2021年湖南省常德市数学中考试题(含答案)

2021年常德市初中毕业学业考试数学试题
考生注意：1、请考生在试题卷首填写好准考证号及姓名. 2、请将答案填写在答题卡上,填写在试题卷上的无效. 3、本学科试题卷共 4页,七道大题,满分120 分,考试时量 120 分钟.
4、考生可带科学计算器参加考试.一、选择题（本大题8个小题,每小题3分,满分24分）1．等于
A ．2
B ．
C ．
D ．2．如图1
所示的几何体的主视图是
3．下列各数：,其中无理数的个数是
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4
是同类二次根式的是
A
B C
D
5．如图2,已知AC ∥BD ,∠CAE =30°,
∠DBE =45,则∠AEB 等于A ．30° B ．45°
C ．60°
D ．75°
6．某班体育委员记录了7位女生1分钟仰卧起坐的个数分别为28,38,38,35,35,38,48,这组数据的中位数和众数分别是A ．35,38 B ．38,35 C ．38,38 D ．35,357．下面分解因式正确的是
A ．
B ．
C ．
D
．8．阅读理解：如图3,在平面内选一定点,引一条有方向的射线,再选定一个单位长度,那
么平面上任一点Ｍ的位置可由的度数与的长度
m 确定,
有序数对（,m ）
称为点的“极坐标”,
这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用：在图4的极坐标系下,如果正六边形的边长为2,有一边OA
在射线上,则正六边形的顶点C 的极坐标应记为
A ．(60°,4)
B ．(45°,4)
C ．(60)
D ．(50)
2-2
-12
12
-
,p １
3
221(2)1x x x x ++=++23(4)4x x x x -=-()ax bx a b x +=+222
2()m mn n m n -+=+O Ox MOx ÐθOM θM Ox 图1 A ． B ． C ． D ．
图2
图3 图4
二、填空题（本大题8个小题,每小题3分,满分24分）
9
在实数范围内有意义,则的取值范围是________________.
10．古生物学家发现350 000 000年前,地球上每年大约是400天,用科学记数法表示350 000
000=_______________.11．下列关于反比例函数的三个结论：①它的图象经过点（7,3）。

②它的图象在每一个象限内,随的增大而减小。

③
它的图象在二、四象限内.其中正确的是________________.
12．计算：＝___________.13．一元二次方程有两个不相等的实数根,
则的取值范围是________________.
14．如图5所示,AB 为⊙O 的直径,CD ⊥AB ,若AB =10,
CD =8,则圆心O 到弦CD 的距离为_________.15．如图6,已知△ABC 三个内角的平分线交于点O ,点D 在CA
的
延长线上,且DC =BC ,AD =AO ,若∠BAC =,则∠BCA 的度数为
.
16．已知：计算： 。

