ch6 组合数学第3讲
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• 为2的砝码3枚,使用时组合为:0枚、1枚、2枚、3枚,对应 的重量0、2、4、6,对应数列为1、0、1、0、1、0、1,对 应的母函数为x0+x2+x4+x6。
• 重量为1与为2的组合,则为 (x0+x1+x2)(x0+x2+x4+x6)=x0+x2+x4+x6+x1+x3+x5+x7+x2+x4+x6 +x8=x0+x1+2x2+x3+2x4+x5+2x6+x7+x8,
解:Fibonacci 数列的递推方程为: fn -fn1-fn2=0 其特征方程为: t2 t 1 = 0 判别式=5
特征根:
t 1 2
5
均为单重根,所以:
n
n
通解为 :
fn
b
1 2
5
d
1
2
5
将f0=1,f1=1代入其中:
解出:
b
1 5
1 2
5
d
1 5
1 2
5
故Fibonacci 数列的通项公式:
n1
n1
fn
1 5
1 2
5
1 5
1 2
5
例题6.11.2 数列������0 = 3,������1 = 26,递推公式:������������ = ������������−1 + 12������������−2
• =1+(a+b+c)+(a2+b2+c2+ab+ac+bc)+(a2b+a2c+ab2+ac2+a bc+b2c+bc2)+(a2b2+a2bc+ab2c+abc2+b2c2+a2c2)+(a2b2c+ a2bc2+ab2c2)+a2b2c2。
• 不出一人1种方式,只出1人有3种,出2人的方式为2个a ,或2个b,或2个c,或1个a与1个b,或1个a与1个c,或1 个b与1个c。
• 母函数又叫生成函数,母函数的应用:求 若干个数构成的所有合数。
• 例题6.9.1用重量为1的砝码2枚,重量为2的砝码3枚,可以组 成哪些重量,对应方案各有几种?
• 为1的砝码2枚,在使用时组合为:0枚、1枚、2枚,对应的 重量为0、1、2,对应数列为1、1、1,母函数x0+x1+x2,指 数表示此类砝码在组合中重量,对于为1的砝码则为砝码数。
将������0 = 3, ������1 = 26代入其中
3 = ������ + ������
(1)
26 = 4������ − 3������
(2)
将(1)式乘上(-3)得到:
−9 = −3������ − 3������
(3)
(2)-(3)得到
35 = 7������
������ = 5
������ = 3 − ������ = 3 − 5 = −2
1
−
1+ 2
5
������ + ൬1 −
1+ 2
5൰
������
=
0
⇒
•
1+
5−1+ 2
5 ������ = 1 ⇒ ������ =
1 5
,
������
=
−
1 5
1
1
•
������ ������
=
5
(1−1+2
5������)
−
5
(1−1−2
5������)
1
1
•
������ ������
=
5
(1−1+2
• 答案是有的:
– 那么如何快速求出这类问题的通项公式?
母函数
• 数列������0, ������1, ������2, … , ������������, …,对应的母函数定义 为:������(������) = ������0 + ������1������ + ������2������2 + ������3������3 + ⋯ + ������������������������ + ⋯
•
=G(x)/x-1
• xG(x)+x2G(x)= G(x)-x
• G(x)=x/(1-x-x2)
• 1-x-x2=0的两个根为:1± 5
2
•
������ 1−������−������2
=
(1−1+2
������ 5������)(1−1−2
5������)=(1−1���+���2
5������)
(a0+a1x1+a2x2+...)(b0+b1x1+b2x2+...) =a0b0+(a0b1+a1b0)x1+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+....
