专题120 有理数的除法(拓展提高)(解析版)

专题1.20 有理数的除法（拓展提高）一、单选题
1．21÷(－7)的结果是（）
A．3 B．－3 C．1
3
D．
1
3
【答案】B
【分析】直接根据有理数的除法法则进行求解即可；
【详解】21÷（-7）=-3，
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的计算，正确掌握计算方法是解题的关键；
2．已知数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论不正确的是（）
A．a+b＜0 B．a﹣b＞0 C．b＜﹣a＜a＜﹣b D．b
a
＞0
【答案】D
【分析】根据数轴上a、b的位置结合有理数的运算法则即可判断．【详解】解：由数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|，
∴﹣b＞a，
∴a+b＜0，a﹣b＞0，b
a
＜0，b＜﹣a＜0＜a＜﹣b．
故选：D．
【点睛】本题考查数轴的定义，解题的关键是正确理解数轴与有理数之间的关系，本题属于基础题型．3．某药店经营的抗病毒药品，在市场紧缺的情况下提价100%，物价部门查处后，限定其提价的幅度只能是原价的20%，则该药品现在应降价的幅度是（）
A．40% B．45% C．50% D．80%
【答案】A
【分析】根据“在市场紧缺的情况下提价100%”，是把原价看作单位“1”，提价100%后的价钱是原价的：1＋100%＝200%，限定其提价的幅度：（1＋20%）＝120%，求该药品现在降价的幅度就是求降低的价格是市场紧缺时价格的百分之几，用降低的价格除以市场紧缺时的价格．
【详解】[（1＋100%）−（1＋20%）]÷（1＋100%）
＝0.8÷2
＝0.4 ＝40%， 故选：A ．
【点睛】此题考查除法应用题，求一个数是另一个数的百分之几，用一个数除以另一个数． 4．已知,a b 为实数，下列说法：①若,a b 互为相反数，则
1a
b
=-；②若0a b a b -+-=，则b a >；③若0a b +<，0ab >，则33a b a b +=--；④若a b >，则()()0a b a b +⨯->；⑤若,0a b ab ><且
22a b -<-，则4a b +>，其中正确的是（ ）．
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．④⑤
【答案】C
【分析】①除0外，互为相反数的商为-1，可作判断；②由a-b 的绝对值等于它的相反数，得到a-b 为非正数，得到a 与b 的大小，即可作出判断；③由两数之和小于0，两数之积大于0，得到a 与b 都为负数，即2a+3b 小于0，利用负数的绝对值等于它的相反数化简得到结果，即可作出判断；④由a 绝对值大于b 绝对值，分情况讨论，即可作出判断；⑤分情况可作判断． 【详解】解：①若ab≠0，且a ，b 互为相反数，则
1a
b
=-，故不正确； ②∵|a-b|+a-b=0，即|a-b|=-(a-b)，∴a-b≤0，即a≤b ，故不正确；
③若ab ＞0，则a 与b 同号，由a+b ＜0，则a ＜0，b ＜0，则|a+3b|=-a-3b ，正确； ④若|a|＞|b|，
当a ＞0，b ＞0时，可得a ＞b ，即a-b ＞0，a+b ＞0，所以(a+b)•（a-b ）为正数； 当a ＞0，b ＜0时，a-b ＞0，a+b ＞0，所以(a+b)• (a -b)为正数； 当a ＜0，b ＞0时，a-b ＜0，a+b ＜0，所以(a+b)• (a -b)为正数； 当a ＜0，b ＜0时，a-b ＜0，a+b ＜0，所以(a+b)• (a -b)为正数，正确； ⑤∵,0a b ab ><， ∴a>0，b<0， 当0＜a ＜2时， ∵22a b -<-， ∴2-a ＜2-b ，
∴a-b<0，不符合题意； 所以a≥2，
∵|a-2|＜|b-2|， ∴a-2＜2-b ，
则a+b<4，故不正确； 则其中正确的有③④． 故选C ．
【点睛】此题考查了相反数，绝对值和有理数的运算法则，熟练掌握各种运算法则是解本题的关键． 5．有两个正数a ，b ，且a b <，把大于等于a 且小于等于b 的所有数记作[],a b ．例如，大于等于1且小于等于4的所有数记作[]1,4．若整数m 在[]5,15内，整数n 在[]30,20--内，那么n
m
的一切值中属于整数的个数为（ ） A ．5个 B ．4个
C ．3个
D ．2个
【答案】A
【分析】先根据题意确定m 、n 的范围，然后用列举法即可解答． 【详解】解：∵整数m 在[]5,15内，整数n 在[]30,20--内 ∴5≤m≤15，-30≤n≤-20
∴
3020515m n --≤≤，即4
63m n -≤≤- ∴n
m
的一切值中属于整数有-2、-3、-4、-5、-6． 故答案为A ．
【点睛】本题主要考查了有理数的除法，根据题意确定m 、n 的取值范围是解答本题的关键．
6．将一列有理数－1，2，－3，4，－5，6，……，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C 的位置）是有理数4，那么，“峰6”中C 的位置是有理数 ，2008应排在A 、B 、C 、D 、E 中 的位置．其中两个填空依次为（ ）
