一）》第25题改编，考察学生函数综合能力，
既要熟练掌握换元法、复合函数相关知识，又要能够数形结合考虑问题；第三空考察分段函数知识点，需要分类讨论思想解决，属较难题.
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分14分）在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足
s i n s i n s i n B A a c
C a b
-+=+
（Ⅰ）求角B ；
（Ⅱ）若1
sin cos 4
A C =， 求角C ． 【解析】（Ⅰ）
sin sin sin B A b a C c --=a c a b
+=+，化简得222
a c
b a
c +-=-，
所以2221
cos 22
a c
b B a
c +-==-，23B π=．
（Ⅱ）
,sin()cos 33
A C C C π
π
+=
∴-=
21sin cos 2C C C -=
1cos 2)sin 24C C +-=，
即
112sin 2444
C C -=- 1sin(2),2,232333364
C C C C πππππππ∴-=-<-<∴-=∴=
【设计意图】原创题，考察正弦定理、余弦定理和三角恒等变换，属基础题.
17. （本题满分15分）如图ABCD 为梯形，CD AB //,︒=∠60C ，点E 在CD 上,22
1
==
=DE EC AB ，BC BD ⊥．现将ADE ∆沿AE 折起，使得平面⊥DBC 平面ABCE 。

(1)求证：⊥BD 平面BCEF ；
(2)求直线CE 与平面ADE 所成角的正弦值．
【解析】
解法一：（Ⅰ）证明：∵11190AC B ACB ∠=∠=
∴1111B C AC ⊥又由直三棱柱性质知111B C CC ⊥ ∴11B C ⊥平面11ACC A .∴11B C CD ⊥ 由122AA BC AC ===，
D 为1AA 中点，可知1D C D =
=222
114DC DC CC +==
即1CD DC ⊥ 又11B C CD ⊥ ∴ CD ⊥平面11B C D 又CD ⊂平面1B CD 故平面1B CD ⊥平面11B C D （Ⅱ）解：当12
AD AA =
时二面角11B CD C --的大小为60°. 假设在1AA 上存在一点D 满足题意，
由（Ⅰ）可知11B C ⊥平面11ACC A .如图，在平面11ACC A 内过1C 作1C E CD ⊥，交CD 或
B
A
C
D
A 1 E
B 1
C 1
（第17题图）
A
B
C
D E
F
A
B
C
D
E
F
延长线或于E ，连1EB ，则CD EB ⊥1
所以11B EC ∠为二面角11B CD C --的平面角 ∴1160B EC ∠= 由112B C =
知，1C E =
设AD x =
，则DC =
1DCC ∆的面积为1
1=
解得x =
12
AD AA ==
∴在1AA 上存在一点D 满足题意 解法二：
（Ⅰ）如图，以C 为原点，1CA CB CC 、、所在直线为x y z 、、 轴建立空间直角坐标系.
则11(0,0,0),(1,0,0),(0,2,2),(0,0,2),(1,0,1)C A B C D .
即)1,0,1(),01,1(),0,2,0(111=-==DC B C 由0000)1,0,1()0,2,0(11=++=⋅=⋅B C 得B C ⊥11 由0000)1,0,1()1,0,1(1=++=⋅-=⋅DC 得DC ⊥1 又1
11DC C B C =
∴CD ⊥平面11B C D 又CD ⊂平面1B CD ∴平面1B CD ⊥平面11B C D
（Ⅱ）当12
AD AA =
时二面角11B CD C --的大小为60°. 设AD a =，则D 点坐标为(1,0,)a ，1(1,0,),(0,2,2)CD a CB == 设平面1B CD 的法向量为(,,)m x y z =
则由 10220
00
m CB y z x az m CD ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩ 令1z =-，得(,1,1)m a =- 又∵(0,2,0)CB =为平面1C CD 的法向量
（第17题图）
则由1cos602
m CB m CB
a ⋅=
⇒
=
⋅
解得a =12
AD AA ==
. ∴在1AA 上存在一点D 满足题意.
【设计意图】原创题，主要考查空间面面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力.利用垂面找垂线是本题的关键，搞清楚面与面的关系，线与面的关系式立体几何试题考查的本质，本题是动态角度出发设计，存在性问题是高考的热点和难点，利用空间坐标系解题较为简单.
18. （本题满分15分）已知函数()2
f x ax bx c =++()0a ≠满足()00f =,对于任意x ∈R
都有()f x x ≥,且 1122f x f x ⎛⎫⎛⎫
-
+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,令()()()10g x f x x λλ=-->. 求函数()f x 的表达式；（2）函数()g x 在区间()0,1上有两个零点，求λ的取值范围. 【解析】(1)∵()00f =，∴0c =.∵对于任意x ∈R 都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫
-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
, ∴函数()f x 的对称轴为12x =-
，即1
22
b a -
=-，得a b =. 又()f x x ≥，即()2
10ax b x +-≥对于任意x ∈R 都成立，
∴0a >,且∆()2
10b =-≤．∵()2
10b -≥， ∴1,1b a ==． ∴()2
f x x x =+．
(2)① 当02λ<≤时，由(2)知函数()g x 在区间()0,1上单调递增， 又()()010,1210g g λ=-<=-
->，
故函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点． ② 当2λ>时，则
1
112λ
<
<，而()010,g =-<2111
0g λλ
λ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， ()121g λ=-
-，
（ⅰ）若23λ<≤，由于
1
1
12
λλ
-<
≤，
且()2
11111222g λλλλ---⎛⎫⎛⎫
=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()2
1104λ-=-+≥，
此时，函数()g x 在区间()
0,1上只有一个零点；
（ⅱ）若3λ>，由于
1
12
λ->且()121g λ=--0<，此时，函数()g x 在区间()0,1
上有两个不同的零点． 综上所述，当3λ>时，函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点． 【设计意图】原创题，本题综合考查了二次函数的解析式，单调性，绝对值的意义和函数零点个数问题，同时运用了函数与方程思想、转化思想和分类讨论等数学思想方法，对学生综合运用知识解决问题的能力要求较高，是高考的热点问题，属较难题．
19. （本题满分15分）已知),0,1(),0,2(N M 若动点P 满足||2→
→
→
=⋅NP MP MN ，且动点错
误！未找到引用源。