利用母函数求递推关系
• 斐波那契数列:0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 89…
• G(x)=x1+x2+2x3+3x4+5x5… • xG(x)=x2+x3+2x4+3x5+5x6… • G(x)+xG(x)=x1+2x2+3x3+5x4…
������������ = 5 ∗ 4������ − 2 ∗ (−3)������
例题6.11.3 数列������0 = 1,������1 = 4,递推公式:������������ = −4������������−1 − 4������������−2
+
������ (1−1−2
5������)
• 1 − 1+ 5 ������ ������ + 1 − 1− 5 ������ ������ = ������
2
2
•
代入������ = 1,得
1
−
1+ 2
5
������ +
1
−
1− 2
5
������ = 1
•
代入������ = 0,得������ + ������ = 0 ⇒
• 由于=右边为0称为线性常系数递推关系。上述递推关系对 应的特征方程为:������������ + ������1������������−1 + ������2������������−2 + ⋯ + ������������ = 0,如 ������2 − ������ − 1 = 0
• 设其特征根依次为������1, ������2, … , ������������, • 当每个根为实数时,通式������������ = ⋯ + (������0 + ������1������ + ������2������2 +
1− 2
5
������
3
+⋯
• = 1 1−1 + 1
5
5
1+
5
1
−
2
1− 5 1 2
������ +
1 5
ቈ
1+ 5 2
2
−
1− 5 2
2
������2 + ⋯ 2
������
−
1− 5 ������ 2
������������ + ⋯
• 求解齐次线性常系数递推关系:特征根法
• 例题6.9.2 设有a,b,c三个班的学生各2人,请列举所有可能 的组合情况,同一个班的学生不互相区分。
• a班学生出现0次、1次、2次:a0+a1+a2;
• b班学生出现0次、1次、2次:a0+b1+b2;
• c班学生出现0次、1次、2次:c0+c1+c2;
• 可能的组合为:(1+a+a2)(1+b+b2)(1+c+c2)
若 r1 和 r2 是t2 C1 t C2 = 0的根,
若r1 r2 ,即单重根,则存在常数 b, d,
使 an = br1n + dr2n , n = 0, 1, 2, …
若r1 = r2 ,即二重根,则存在常数 b, d,
使an = brn + dnrn
n = 0, 1, 2, …
例题6.11.1 求 Fibonacci 数列1,1, 2, 3, 5, …的通项公 式。
• 若数列������0, ������1, ������2, … , ������������, …前������项的值已知,如Fibonacci的 前2项已知的,且存在常数������1, ������2, … , ������������(������������ ≠ 0)满足以下递 推式:������������ + ������1������������−1 + ������2������������−2 + ⋯ + ������������������������−������ = 0,如 Fibonacci满足������������ − ������������−1 − ������������−2 = 0
5������)
−
5
(1−1−2
5������)
1 + ������ + ������2 + ⋯ = 1
1−������
•
������ ������
=
1 5
1
+
1+ 2
5
������
+
1+ 2
5
������
2
+
1+ 2
5
������
3
+⋯
−
1 5
1
+
1− 2
5
������
+
1− 2
5
������
2
+
⋯ + ������������������−1������������������−1)������������������ + ⋯ , • 其中������������为根������������的重数,当为单重根时就是������0������������������。
特别的:
设 an = C1 an1 +C2 an2
1−������ – 左边乘上(1 − ������)得到1
•
2、若������������=σ������������=0 ������������ =(a0+a1+a2+...ak),则������ ������
=
������ ������ 1−������
• B(x)=b0+b1x1+b2x2+....
• =(a0+a1x1+a2x2+...)(1+x1+x2+....)
• =A(x)/(1-x)
• 若������������=σ������������=0 ������������������������−������ =a0bk+a1bk-1+...+akb0, • 则C(x)=A(x)B(x)
其递推方程为:������������ − ������������−1 − 12������������−2 = 0 其特征方程为:������2 − ������ − 12 = 0,判别式=49
特征根:������1 = 4,������2 = −3
均为单重根,所以通式为:������������ = ������4������ + ������(−3)������,
第6章 组合数学 杨圣洪
问题引入
• 斐波那契数列:数列中从第3项开始,任意一项都 是前两项的和������������ = ������������−1 + ������������−2,叫做斐波那契 数列,如:0,1,1,2,3,5,8,13,21,34 ,55,89…
• 有很多问题都来自于这种递推公式,如果������足够大 ,那么计算的时间就会很长,那么有没有可能计 算出通项公式直接求解?
• 可以称出重量1有1种方式、重量2有方案2种(1+1,2),重量 为3的方案1种(1+2),重量为4有2种方式(2+2,1+1+2),重量 为5的方案1种(1+2+2),重量为6的方案有2种 (1+1+2+2,2+2+2),重量为7的方案1种(1+2+2+2),重量为8 的方案1种(1+1+2+2+2)。
• 如果仅考虑4人组合有几种,不考虑班级差别均为x: (1+x+x2)(1+x+x2)(1+x+x2),则为: 1+3x+6x2+7x3+6x4+3x5+x6,则4人组合为6种情况。
• 母函数的性质:
• 1、对于无穷数列������(������) = 1,母函数:1 + ������ + ������2 + ⋯ = 1
• 推广:
• 从������1个������、������2个������、…、������������个数������中,抽取若干个数 相加,所得到的合数及对应方案个数可用下式求 得(一种数对应一个多项式),其中结果中������的指 数为合数,������前的系数为方案数:
• (1 + ������������ + ������2������ + ⋯ + ������������1������)(1 + ������������ + ������2������ + ⋯ + ������������2������) … (1 + ������������ + ������2������ + ⋯ + ������������������������),在例6.9.1中, ������1为2,������ = 1,������2 = 3,������ = 2。
• =a0+(a0+a1)x1+(a0+a1+a2)x2+(a0+a1+a2+a3)x3+....
• =(a0+a0x1+a0x2+....)+(a1x1+a1x2+...)+(a2x2+a2x3+....)+...