猜想： ．
三、 (本大题2个小题,每小题5分,满分10分)17．计算：
18．解方程：
四、(本大题2个小题,每小题6分,满分12分)
19．解不等式组北京初中数学周老师的博客：/beijingstudy
x 21
y x
=
y x 2111
a a a ---2
230x x k -+=k 80°22222221143+211= =21343+215
------；222222
65+43+21
= 65+43+21------22222222[(22)(21)]++65+(43)+(21)
=[(22)(21)]65)+(43)+(21)n n n n +-+---+-+--- （）++(()2
1022(sin301)---+°--2
12
24
x x =--51341233x x x x ì->-ïï
ïíï--ïïî
①≤②图6图5
20．小美周末来到公园,发现在公园一角有一种
“守株待兔”游戏.游戏设计者提供了一只兔子和一个有A 、B 、C 、D 、E 五个出入口的兔笼,而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的. 规定①玩家只能将小兔从A 、B 两个出入口放入,②如果小兔进入笼子后选择从开始进入的出入口离开,则可获得一只价值5元小兔玩具,否则应付费3元.
（1）问小美得到小兔玩具的机会有多大?
（2）假设有100人次玩此游戏, 估计游戏设计者可赚多少元?
五、(本大题2个小题,每小题7分,满分14分)
21．2021年5月12日,国家统计局公布了《2021年农民工监测调查报告》,报告显示：我国
农民工收入持续快速增长.某地区农民工人均月收入增长率如图7所示,并将人均月收入绘制成如图8所示的不完整的条形统计图.
图7 图8
根据以上统计图解答下列问题：
（1）2021年农民工人均月收入的增长率是多少？（2）2011年农民工人均月收入是多少？（3）小明看了统计图后说：“农民工2021年的人均月收入比2011年的少了.”你认为小明
的说法正确吗？请说明理由.
22．如图9,A ,B ,C 表示修建在一座山上的三个缆车站的位置,AB ,BC 表
示连接缆车站的钢缆.已知A ,B ,C 所处位置的海拔AA 1,BB 1,CC 1,分别为160米,400米,1000米,钢缆AB ,BC 分别与水平线AA 2,BB 2所成的夹角为30°,45°,求钢缆AB 和BC 的总长度.（结果精确到1米）
六、(本大题2个小题,每小题8分,满分16分)
23．如图10,已知⊙O 的直径为AB ,AC ⊥AB 于点A ,BC 与⊙O 相交于
点D ,在AC 上取一点E ,使得ED =EA .（1）求证：ED 是⊙O 的切线.
（2）当OA =3,AE =4时,求BC 的长度.
北京初中数学周老师的博客：
/beijingstudy
图9
图10
图9
24．在体育局的策划下,市体育馆将组织明星篮球赛,为此体育局推出两种购票方案(
设购票张数为,购票总价为):
方案一: 提供8 000元赞助后,每张票的票价为50元;方案二: 票价按图11中的折线OAB 所表示的函数
关系确定.
（1）若购买120张票时, 按方案一和方案二分别应付的
购票款是多少?
（2）求方案二中与的函数关系式;
（3）至少买多少张票时选择方案一比较合算?
七、(本大题2个小题,每小题10分,满分20分)
25．如图12, 已知二次函数的图像过点O(0,0), A (4,0),B(),M 是OA 的中点.（1）求此二次函数的解析式;
（2）设P 是抛物线上的一点,过P 作轴的平行线与抛物线交
于另一点Q ,要使四边形PQAM 是菱形,求P 点的坐标;（3）将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折,得曲线
OB ′A (B ′为B 关于轴的对称点),在原抛物线轴的上方部分取一点C ,连接CM ,CM 与翻折后的曲线OB ′A 交于点D ,若△CDA 的面积是△MDA 面积的2倍,这样的点C 是否存在?若存在求出C 点的坐标,若不存在,请说明理由.
26．如图13,14,已知四边形ABCD 为正方形,在射线AC 上有一动点P ,作PE ⊥AD (或延长线)
于E ,作PF ⊥DC (或延长线)于F ,作射线BP 交EF 于G .
（1）在图13中,设正方形ABCD 的边长为2, 四边形ABFE 的面积为y , AP =,求y 关于的
函数表达式．
（2）结论GB ⊥EF 对图13,图14都是成立的,请任选一图形给出证明。

（3）请根据图14证明：△FGC ∽△PFB ．
图13图
14
x y y
x 2,x x x x x x x 图12
图11
2021年常德市初中毕业学业考试
数学参考答案及评分标准
说明:
(一)《答案》中各行右端所注分数表示正确作完该步应得的累加分数,全卷满分120分.(二)《答案》中的解法只是该题解法中的一种或几种,如果考生的解法和本《答案》不同,可参照本答案中的标准给分。

(三)评卷时要坚持每题评阅到底,勿因考生解答中出现错误而中断本题的评阅。

如果考生的解答在某一步出现错误,影响后继部分而未改变本题的内容和难度者,视影响程度决定后面部分的得分,但原则上不超过后面部分应得分数的一半,如有严重的概念错误,就不给分。

一、选择题（本大题8个小题,每小题3分,满分24分）
1．A 2．B 3．B 4．D 5．D 6．C 7．C 8．A 二、填空题（本大题8个小题,每小题3分,满分24分）
9． 10．3.5×108 11．①② 12． 13．
14．3 15．60° 16．,
注：16题对一空记2分,对二空记3分.三、 (本大题2个小题,每小题5分,满分10分)
17．解：原式=4+1 4 …………………………………………4分
= …………………………………………5分
注：第一个等号每算对一个运算给1分,共4分18．解：方程两边同乘以,得
……………………………2分 ……………………………4分 经检验：是原方程的根
所以原方程的解是. ……………………………5分四、 (本大题2个小题,每小题6分,满分12分)
19．解：解不等式①,得 ……………………………2分
解不等式②,得 ……………………………4分
所以不等式组的解集是 ……………………………6分
20．解：（1）画树状图（或列表略）
……………………………2分
小美得到小兔玩具的概率=
……………………………4分
（2）100人次玩此游戏,估计有人次会获得玩具,花费20×5=100元,
估计将有100-20=80人次要付费,
估计游戏设计者可赚80×3-100=140(元). ……………………………6分
12x ≥211a -9
8
k <171
23
n +1
2--1
2
(2)(2)x x +-22x +=0x =0x =0x =3
2
x >-1x ≤3
12
x -<≤21
105=1
100205
´=开始
入口
A B
出口 A B C D E A B C D E
五、 (本大题2个小题,每小题7分,满分14分)21．解：（1）10%
……………………………2分
（2）2205元 ……………………………4分 （3）不正确
……………………………5分
2012的人均月收入= …………7分
22．解：在Rt △ABD 中, BD =400-160=240, ∠BAD =30° ……………………………1分 则AB =2BD =480 m. ……………………………3分
在Rt △BCB
中, CB 2
=1000-400=600,∠CBB 2=45° ……………………………4分
则CB m.
……………………………6分
所以AB +BC ≈1328 (米)
答：钢缆AB 和BC 的总长度约为1328米. ……………………………7分六、 (本大题2个小题,每小题8分,满分16分)23．解：（1）证明：连结OD .
∵OD =OA ,EA =ED ,
∴∠3=∠4, ∠1=∠2 ……………2分∴∠1+∠3=∠2+∠4 , 即∠ODE =∠OAE ∵AB ⊥AC , ∠OAE =90°
∴∠ODE =90°∴DE 是⊙O 的切线. ………4分
（2）∵OA =3, AE =4 ∴OE =5 ………5分
又∵AB 是直径, ∴AD ⊥BC ∴∠1+∠5=90°,∠2+∠6=90°
又∵∠1=∠2 ∴∠5=∠6 ,∴DE =EC , ……………………………6分∴E 是AC 的中点.
∴OE ∥BC 且 OE =BC
∴BC =10 ……………………………8分24．解：（1）按方案一购120张票时,（元）。

