第3章工程构件的静力学平衡问题
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以画出吊车大梁AB的受力图。
FAx、FAy和FTB均为未知约束力，与已知
的主动力P和W组成平面力系。因此，应
用平面力系的3个平衡方程可以求出全部
3个未知约束力。
14
3.1.1 例题3-1 悬臂式吊车
= 0 － × － × +T × sin＝0
2
× ＋ ×
2
= 0
= 0
=1
= 0
简写为
= 0
=1
= 0
= 0
=1
平面力系平衡的必要与充分条件是：力系中所有的力在直角坐标系Oxy的各
坐标轴上的投影的代数和以及所有的力对任意点之矩的代数和同时等于零。
大连大学
12
3.1.1 例题3-1 悬臂式吊车
3
大连大学
25
3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程——
3.1.2 平面一般力系平衡方程的其他形式
大连大学
26
3.1.2 平面一般力系平衡方程的其他形式
可以将一个或两个力平衡方程用力矩平衡方程代替，这样就可以得到平面
力系平衡方程的其他形式。
一般形式
大连大学
二矩式
三矩式
= 0
= 0
关于平衡的重要概念：整体平衡，局部必然平衡
大连大学
4
第3章 工程构件的静力学平衡问题
关于平衡的重要概念：整体平衡，局部必然平衡
FR1 ´
FRAx
FRAy
大连大学
5
第3章 工程构件的静力学平衡问题
▪ 3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程
▪ 3.2 简单的刚体系统平衡问题
▪ 3.3 考虑摩擦时的平衡问题
未知量。
▪ 相应的结构称为静定结构(statically determinate structure)
▪ 静不定问题(statically indeterminate problem)：为了提高结构的
强度和刚度等原因，常在静定结构上再加上一些构件或者约束，从而
使作用在刚体上未知约束力的数目多于独立的平衡方程数目，因而仅
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
27
3.1.2 平面一般力系平衡方程的其他形式——二矩式
= 0
= 0
= 0
大连大学
B
A
FR
x
当3个方程中的第二式和第三
式同时满足时，力系不可能简化为
2
15
3.1.1 例题3-1 悬臂式吊车
y
▪ 解：
FTB
θ
A
FAx
FAy
2
B
D
W
x
P
由结果可以看出，当x＝l，即电动机
x 移动到吊车大梁右端B点处时，钢索
所受拉力最大。钢索拉力最大值为
Tmax
2
=
|= + = 2 +
l
大连大学
16
3.1.1 例题3-2 悬臂梁
▪ A端固定的悬臂梁AB受力如图示，已知：
的，要注意的是：
正确判断刚体系统的静定性质
选择合适的研究对象
大连大学
33
3.2 简单的刚体系统平衡问题
▪ 3.2.1 刚体自由度的概念
▪ 3.2.2 刚体系统静定与超静定的概念
▪ 3.2.3 刚体系统的平衡问题的特点与解法
大连大学
34
3.2 简单的刚体系统平衡问题——
3.2.1 刚体自由度的概念
▪ 3.4 结论与讨论
大连大学
6
3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程
大连大学
7
3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程
▪ 3.1.1 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
▪ 3.1.2 平面一般力系平衡方程的其他形式
大连大学
8
3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程——
3.1.1 平面一般力系的平衡条件与
相等、方向相反
FB 与F'B大小相等、方向相反，
互为作用力与反作用力
FB和FC相等且组成一对力偶，与
外加力偶M平衡
得到： − × = 0
其中 = + = + sin 45
F'B
B
FB
45o
F
B
r
A
E
M
C
D
FC
FA
l
2
代入之后可以求得： = = = =
M
对象，解除A端的固定端约束，代之以
约束力FAx、FAy和约束力偶MA。于是，
x 可以画出梁AB的受力图。