A ．-28 ，C
B ．-29 ， B
C ．-30，
D D ．-31 ，E
【答案】B
【分析】观察发现规律：每个峰排列5个数，并且“峰n”的D 位置是（﹣1）n ·5n ，奇数是负数，偶数是正数，根据规律解答即可．
【详解】解：观察发现：每个峰排列5个数，并且“峰n”的D 位置是（﹣1）n ·5n ，奇数是负数，偶数是正数，
则“峰6”中D 的位置是有理数为5×6=30， ∴“峰6”中C 的位置是有理数为﹣29， ∵2008÷5=401 (3)
∴2008应排在“峰402”的第2个数，在B 位置， 故选：B ．
【点睛】本题考查了数字的变化规律探究，观察出每个峰有5个数，并且“峰n”的D 位置是（﹣1）n ·5n 是解答的关键．
二、填空题
7．定义一种新的运算：x *y =2x y x +，如：3*1=
3213+⨯=5
3
，则2*3=__________． 【答案】4
【分析】把原式利用题中的新定义计算转换为有理数运算，即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义得：223
2*342
+⨯==， 故答案为：4
【点睛】此题考查了新定义运算和有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 8．已知：2|2|(1)a b +++取最小值，则a
ab b
+=________． 【答案】4
【分析】先根据绝对值的非负性、偶次方的非负性求出a 、b 的值，再代入求值即可得． 【详解】
20a +≥，2(1)0b +≥，
2120()b a +∴++≥，
∴当2120,0()b a ++==时，212()b a +++取得最小值0，
20,10a b ∴+=+=，
解得2,1a b =-=-， 则()212221
4a ab b +
=-⨯-+=+-=-， 故答案为：4．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性、偶次方的非负性、有理数的乘除法与加法，熟练掌握绝对值与偶次方的非负性是解题关键．
9．有时两数的和恰等于这两数的商，如()4242-+=-÷，4
242
3333
+=÷等．试写出另外1个这样的等式______． 【答案】99
3322
-
+=-÷． 【分析】根据两数的和恰等于这两数的商的要求，举出实例即可．
【详解】解：993322-
+=-÷，()()11
-1-122+=÷． 故答案为：99
3322
-+=-÷．
【点睛】本题考查生活经验的积累问题，掌握两数的和恰等于这两数的商是解题关键．
10．已知m 、n 为有理数，那么m n -可看成数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离．若有理数x 在数
轴上的位置如图所示，则
22
x x +-型的值为________．
【答案】1
【分析】由数轴上表示x 的点的位置，得到x 小于-2，可得出x+2都小于0，利用绝对值的代数意义：负数的绝对值等于它的相反数化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：由数轴上表示x 的点的位置,得到x<-2， ∴x+2<0， ∴
22
x x +-＝
2
2
x x ----=1，
故答案为1．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值，熟练掌握绝对值的化简是解本题的关键．
11．对于任意有理数a ，b ，c ，d ，规定一种运算：
a a c d
b b d
c =-，例如5(3)51
23
1217⨯--⨯=-=-．那么
3234
--=_________．
【答案】6
【分析】根据规定的运算进行列式，再根据有理数的运算法则进行计算即可．
【详解】
()()32
3423126634
-=⨯--⨯-=-=-． 故答案为：6．
【点睛】本题考查了新定义运算及有理数的混合运算，理解题意，掌握运算法则是解题的关键． 12．如图，有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点的位置如图所示： 则下列结论：①a+b-c ＞0：②b-a ＜0：③bc-a ＜0：④
|a|b |c|
-+=1a |b|c
．其中正确的是_______．
【答案】②③．
【分析】根据数轴，得到11b a c <-<<<，然后绝对值的意义进行化简，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，则
11b a c <-<<<，
∴0a b c +-<，故①错误；
0b a -<，故②正确； 0bc a -<，故③正确；
1(1)13a c
b a
b c
-
+=--+=，故④错误； 故答案为：②③．
【点睛】本题考查了数轴的定义，绝对值的意义，解题的关键是掌握数轴的定义，正确得到
11b a c <-<<<．