按方案二购120张票时,由图知（元）……………………2分（2）当时,设,则,
∴.……………………………3分
时, 设,解得,∴综合上面所得…………………………5分（3）由(1)知, 购120张票时,按方案一购票不合算.
即选择方案一比较合算时,应超过120.…………………………6分设至少购买张票时选择方案一比较合算则应有,解得:(张)
∴至少买200张时选方案一. …………………………8分
2205(120%)26462205.´+=>1
2
80005012014000y =+⨯=13200y =0100x <≤y kx =12000100,120k k =\=120y x =100x ≥y kx b =+1200010013200120k b k b
ì=+ïïíï=+ïî60,6000k b ==606000.
y x =+120(0100)606000(100)x
x y x x ì<ïï=í
ï+>ïî
≤x x 800050x +≤606000x +200x ≥A B E
图10
七、 (本大题2个小题,每小题10分,满分20分)
25．解: （1）方法一：设二次函数的解析式为则∴ ……3分方法二：∵图像过点O (0,0), A （4,0）,
∴设,
又B ()在曲线上,∴
∴……………………………………3分（2）∵M 是OA 的中点,OA =4,∴MA =2,
若四边形PQAM 是菱形,则PQ =2,
又根据抛物线关于对称轴对称,即P 、Q 关于直线对称,∴P 的横坐标为1, Q 的横坐标为3.……………………………………5分∴P 的坐标为(1,, Q 的横坐标为(3,.而计算PM ,故所求的P (1,满足四边形PQAM 是菱形 ………6分
（3）设存在这样的C 点.设C 、D 的坐标分别为∵二次函数在轴下方的部分向上翻折,得曲线OB′A ,
∴曲线OB′A 的解析式为……………………………………7分若△CDA 的面积是△MDA 面积的2倍,∴△CMA 的面积是△MDA 面积的3倍,
∴, ∴,,
∴……………①…………………………8分
过D ,C 分别作DD 1,CC 1垂直于轴,∴△MD 1D ∽△MC 1C ,∴,∴即………………②…………………………9分
将②代入①得:,代入二次函数的解析式得2y 00164042a c a b c b c a b c ìïïì=ïïïïïïïï=ïïïïïï=++Þ=
ííïïïïïïïï=-++ïïïïïïîïïî
2(4)y x x =-=-(4y ax x =-）2,-
2a -(4)
y x =-2x =2x =--21122(,),(,)
x y x y x (4)y x =--1
21
2312MA y MA y = 123y y =31122(4)3(4)
x x x x -=--x 11113MC CC MD DD ==1223,2
x x -=-124
3
x x +=
211480
x x --=22x =±2y =
故C 的坐标为,或.………………………10分26．解：（1）∵EP AD ,PF DC ,∴四边形EPFD 是矩形,
∵AP=,
∴AE =EP =DF
,
,
…………………………1分∴
………………………………3分（2）在图13中证明GB ⊥EF ．①证法一：延长FP 交AB 于H ,
∵PF ⊥DC ,PE ⊥AD ,∴PF ⊥PE ,PH
⊥HB ,
即∠BHP =90°
………………………………4分∴在Rt △
FPE 与Rt △BHP 中
因 ABCD 是正方形,
∴易知PF =FC =HB ,EP =PH ∴Rt △FPE ≌Rt △BHP ……………………………5分∴∠PFE =∠PBH ,又∠FPG =∠BPH ,
∴△FPG ∽ △BPH ,
∴∠FGP =∠BHP =90°,即GB ⊥EF ………………………………6分
分析: 要GB ⊥EF ,只要∠5 +∠3=90°,而∠5 +∠4=90°,只要证∠3=∠4,
而∠2 =∠3, ,只要证∠4=∠2,而∠4=∠1,故只要∠1=∠2.
证法二: 如答案图13-2,连接PD ,延长FP 交AB 于H ,
延长EP 交BC 于M ,
易知DC =BC , ∠DCP =∠BCP =45°,PC =PC ,∴△DPC ≌△BP C ……………………4分
∴∠DPC =∠BPC ,即∠1+45°=45°+∠2,
∴∠1=∠2,……………………………5分
而∠1=∠4, ∠2 =∠3, ∴∠3=∠4,
而∠5 +∠4=90°,∴∠5 +∠3=90°,
∴∠PGE=180°-(∠5 +∠3)=90°,即GB ⊥EF .……………………………6分注:在图14中证法与上面类似.（3）证法一：∵GB ⊥EF ,∴…①……7分连接PD ,在△DPC 和△BPC 中
∵DC =BC , ∠DCP =∠BCP =135°,PC =PC ,(2+(2-^^x 2DE PF FC ===-11
422ABFE S ED DF BC FC =-´-´四边形114(2)2(2)22=---×-21
24
x =+,BPF CFG Ð=ÐA B C
E P
F G
D 答案图
13-1
H C
F D A B
E P
G
答案图13-2H M
3
24
15
∴ △DPC ≌△BP C,∴PD =PB ．………………………8分
而PD =EF , ∴EF =PB ．又∵GB ⊥EF ,∴∴而PF =FC , ∴………………………9分
∴
………②∴由①②得△FGC ∽△PFB ．………………………10分证法二:
∵GB ⊥EF ,∴………① ………………………7分
又∵取BF 的中点M ,则有:
∴B,C,G,F 四点在以M 为圆心,MB 为半径的圆上.…………………………9分∴………②∴由①②得△FGC ∽△PFB ．
…………………………10分
2,PF FG EF =´2,
PF FG PB =´,
PF FC FG PB ´=´,PF FG
PB FC
=,BPF CFG Ð=Ð,,BG FG BC CF ^^,,
MG MF MB MC MF MB ====,PBF FCG Ð=Ð
23. 在平面直角坐标系xOy 中,二次函数的图象与x 轴交于
A 、
B 两点（点A 在点B 的左侧）,与y 轴交于点
C 。