图中F、M、q为已知的外加载荷，是主
动力。
作用在梁上的均匀分布力的合力等于载荷集度与作用长度的乘积，即ql；合
力的方向与均布载荷的方向相同；合力作用线通过均布载荷作用段的中点。
大连大学
18
3.1.1 例题3-2 悬臂梁
l
F
A
刚架由立柱AB和横梁BC组成，B
处为刚性节点
A处为固定铰链支座
C处为辊轴支座
F和l已知
求：
A、C两处的约束力
大连大学
20
3.1.1 例题3-3 刚架——受力图
l
B
B
C
C
F
F
FC
l
y
A
A
FAx
x
FAy
大连大学
21
3.1.1 例题3-3 刚架——平衡方程
l
B
C
F
FC
l
y
ቐ
= 0
已知：
B
r
A
半径为r的四分之一圆弧杆AB与折
杆BDC在B处用铰链链接
M
C
D
l
A、C两处为固定铰链支座
折杆BDC上的力偶矩为M
l=2r
求：
A、C两处的约束力
大连大学
23
3.1.1 例题3-4 一简单结构
F'B
FB
B
B
r
A
M
D
45o
A
F
B
r
C
E
M
C
D
FA
FC
l
A、C固定铰支座，各有两个垂直的约束力，共有4个未知力，如果以整体为研究
× − × = 0
= 0
+ = 0
= 0
+ = 0
A
FAx
FAy
大连大学
x
求解方程组得到： = ， = −， = − 。其
中的 和 都为负值，说明实际方向与预设方向相反。
22
3.1.1 例题3-4 一简单结构
平面力系平衡的充分条件：当力系的主矢和对于任意一点的主矩同
时等于零时，力系既不能使物体发生移动，也不能使物体发生转动，
即物体处于平衡状态。
平面力系平衡的必要条件：如果力系为平衡力系，则力系的主矢和
对于任意一点的主矩必同时等于零。
▪ 满足平衡条件的力系称为平衡力系。
大连大学
10
3.1.1 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
2
C
F
B
2
A
2
D
大连大学
30
3.1.2 例题3-5 杆件结构
y
2
FAy
FAx
C
2
A
d
D
大连大学
2
FRC
F
= sin 45
2
FRC d - F l = 0
= 2 2
MC (F) = 0
-FAy l/2 - F l/2 = 0
FAy= - F
Fx=0
FAx+FRCcos45o = 0
平衡方程
大连大学
9
3.1.1 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
▪ 力系平衡的必要与充分条件(conditions both of necessary and
sufficient for equilibrium)是力系的主矢和对任意一点的主矩同时等
于零。这一条件简称为平衡条件(equilibrium conditions)。
A yA
A
O
x
x
x
O
36
3.2 简单的刚体系统平衡问题——
3.2.2 刚体系统静定与超静定的概念
大连大学
37
3.2.2 刚体系统静定与超静定的概念
▪ 静定问题(statically determinate problem)：作用在刚体上的未知
力的数目正好等于独立的平衡方程数目，应用平衡方程可以解出全部
大连大学
35
3.2.1 刚体自由度的概念
▪ 对于平面问题，刚体平移要用xy坐标来标记其位置，对于定轴转动则
只需要一个角度来确定，一般运动既有平移也有转动。
y
O
大连大学
▪ 自由度（degree of freedom）：确定刚体位置所需要的坐标或独立
变量的个数。
y
y
D
C
C
C
xA
D
B
D
B
A
B
yA
φ
xA
φ
仅依靠刚体平衡条件不能求出全部未知量。需要考虑物体因受力而产
生的变形，补充某些方程，才能使未知量的数目等于方程的数目。
▪ 相应的结构称为静不定结构(statically indeterminate structure)或
超静定结构。
一力偶，只可能简化为通过AB两点
的一合力或者是平衡力系。
但是，当第一式同时成立时，
而且AB与x轴不垂直，力系便不可
能简化为一合力FR，否则力系中所
有的力在x轴上投影的代数和不可
能等于零。因此原力系必然为平衡
力系。
28
3.1.2 平面一般力系平衡方程的其他形式——三矩式
= 0
FR
= 0
确定作用在构件上的全部未知力。此外，本章的最后还将简单介绍考虑摩擦时
的平衡问题。
▪ “平衡”不仅是本章的重要概念，而且也工程力学课程的重要概念。
