高数第十章习题

第十章重积分
第二节二重积分计算法习题 一、填空题: 1、⎰⎰=++D d y y x x
σ)3(3
23
________________.其中.10,10:≤≤≤≤y x D
2、
=+⎰⎰D
d y x x σ
)cos(_______________.其中D 是顶点分别为 )0,0(，)0,(π，),(ππ的三角形闭区域 .
3、将二重积分
⎰⎰
D
d y x f σ),(,其中D 是由x 轴及半圆周)0(2
2
2
≥=+y r y x 所围成的闭区域,化为先对y 后对x 的二次积分,应为
_____________________. 4、将二重积分
⎰⎰
D
d y x f σ),(,其中D 是由直线2,==x x y 及双曲线)0(1>=
x x
y 所围成的闭域,化为先对x 后对y 的二次积分,
应为__________________________. 5、将二次积分⎰
⎰--2
222
1
),(x
x x dy y x f dx 改换积分次序,应为_________________________. 6、将二次积分
⎰
⎰-x
x dy y x f dx sin 2
sin 0),(π
改换积分次序,应为_________________________.
7、将二次积分
⎰
⎰
--2
ln 1
),(2
y
e
dx y x f dy ⎰
⎰
-++
2
)
1(2
11
2
),(y dx y x f dy 改换积分次序,应为__________________________.
二、画出积分区域,并计算下列二重积分: 1、⎰⎰+D y
x d e
σ,其中D 是由1≤+y x 所确定的闭区域.
2、
⎰⎰-+D
d x y x σ)(2
2
其中D 是由直线x y x y y 2,2===及所围成的闭区域.
3、
⎰
⎰
⎰⎰
--=
x
D
dy y x x y dx d y x f 0
2
)
)(2
(
cos ),(πσπ。

4.
,2
⎰⎰
-D
dxdy x y 其中D:20,11≤≤≤≤-y x .
三、设平面薄片所占的闭区域D 由直线,2=+y x x y =和x 轴所围成,它的面密度2
2
),(y x y x +=ρ,求该薄片的质量 . 四、求由曲面2
2
2y x z +=及2
2
26y x z --=,所围成的立体的体积 . 答案
一、1、1；2、2
3π-
；3、
⎰
⎰
--2
20
),(x
r r
r
dy y x f dx ；4、⎰⎰
⎰⎰+
22
1
2
112
1),(),(y
y
dx y x f dy dx y x f dy ；5、⎰
⎰-+-2
11210),(y
y
dx y x f dy ；
6、
⎰
⎰
⎰
⎰
---+
y
y
y
dx y x f dy dx y x f dy arcsin arcsin 1
arcsin 20
1
),(),(ππ
； 7、⎰⎰+-2
1
120
),(x e
x
dy y x f dx .
二、1、1
--e e ；2、
6
13；3、π；4、
2
3
5π+
.三、
3
4.四、π6.
极坐标习题
一、填空题: 1、将⎰⎰
D
dxdy y x f ),(,D 为x y x 22
2≤+,表示为极坐标形式的二次积分,为_____________________. 2、将
⎰⎰
D
dxdy y x f ),(,D 为x y -≤≤10,10≤≤x ,表示为极坐标形式的二次积分为______________.
3、将⎰⎰+x
x dy y x f dx 32
22
0)(化为极坐标形式的二次积分为______________________.
4、将⎰
⎰
2
01
0),(x
dy y x f dx 化为极坐标形式的二次积分为______________________.
5、将
⎰⎰
-+x
x
dy y x dx 22
1)
(2
2
1
化为极坐标形式的二次积分为_______________,其值为_______________.
二、计算下列二重积分: 1、
⎰⎰++D
d y x σ)1ln(2
2,其中D 是由圆周12
2
=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限内的区域.
2、⎰⎰+D
d y x σ)(2
2其中D 是由直线x y =,)0(3,,>==+=a a y a y a x y 所围成的区域.