（1）求点A 的坐标。

（2）当时,求m 的值。

（3）已知一次函数,点P （n ,0）是x 轴上的一个动点,在（2）的条件下,过点P 垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ,交二次函数的图象于N 。

若只有当时,点M 位于点N 的上方,
求这个一次函数的解析式。

24. 在□ABCD 中,∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ,交直线DC 于点F 。

（1）在图1中证明。

（2）若,G 是EF 的中点（如图2）,直接写出∠BDG 的度数。

（3）若,FG ∥CE ,,分别连结DB 、DG （如图3）,求∠BDG 的度数。

2
(3)3(0)y mx m x m =+-->45ABC ∠=︒y kx b =+2(3)3(0)y mx m x m =+-->22n -<<CE CF =90ABC ∠=︒120ABC ∠=︒FG CE =
A
M
N
B P C
25. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,我把由两条射线AE ,BF 和以AB 为直径的半圆所组成的图形叫作图形C （注：不含AB 线段）。

已知A （,）,B （,）,AE ∥BF ,且半圆与y 轴的交点D 在射线AE 的反向延长线上。

（1）求两条射线AE ,BF 所在直线的距离。

（2）当一次函数的图象与图形C 恰好只有一个公共点时,写出b 的取值范围。

当一次函数的图象与图形C 恰好只有两个公共点时,写出b 的取值范围。

（3）已知□AMPQ （四个顶点A ,M ,P ,Q 按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C 上,且不都在两条射线上,求点M 的横坐标x 的取值范围。

26．(10分)在等腰△ABC 中,AB ＝AC ＝5,BC ＝6．动点M 、N 分别在AB 、AC 上(M 不与A 、B
重合),且MN ∥BC ．将△AMN 沿MN 所在的直线折叠,使点A 的对应点为P ．(1)当MN 为何值时,点P 恰好落在BC 上？
(2)设MN ＝x ,△PMN 与△ABC 重叠部分的面积为y ,试写出y 与x 的函数关系式．当x 为何值时,y 的值最大？最大值是多少？1-010y x b =+y x b =+。