对于一个系统，如果整体是平衡的，则组成这一系统的每一个构件也平衡的。
对于单个构件，如果是平衡的，则构件的每一个局部也是平衡的。
大连大学
3
第3章 工程构件的静力学平衡问题
2
T ＝
＝
+
sin
B
−T × cos＝0
＝0
x
▪ 解：(2) 建立平衡方程
y
FTB
θ
A
FAx
FAy
2
D
W
x
l
P
2 +
∘
＝
cos30 ＝ 3 +
2
＝0
−－ －＋T × sin＝0
＝－
大连大学
－
＋
F
q
A
l
M
B
全长为l的梁上作用有集度为q的均布载
荷
自由端B处承受一集中力F＝ql和一力偶
M=ql2的作用
▪ 试求：
固定端处的约束力
大连大学
17
3.1.1 例题3-2 悬臂梁
▪ 解：
y
ql
F
q
FAx
A
MA
l
B
FAy
(2) 将均布载荷简化为集中力
(1) 研究对象、隔离体与受力图
本例中只有梁一个构件，以梁AB为研究
FAx=-2F
B x MA (F) = 0
31
3.2 简单的刚体系统平衡问题
大连大学
32
3.2 简单的刚体系统平衡问题
▪ 刚体系统(system of rigidity bodies)：由两个或两个以上的刚体构
件通过一定约束方式连接起来的系统。
▪ 分析刚体系统平衡问题的基本原则与处理单个刚体的平衡问题是一致
▪ 解：(3) 建立平衡方程，求解未知约束力
y
ql
F
M
＝0
＝0
＝0
− − ＝0
FAx
A
MA
l
B
FAy
= 0
大连大学
x
− × − × −＝0
2
＝2
5 2
＝
2
19
3.1.1 例题3-3 刚架
已知：
l
C
B
▪ AB为吊车大梁，BC为钢索，A、C处为固定
铰链支座，B处为铰链约束。
C
▪ 已知：
θ
A
B
D
W
E
起重电动机E与重物的总重力为P(因为两滑轮
之间的距离很小， P可视为集中力作用在大梁
上)，梁的重力为W 。角度θ=30º。
▪ 求：
1. 电动机处于任意位置时，钢索BC所受的力和
支座A处的约束力；
P
大连大学
对象，平面力系只能提供三个独立的平衡方程，这样就需要解除B点的约束，分
成两个构件来列平衡方程，B点的约束力有两个分量，这样6个方程解6个未知数。
但如果应用二力构件平衡的概念以及力偶只能与力偶平衡的概念就会简单很多。
大连大学
24
3.1.1 例题3-4 一简单结构
解：
A、B两处的约束力FA和F'B大小
2. 分析电动机处于什么位置时，钢索受力的最
大，并确定其数值。
13
3.1.1 例题3-1 悬臂式吊车
▪ 解：(1) 选择研究对象
y
FTB
θ
A
FAx
FAy
2
D
W
x
l
大连大学
B
P
先建立坐标系，然后假设A处约束力分量
为FAx和FAy，钢索的拉力为FTB。因为要
x 求电动机处于任意位置时的约束力，所
以假设力P作用在坐标为x处。于是，可
C
B
= 0
大连大学
A
C
当式中的第一式满足时，力系
不可能简化为一力偶，只可能简化
为通过A点的一个合力FR。同样如
果第二、三式也同时被满足，则这
一合力也必须通过B、C两点。
但是由于A、B、C三点不共线，
所以力系也不可能简化为一合力。
因此，满足上述方程的平面力系只
可能是一平衡力系。
29
3.1.2 例题3-5 杆件结构
▪ 对于平面力系，力系的平衡条件可以写成
= =
=1
= = 0
=1Biblioteka FR为主矢，MO为对任意点O的主矩。
大连大学
11
3.1.1 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
▪ 若写成投影形式，则得到平面力系的平衡方程（equilibrium equations）
工程力学
工程静力学与材料力学
马志涛
第3章 工程构件的静力学平
衡问题
第3章 工程构件的静力学平衡问题
▪ 受力分析的最终的任务是确定作用在构件上的所有未知力，作为对工程构件进
FAx、FAy和FTB均为未知约束力，与已知
的主动力P和W组成平面力系。因此，应
用平面力系的3个平衡方程可以求出全部
3个未知约束力。
14
3.1.1 例题3-1 悬臂式吊车
= 0 － × － × +T × sin＝0
2
× ＋ ×
2
= 0
= 0
=1
= 0
简写为
= 0
=1
= 0
= 0
=1
平面力系平衡的必要与充分条件是：力系中所有的力在直角坐标系Oxy的各
坐标轴上的投影的代数和以及所有的力对任意点之矩的代数和同时等于零。