• =a0(1+x1+x2+....)+a1x1(1+x1+x2+...)+a2x2(1+x+x2....)+
• 重量为1与为2的组合,则为 (x0+x1+x2)(x0+x2+x4+x6)=x0+x2+x4+x6+x1+x3+x5+x7+x2+x4+x6 +x8=x0+x1+2x2+x3+2x4+x5+2x6+x7+x8,
解:Fibonacci 数列的递推方程为: fn -fn1-fn2=0 其特征方程为: t2 t 1 = 0 判别式=5
特征根:
t 1 2
5
均为单重根,所以:
n
n
通解为 :
fn
b
1 2
5
d
1
2
5
将f0=1,f1=1代入其中:
解出:
b
1 5
1 2
5
d
1 5
1 2
5
故Fibonacci 数列的通项公式:
n1
n1
fn
1 5
1 2
5
1 5
1 2
5
例题6.11.2 数列������0 = 3,������1 = 26,递推公式:������������ = ������������−1 + 12������������−2
• =1+(a+b+c)+(a2+b2+c2+ab+ac+bc)+(a2b+a2c+ab2+ac2+a bc+b2c+bc2)+(a2b2+a2bc+ab2c+abc2+b2c2+a2c2)+(a2b2c+ a2bc2+ab2c2)+a2b2c2。
• 不出一人1种方式,只出1人有3种,出2人的方式为2个a ,或2个b,或2个c,或1个a与1个b,或1个a与1个c,或1 个b与1个c。
• 母函数又叫生成函数,母函数的应用:求 若干个数构成的所有合数。
• 例题6.9.1用重量为1的砝码2枚,重量为2的砝码3枚,可以组 成哪些重量,对应方案各有几种?
• 为1的砝码2枚,在使用时组合为:0枚、1枚、2枚,对应的 重量为0、1、2,对应数列为1、1、1,母函数x0+x1+x2,指 数表示此类砝码在组合中重量,对于为1的砝码则为砝码数。
将������0 = 3, ������1 = 26代入其中
3 = ������ + ������
(1)
26 = 4������ − 3������
(2)
将(1)式乘上(-3)得到:
−9 = −3������ − 3������
(3)
(2)-(3)得到
35 = 7������
������ = 5
������ = 3 − ������ = 3 − 5 = −2
1
−
1+ 2
5
������ + ൬1 −
1+ 2
5൰
������
=
0
⇒
•
1+
5−1+ 2
5 ������ = 1 ⇒ ������ =
1 5
,
������
=
−
1 5
1
1
•
������ ������
=
5
(1−1+2
5������)
−
5
(1−1−2
5������)
1
1
•
������ ������
=
5
(1−1+2
• 答案是有的:
– 那么如何快速求出这类问题的通项公式?
母函数
• 数列������0, ������1, ������2, … , ������������, …,对应的母函数定义 为:������(������) = ������0 + ������1������ + ������2������2 + ������3������3 + ⋯ + ������������������������ + ⋯
•
=G(x)/x-1
• xG(x)+x2G(x)= G(x)-x
• G(x)=x/(1-x-x2)
• 1-x-x2=0的两个根为:1± 5
2
•
������ 1−������−������2
=
(1−1+2
������ 5������)(1−1−2
5������)=(1−1���+���2
5������)
(a0+a1x1+a2x2+...)(b0+b1x1+b2x2+...) =a0b0+(a0b1+a1b0)x1+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+....