13．一天，甲乙两人利用温差测试测量山峰的高度，甲在山顶测得的温度是-4℃，乙此时在山脚测得的温度是8℃．已知在该地区高度每增加100米，气温大约降低0.6℃，则这个山峰的高度大约是__________米． 【答案】2000
【分析】先根据题意列出运算式子，再计算有理数的加减乘除运算即可得． 【详解】由题意得：()()840.6100840.6100--÷⨯=+÷⨯⎡⎤⎣⎦，
120.6100=÷⨯， 20100=⨯，
2000=（米）， 故答案为：2000．
【点睛】本题考查了有理数加减乘除运算的实际应用，依据题意，正确列出运算式子是解题关键． 14．1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：
如果正整数m 最少经过6步运算可得到1，则m 的
值为__． 【答案】10或64
【分析】根据得数为1，可倒推出第5次计算后得数一定是2，第4次计算后得4，依此类推，直至倒退到第1次前的数即可．
【详解】解：如图，利用倒推法可得：
由第6次计算后得1，可得第5次计算后的得数一定是2， 由第5次计算后得2，可得第4次计算后的得数一定是4，
由第4次计算后得4，可得第3次计算后的得数是1或8，其中1不合题意，因此第3次计算后一定得8 由第3次计算后得8，可得第2次计算后的得数一定是16， 由第2次计算后得16，可得第1次计算后的得数是5或32， 由第1次计算后得5，可得原数为10， 由第1次计算后32，可得原数为64，
故答案为：10或64．
【点睛】考查有理数的运算，掌握计算法则是正确计算的前提，理解题意是重中之重．
三、解答题 15．计算 （1）77()8181
-
+-= （2）()015-- = （3）( 2.25)(80)-⨯+= （4）3217⎛⎫
÷-
⎪⎝⎭
= 【答案】（1）0；（2）15；（3）-180；（4）-49
【分析】（1）先化简绝对值，再根据有理数加法法则计算； （2）先将减法化为加法再计算； （3）根据乘法法则计算；
（4）将除法化为乘法，再根据乘法法则计算． 【详解】（1）77()8181-
+-=77
()8181
-+=0； （2）()015-- =0+15=15； （3）( 2.25)(80)-⨯+=-180； （4）3217⎛⎫÷-
⎪
⎝⎭
=721()3⨯-=-49． 【点睛】此题考查有理数的加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则，熟练掌握各计算法则是解题的关键．
16．如图A 在数轴上所对应的数为2-．
（1）点B 在点A 右边距A 点4个单位长度，求点B 所对应的数；
（2）在（1）的条件下，点A 以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B 以每秒3个单位长度沿数轴向右
所在的点处时，求,A B两点间距离．
运动，当点A运动到6
【答案】（1）2；（2）14个单位长度
【分析】（1）根据左减右加可求点B所对应的数；
（2）先根据时间=路程÷速度，求出运动时间，再根据列出=速度×时间求解即可．
【详解】解：（1）-2+4=2．
故点B所对应的数是2；
（2）（-2+6）÷2=2（秒），
2+2+（2+3）×2=14（个单位长度）．
答：A，B两点间距离是14个单位长度．
【点睛】本题考查了数轴，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，列出算式．
17．某集团公司对所属甲．乙两分厂下半年经营情况记录（其中“+”表示盈利，“﹣”表示亏损，单位：亿元）如下表．
（1）计算八月份乙厂比甲厂多亏损多少亿元？
（2）分别计算下半年甲、乙两个工厂平均每月盈利或亏损多少亿元？
【答案】（1）0.3亿元，（2）甲平均每月盈利0.4亿元，乙平均每月亏0.2亿元．
【分析】（1）由表可得出乙厂亏0.7亿元，甲厂亏0.4亿元，由此可得出结果．
（2）将甲乙两厂每个月的盈利相加即可得出结果．
【详解】解：（1）由图可得出乙厂亏0.7亿元，甲厂亏0.4亿元，
0.7-0.4=0.3（亿元）
∴可得出乙比甲多亏0.3亿元．
（2）甲：﹣0.2﹣0.4+0.5+0+1.2+1.3＝2.4亿元，2.4÷6=0.4（亿元）；
乙：1.0﹣0.7﹣1.5+1.8﹣1.8+0＝﹣1.2亿元，-1.2÷6=-0.2（亿元）．
∴甲平均每月盈利0.4亿元，乙平均每月亏0.2亿元．
答：八月份乙厂比甲厂多亏损0.3亿元；甲平均每月盈利0.4亿元，乙平均每月亏0.2亿元
【点睛】本题考查了正负数的意义和有理数的加减法，解题关键正确理解正负数的意义，准确进行计算．
18．请你先认真阅读材料： 计算12112()()3031065
-
÷-+- 解：原式的倒数是21121-+()3106530⎛⎫
-÷-
⎪⎝⎭
＝2112
()(30)31065
-
+-⨯-
＝
23×（﹣30）﹣110×（﹣30）+16
×（﹣30）﹣2
5×（﹣30）
＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12） ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式等于﹣
110