大连大学
12
3.1.1 例题3-1 悬臂式吊车
3
大连大学
25
3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程——
3.1.2 平面一般力系平衡方程的其他形式
大连大学
26
3.1.2 平面一般力系平衡方程的其他形式
可以将一个或两个力平衡方程用力矩平衡方程代替，这样就可以得到平面
力系平衡方程的其他形式。
一般形式
大连大学
二矩式
三矩式
= 0
= 0
关于平衡的重要概念：整体平衡，局部必然平衡
大连大学
4
第3章 工程构件的静力学平衡问题
关于平衡的重要概念：整体平衡，局部必然平衡
FR1 ´
FRAx
FRAy
大连大学
5
第3章 工程构件的静力学平衡问题
▪ 3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程
▪ 3.2 简单的刚体系统平衡问题
▪ 3.3 考虑摩擦时的平衡问题
未知量。
▪ 相应的结构称为静定结构(statically determinate structure)
▪ 静不定问题(statically indeterminate problem)：为了提高结构的
强度和刚度等原因，常在静定结构上再加上一些构件或者约束，从而
使作用在刚体上未知约束力的数目多于独立的平衡方程数目，因而仅
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
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3.1.2 平面一般力系平衡方程的其他形式——二矩式
= 0
= 0
= 0
大连大学
B
A
FR
x
当3个方程中的第二式和第三
式同时满足时，力系不可能简化为
2
15
3.1.1 例题3-1 悬臂式吊车
y
▪ 解：
FTB
θ
A
FAx
FAy
2
B
D
W
x
P
由结果可以看出，当x＝l，即电动机
x 移动到吊车大梁右端B点处时，钢索
所受拉力最大。钢索拉力最大值为
Tmax
2
=
|= + = 2 +
l
大连大学
16
3.1.1 例题3-2 悬臂梁
▪ A端固定的悬臂梁AB受力如图示，已知：
的，要注意的是：
正确判断刚体系统的静定性质
选择合适的研究对象
大连大学
33
3.2 简单的刚体系统平衡问题
▪ 3.2.1 刚体自由度的概念
▪ 3.2.2 刚体系统静定与超静定的概念
▪ 3.2.3 刚体系统的平衡问题的特点与解法
大连大学
34
3.2 简单的刚体系统平衡问题——
3.2.1 刚体自由度的概念
▪ 3.4 结论与讨论
大连大学
6
3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程
大连大学
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3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程
▪ 3.1.1 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
▪ 3.1.2 平面一般力系平衡方程的其他形式
大连大学
8
3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程——
3.1.1 平面一般力系的平衡条件与
相等、方向相反
FB 与F'B大小相等、方向相反，
互为作用力与反作用力
FB和FC相等且组成一对力偶，与
外加力偶M平衡
得到： − × = 0
其中 = + = + sin 45
F'B
B
FB
45o
F
B
r
A
E
M
C
D
FC
FA
l
2
代入之后可以求得： = = = =
M
对象，解除A端的固定端约束，代之以
约束力FAx、FAy和约束力偶MA。于是，
x 可以画出梁AB的受力图。
图中F、M、q为已知的外加载荷，是主
动力。
作用在梁上的均匀分布力的合力等于载荷集度与作用长度的乘积，即ql；合
力的方向与均布载荷的方向相同；合力作用线通过均布载荷作用段的中点。
大连大学
18
3.1.1 例题3-2 悬臂梁
l
F
A
刚架由立柱AB和横梁BC组成，B
处为刚性节点
A处为固定铰链支座
C处为辊轴支座
F和l已知
求：
A、C两处的约束力
大连大学
20
3.1.1 例题3-3 刚架——受力图