利用母函数求递推关系
• 斐波那契数列:0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 89…
• G(x)=x1+x2+2x3+3x4+5x5… • xG(x)=x2+x3+2x4+3x5+5x6… • G(x)+xG(x)=x1+2x2+3x3+5x4…
������������ = 5 ∗ 4������ − 2 ∗ (−3)������
例题6.11.3 数列������0 = 1,������1 = 4,递推公式:������������ = −4������������−1 − 4������������−2
+
������ (1−1−2
5������)
• 1 − 1+ 5 ������ ������ + 1 − 1− 5 ������ ������ = ������
2
2
•
代入������ = 1,得
1
−
1+ 2
5
������ +
1
−
1− 2
5
������ = 1
•
代入������ = 0,得������ + ������ = 0 ⇒
• 由于=右边为0称为线性常系数递推关系。上述递推关系对 应的特征方程为:������������ + ������1������������−1 + ������2������������−2 + ⋯ + ������������ = 0,如 ������2 − ������ − 1 = 0
• 设其特征根依次为������1, ������2, … , ������������, • 当每个根为实数时,通式������������ = ⋯ + (������0 + ������1������ + ������2������2 +
1− 2
5
������
3
+⋯
• = 1 1−1 + 1
5
5
1+
5
1
−
2
1− 5 1 2
������ +
1 5
ቈ
1+ 5 2
2
−
1− 5 2
2
������2 + ⋯ 2
������
−
1− 5 ������ 2
������������ + ⋯
• 求解齐次线性常系数递推关系:特征根法
• 例题6.9.2 设有a,b,c三个班的学生各2人,请列举所有可能 的组合情况,同一个班的学生不互相区分。
• a班学生出现0次、1次、2次:a0+a1+a2;
• b班学生出现0次、1次、2次:a0+b1+b2;
• c班学生出现0次、1次、2次:c0+c1+c2;
• 可能的组合为:(1+a+a2)(1+b+b2)(1+c+c2)
若 r1 和 r2 是t2 C1 t C2 = 0的根,
若r1 r2 ,即单重根,则存在常数 b, d,
使 an = br1n + dr2n , n = 0, 1, 2, …
若r1 = r2 ,即二重根,则存在常数 b, d,
使an = brn + dnrn
n = 0, 1, 2, …
例题6.11.1 求 Fibonacci 数列1,1, 2, 3, 5, …的通项公 式。
• 若数列������0, ������1, ������2, … , ������������, …前������项的值已知,如Fibonacci的 前2项已知的,且存在常数������1, ������2, … , ������������(������������ ≠ 0)满足以下递 推式:������������ + ������1������������−1 + ������2������������−2 + ⋯ + ������������������������−������ = 0,如 Fibonacci满足������������ − ������������−1 − ������������−2 = 0
5������)
−
5
(1−1−2
5������)
1 + ������ + ������2 + ⋯ = 1
1−������
•
������ ������
=
1 5
1
+
1+ 2
5
������
+
1+ 2
5
������
2
+
1+ 2
5
������
3
+⋯
−
1 5
1
+
1− 2
5
������
+
1− 2
5
������
2
+
⋯ + ������������������−1������������������−1)������������������ + ⋯ , • 其中������������为根������������的重数,当为单重根时就是������0������������������。
特别的:
设 an = C1 an1 +C2 an2
1−������ – 左边乘上(1 − ������)得到1
•
2、若������������=σ������������=0 ������������ =(a0+a1+a2+...ak),则������ ������
=
������ ������ 1−������
• B(x)=b0+b1x1+b2x2+....
• =(a0+a1x1+a2x2+...)(1+x1+x2+....)
• =A(x)/(1-x)
• 若������������=σ������������=0 ������������������������−������ =a0bk+a1bk-1+...+akb0, • 则C(x)=A(x)B(x)
其递推方程为:������������ − ������������−1 − 12������������−2 = 0 其特征方程为:������2 − ������ − 12 = 0,判别式=49
特征根:������1 = 4,������2 = −3
均为单重根,所以通式为:������������ = ������4������ + ������(−3)������,
第6章 组合数学 杨圣洪
问题引入
• 斐波那契数列:数列中从第3项开始,任意一项都 是前两项的和������������ = ������������−1 + ������������−2,叫做斐波那契 数列,如:0,1,1,2,3,5,8,13,21,34 ,55,89…
• 有很多问题都来自于这种递推公式,如果������足够大 ,那么计算的时间就会很长,那么有没有可能计 算出通项公式直接求解?
• 可以称出重量1有1种方式、重量2有方案2种(1+1,2),重量 为3的方案1种(1+2),重量为4有2种方式(2+2,1+1+2),重量 为5的方案1种(1+2+2),重量为6的方案有2种 (1+1+2+2,2+2+2),重量为7的方案1种(1+2+2+2),重量为8 的方案1种(1+1+2+2+2)。
• 如果仅考虑4人组合有几种,不考虑班级差别均为x: (1+x+x2)(1+x+x2)(1+x+x2),则为: 1+3x+6x2+7x3+6x4+3x5+x6,则4人组合为6种情况。
• 母函数的性质:
• 1、对于无穷数列������(������) = 1,母函数:1 + ������ + ������2 + ⋯ = 1
• 推广:
• 从������1个������、������2个������、…、������������个数������中,抽取若干个数 相加,所得到的合数及对应方案个数可用下式求 得(一种数对应一个多项式),其中结果中������的指 数为合数,������前的系数为方案数:
• (1 + ������������ + ������2������ + ⋯ + ������������1������)(1 + ������������ + ������2������ + ⋯ + ������������2������) … (1 + ������������ + ������2������ + ⋯ + ������������������������),在例6.9.1中, ������1为2,������ = 1,������2 = 3,������ = 2。
• =a0+(a0+a1)x1+(a0+a1+a2)x2+(a0+a1+a2+a3)x3+....
• =(a0+a0x1+a0x2+....)+(a1x1+a1x2+...)+(a2x2+a2x3+....)+...
• =a0(1+x1+x2+....)+a1x1(1+x1+x2+...)+a2x2(1+x+x2....)+