的轨迹为错误！未找到引用源。

(1)求轨迹错误！未找到引用源。

的方程；
(2)若A ，B 是轨迹C 上两点，且满足3||||22=+OB OA (O 是坐标原点) ①若直线OB OA ,的斜率分别为OB OA k k ,，求证：||OB OA k k ⋅
②求△AOB 面积的最大值. 【解析】
（1）设),(y x P ，得22)1(2),2()0,1(y x y x +-=
-⋅-
轨迹错误！未找到引用源。

的方程：12
22
=+y x （2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
22
222
12
122||||y x y x OB OA +++=+32
221212
221222
2212
1=++=-++-+=x x x x x x 22
22
1=+∴x x
①===
⋅22212
2212
12
1||x x y y x x y y k k OB OA 22212221)21)(21(x x x x --=214)22(122
212
2212221=++-=x x x x x x ②设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，代入得x 2＋2(kx ＋m ) 2＝2，
即(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0
x 1＋x 2＝－2214k km +， x 1 x 2＝2
2212
2k m +-，
=+∴22
2
1x x (x 1＋x 2)2
－2 x 1 x 2＝2)
21(4
4882
22222=++--k m k m k ，
得0))12(2)(12(222=+--k m k 故0)12(2012222=+-=-k m k 或
| AB |原点O 到直线AB 的距离为
21222
|
|x x m S AOB -=
∆，然后可以求解. 【设计意图】本题改编自2012年高考样卷，主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，难度较大.本题综合了平面向量及椭圆的基本性质，和直线与椭圆的位置关系及三角形面积等关键性知识，有方程思想及分类讨论思想等，运算较为复杂.
20.（本题满分15分）已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 和为n S ，且满足
21)1(3+=++n S S n n (n ∈N *)．
(1)用a 表示2a 的值； (2)求数列{}n a 的通项公式；
(3)当23
=a 时，证明：对任意*N n ∈，都有12111112
22122322<++++-n
n a a a a . 【解析】
(1)由条件1=n 得12121=++a a a ， a a 2122-=.
(2)由条件2
1)1(3+=++n S S n n 得，2
13(2)n n S S n n -+=≥
两式相减得361+=++n a a n n (2)n ≥， 故9612+=+++n a a n n ，
两式再相减得62=-+n n a a (2)n ≥，
，，，642a a a ∴构成以2a 为首项，公差为6的等差数列； ，，，753a a a 构成以3a 为首项，公差为6的等差数列； 由(1)得a n a n 2662-+=；
由条件2=n 得2721321=++++a a a a a ，得a a 233+=， 从而a n a n 23612+-=+，
∴,1
3(62)(1)2
n n
a n a n a n =⎧=⎨
+--≥⎩，
解法2：
设1(1)()n n a x n y a xn y ++++=-++，即122n n a a xn y x +=----
则263
230x x y x y -==-⎧⎧⇒⎨
⎨--==⎩⎩
∴有13(1)(3)n n a n a n +-+=--
∴2n ≥时，223(6)(1)n n a n a --=-⋅-，
即2
3(62)(1)n n a n a -=+-⋅-
∴2
,
13(62)(1)2
n n a n a n a n -=⎧=⎨+--≥⎩， (3) 证明：当2
3=a 时，且2≥n ，由（2）可知])1([3n
n n a -+=
① 当1=n 时，121
9
11222<=a
②当2≥n 时，
∵ )1(612-=-n a n ，)12(32+=n a n ∴
2221223221
111n
n a a a a ++++- )111()111(21
22523222422-+++++++=n n a a a a a a ])1(1
2111[361])12(15131[91222222-+++⨯+++++⨯=
n n ])1(12111[361])12(15131[912
22222-+++⨯+++++⨯=
n n ])
1)(2(12111[361])1(1321211[361--++⨯+⨯++++⨯+⨯⨯<
n n n n
)]1
1213121211(1[361)1113121211(361---++-+-+⨯++-++-+-⨯=
n n n n )112(361)111(361--⨯++-⨯=n n 121)1111(361121<--+-=n n .
【设计意图】原创题，数列综合题目，用到了构造新数列、放缩法证明数列求和问题等方法，属较难题.。