l
B
B
C
C
F
F
FC
l
y
A
A
FAx
x
FAy
大连大学
21
3.1.1 例题3-3 刚架——平衡方程
l
B
C
F
FC
l
y
ቐ
= 0
已知：
B
r
A
半径为r的四分之一圆弧杆AB与折
杆BDC在B处用铰链链接
M
C
D
l
A、C两处为固定铰链支座
折杆BDC上的力偶矩为M
l=2r
求：
A、C两处的约束力
大连大学
23
3.1.1 例题3-4 一简单结构
F'B
FB
B
B
r
A
M
D
45o
A
F
B
r
C
E
M
C
D
FA
FC
l
A、C固定铰支座，各有两个垂直的约束力，共有4个未知力，如果以整体为研究
× − × = 0
= 0
+ = 0
= 0
+ = 0
A
FAx
FAy
大连大学
x
求解方程组得到： = ， = −， = − 。其
中的 和 都为负值，说明实际方向与预设方向相反。
22
3.1.1 例题3-4 一简单结构
平面力系平衡的充分条件：当力系的主矢和对于任意一点的主矩同
时等于零时，力系既不能使物体发生移动，也不能使物体发生转动，
即物体处于平衡状态。
平面力系平衡的必要条件：如果力系为平衡力系，则力系的主矢和
对于任意一点的主矩必同时等于零。
▪ 满足平衡条件的力系称为平衡力系。
大连大学
10
3.1.1 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
2
C
F
B
2
A
2
D
大连大学
30
3.1.2 例题3-5 杆件结构
y
2
FAy
FAx
C
2
A
d
D
大连大学
2
FRC
F
= sin 45
2
FRC d - F l = 0
= 2 2
MC (F) = 0
-FAy l/2 - F l/2 = 0
FAy= - F
Fx=0
FAx+FRCcos45o = 0
平衡方程
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9
3.1.1 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
▪ 力系平衡的必要与充分条件(conditions both of necessary and
sufficient for equilibrium)是力系的主矢和对任意一点的主矩同时等
于零。这一条件简称为平衡条件(equilibrium conditions)。
A yA
A
O
x
x
x
O
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3.2 简单的刚体系统平衡问题——
3.2.2 刚体系统静定与超静定的概念
大连大学
37
3.2.2 刚体系统静定与超静定的概念
▪ 静定问题(statically determinate problem)：作用在刚体上的未知
力的数目正好等于独立的平衡方程数目，应用平衡方程可以解出全部
大连大学
35
3.2.1 刚体自由度的概念
▪ 对于平面问题，刚体平移要用xy坐标来标记其位置，对于定轴转动则
只需要一个角度来确定，一般运动既有平移也有转动。
y
O
大连大学
▪ 自由度（degree of freedom）：确定刚体位置所需要的坐标或独立
变量的个数。
y
y
D
C
C
C
xA
D
B
D
B
A
B
yA
φ
xA
φ
仅依靠刚体平衡条件不能求出全部未知量。需要考虑物体因受力而产
生的变形，补充某些方程，才能使未知量的数目等于方程的数目。
▪ 相应的结构称为静不定结构(statically indeterminate structure)或
超静定结构。
一力偶，只可能简化为通过AB两点
的一合力或者是平衡力系。
但是，当第一式同时成立时，
而且AB与x轴不垂直，力系便不可
能简化为一合力FR，否则力系中所
有的力在x轴上投影的代数和不可
能等于零。因此原力系必然为平衡
力系。
28
3.1.2 平面一般力系平衡方程的其他形式——三矩式
= 0
FR
= 0
确定作用在构件上的全部未知力。此外，本章的最后还将简单介绍考虑摩擦时
的平衡问题。
▪ “平衡”不仅是本章的重要概念，而且也工程力学课程的重要概念。
对于一个系统，如果整体是平衡的，则组成这一系统的每一个构件也平衡的。
对于单个构件，如果是平衡的，则构件的每一个局部也是平衡的。
大连大学
3
第3章 工程构件的静力学平衡问题
2
T ＝
＝