再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：11322()()4261437
-÷-+-． 【答案】1
14
-
． 【分析】根据题意，先计算出113224261437⎛⎫⎛⎫
-÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的倒数132216143742⎛⎫⎛⎫-
+-÷- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭的结果，再算出原式结果即可．
【详解】解：原式的倒数是：
132216143742⎛⎫⎛⎫
-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()132********⎛⎫
=-+-⨯- ⎪⎝⎭
13224242424261437⎛⎫
=-⨯-⨯+⨯-⨯ ⎪⎝⎭
()792812=--+-
14=-，
故原式114
=-
． 【点睛】本题主要考查了有理数的除法，读懂题意，并能根据题意解答题目是解决问题的关键．
19．设0a >，x ，y 为有理数，定义新运算：||a x a x =⨯※．如323|2|6=⨯=※，()414|1|a a -=⨯-※．
（1）计算2021
0※和()20212-※的值． （2）若0y <，化简()23y -※．
（3）请直接写出一组,,a x y 的具体值，说明()a x y a x a y +=+※※※不成立．
【答案】（1）0；4042；(2)6y -；（3）1a =，2x =，3y =-（答案不唯一）
【分析】(1)根据题意※表示前面的数与后面数的绝对值的积，直接代入数据求解计算；
(2)有y<0，得到y 为负数，进而得到-3y 为正数，去绝对值后等于本身-3y ，再代入数据求解即可；
(3)按照题意要求写一组具体的,,a x y 的值再验算即可．
【详解】解：(1)根据题意得:2021
02021|0|0=⨯=※； ()202122021|2|4042-=⨯-=※；
(2)因为0y <，
所以30y ->，
所以()()232|3|236y y y y -=⨯-=⨯-=-※；
(3)由题意，当,,a x y 分别取1a =，2x =，3y =-时，
此时()2311※※(-1)=1-=，而11※2※(-3)=2+3=5+，
所以，()a x y a x a y +=+※※※不成立．
【点睛】本题是新定义题型，按照题目中给定的运算要求和顺序进行求解即可．
20．我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A 类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B 类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C 类，例如3，6，9等．
（1）2020属于 类（填A ，B 或C ）；
（2）①从A 类数中任取两个数，则它们的和属于 类（填A ，B 或C ）；
②从A 类数中任意取出15个数，从B 类数中任意取出16个数，从C 类数中任意取出17个数，把它们都加起来，则最后的结果属于 类（填A ，B 或C ）；
（3）从A 类数中任意取出m 个数，从B 类数中任意取出n 个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C 类，则下列关于m ，n 的叙述中正确的是 （填序号）．
①m+2n属于C类；②|m﹣n|属于B类；③m属于A类，n属于C类；④m，n属于同一类．
【答案】（1）A；（2）①B；②B；（3）①④
【分析】（1）计算2020÷3，根据计算结果即可求解；
（2）①从A类数中任取两个数进行计算，即可求解；
②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余数相加，再除以3，根据余数判断即可求解；
（3）根据m，n的余数之和，举例，观察即可判断．
【详解】解：（1）2020÷3＝673…1，所以2020被3除余数为1，属于A类；
故答案为：A；
（2）①从A类数中任取两个数，如：（1+4）÷3＝1…2，（4+7）÷3＝3…2，被3除余数为2，则它们的和属于B类；
②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余数相加，得
（15×1+16×2+17×0）＝47÷3＝15…2，
∴余数为2，属于B类；
故答案为：①B；②B；
（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，余数之和为：m×1+n×2＝m+2n，
∵最后的结果属于C类，
∴m+2n能被3整除，即m+2n属于C类，①正确；
②若m＝1，n＝1，则|m﹣n|＝0，不属于B类，②错误；
③若m＝1，n＝1，③错误；
④观察可发现若m+2n属于C类，m，n必须是同一类，④正确；
综上，①④正确．
故答案为：①④．
【点睛】本题考查了新定义的应用和有理数的除法，解题的关键是熟练掌握新定义进行解答．。