+
sin
B
−T × cos＝0
＝0
x
▪ 解：(2) 建立平衡方程
y
FTB
θ
A
FAx
FAy
2
D
W
x
l
P
2 +
∘
＝
cos30 ＝ 3 +
2
＝0
−－ －＋T × sin＝0
＝－
大连大学
－
＋
F
q
A
l
M
B
全长为l的梁上作用有集度为q的均布载
荷
自由端B处承受一集中力F＝ql和一力偶
M=ql2的作用
▪ 试求：
固定端处的约束力
大连大学
17
3.1.1 例题3-2 悬臂梁
▪ 解：
y
ql
F
q
FAx
A
MA
l
B
FAy
(2) 将均布载荷简化为集中力
(1) 研究对象、隔离体与受力图
本例中只有梁一个构件，以梁AB为研究
FAx=-2F
B x MA (F) = 0
31
3.2 简单的刚体系统平衡问题
大连大学
32
3.2 简单的刚体系统平衡问题
▪ 刚体系统(system of rigidity bodies)：由两个或两个以上的刚体构
件通过一定约束方式连接起来的系统。
▪ 分析刚体系统平衡问题的基本原则与处理单个刚体的平衡问题是一致
▪ 解：(3) 建立平衡方程，求解未知约束力
y
ql
F
M
＝0
＝0
＝0
− − ＝0
FAx
A
MA
l
B
FAy
= 0
大连大学
x
− × − × −＝0
2
＝2
5 2
＝
2
19
3.1.1 例题3-3 刚架
已知：
l
C
B
▪ AB为吊车大梁，BC为钢索，A、C处为固定
铰链支座，B处为铰链约束。
C
▪ 已知：
θ
A
B
D
W
E
起重电动机E与重物的总重力为P(因为两滑轮
之间的距离很小， P可视为集中力作用在大梁
上)，梁的重力为W 。角度θ=30º。
▪ 求：
1. 电动机处于任意位置时，钢索BC所受的力和
支座A处的约束力；
P
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对象，平面力系只能提供三个独立的平衡方程，这样就需要解除B点的约束，分
成两个构件来列平衡方程，B点的约束力有两个分量，这样6个方程解6个未知数。
但如果应用二力构件平衡的概念以及力偶只能与力偶平衡的概念就会简单很多。
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3.1.1 例题3-4 一简单结构
解：
A、B两处的约束力FA和F'B大小
2. 分析电动机处于什么位置时，钢索受力的最
大，并确定其数值。
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3.1.1 例题3-1 悬臂式吊车
▪ 解：(1) 选择研究对象
y
FTB
θ
A
FAx
FAy
2
D
W
x
l
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B
P
先建立坐标系，然后假设A处约束力分量
为FAx和FAy，钢索的拉力为FTB。因为要
x 求电动机处于任意位置时的约束力，所
以假设力P作用在坐标为x处。于是，可
C
B
= 0
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A
C
当式中的第一式满足时，力系
不可能简化为一力偶，只可能简化
为通过A点的一个合力FR。同样如
果第二、三式也同时被满足，则这
一合力也必须通过B、C两点。
但是由于A、B、C三点不共线，
所以力系也不可能简化为一合力。
因此，满足上述方程的平面力系只
可能是一平衡力系。
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3.1.2 例题3-5 杆件结构
▪ 对于平面力系，力系的平衡条件可以写成
= =
=1
= = 0
=1Biblioteka FR为主矢，MO为对任意点O的主矩。
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3.1.1 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
▪ 若写成投影形式，则得到平面力系的平衡方程（equilibrium equations）
工程力学
工程静力学与材料力学
马志涛
第3章 工程构件的静力学平
衡问题
第3章 工程构件的静力学平衡问题
▪ 受力分析的最终的任务是确定作用在构件上的所有未知力，作为对工程构件进