3、⎰⎰
--D
d y x R σ222,其中D 是由圆周Rx y x =+2
2所围成的区域.
4、
⎰⎰
-+D
d y x σ222,其中D:32
2≤+y x .
三、试将对极坐标的二次积分⎰
⎰-=
θ
π
πθθθcos 20
44
)sin ,cos (a rdr r r f d I 交换积分次序.
四、设平面薄片所占的闭区域D 是由螺线θ2=r 上一段弧(2
0πθ≤≤)与直线2
πθ=
所围成,它的面密度为2
2),(y x y x +=ρ,求
这薄片的质量.
五、计算以xoy 面上的圆周ax y x =+22围成的闭区域为底，而以曲面2
2
y x z +=为顶的曲顶柱体的体积. 答案
一、1、
rdr r r f d ⎰
⎰-θ
π
π
θθθcos 20
2
2
)sin ,cos (； 2、⎰
⎰-+1
)
sin (cos 0
20)sin ,cos (θθπ
θθθ
rdr r r f d ；3、⎰
⎰θ
π
πθsec 20
34
)(rdr r f d ；
4、
⎰
⎰
θ
θ
θπ
θθθ
sec tan sec 4
)sin ,cos (rdr r r f d ； 5、⎰
⎰θθπθ2
cos sin 0
40
1rdr r
d ,12-.二、1、
)12ln 2(4
-π； 2、4
14a ；3、
)3
4(3
3
-
πR
；
4、
π2
5.三、⎰
⎰
-
=
4
4
20
)sin ,cos (π
π
θθθd r r f rdr
I a
⎰
⎰
-+
a
r a
r a a
d r r f rdr
2arccos
2arccos
22)sin ,cos (θθθ.四、
40
5
π
.五、
4
32
3a π.
第三节三重积分习题 一、填空题:
1、若Ω由曲面2
2
y x z +=及平面z=1所围成,则三重积分
⎰⎰⎰
Ω
dxdydz z y x f ),,(化为三次积分是_______________________.
2、若Ω是由曲面0(>=c xy cz ),12
22
2=+
b
y a
x ,z=0所围成的在第一卦限内的闭区域,则三重积分⎰⎰⎰Ω
dxdydz z y x f ),,(可化为三
次积分为_________.
3、若10,10,10:≤≤≤≤≤≤Ωz y x ,则
⎰⎰⎰Ω
++dxdydz
z y x )(可化为三次积分__________,
4、若Ω:是由),0(,0,0>===h h z z x )0(22
2
2
>=+=+a a y x a y x 及所围成,则三重积分
⎰⎰⎰
Ω
dv z y x f ),,(可化为：
（1）次序为x y z →→的三次积分______.(2)次序为z x y →→的三次积分_____.(3)次序为y z x →→的三次积分_____. 二、计算⎰⎰⎰
Ω
dxdydz z xy 3
2,其中Ω是由曲面xy z =,与平面01,===z x x y 和所围成的闭区域 . 三、计算
⎰⎰⎰
Ω
xzdxdydz ,其中Ω是曲面1,,0===y y z z ,以及抛物柱面2
x y =所围成的闭区域.
四、计算⎰⎰⎰
Ω
+dv y
x 2
21,其中Ω是由六个顶点),0,0,2(),2.1.1(),0,1,1(),0,0,1(D C B A )4,2,2(),0,2,2(F E 组成的三棱锥台.
答案 一、1、
⎰
⎰
⎰+----1
111
12
2
2
2
),,(y x x
x
dz z y x f dy dx ； 2、⎰
⎰
⎰-
c
xy
a
x b a dz z y x f dy dx 0
100
),,(2
2； 3、⎰⎰⎰++1
10
10
)(dz z y x dy dx ，
2
3；
4、
⎰⎰⎰
--h
x
a x
a a
dz z y x f dy dx 0
2
),,(2
2
，⎰⎰⎰--2
2
2
),,(x
a x
a a
h
dy z y x f dx dz ；
⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰
---+
2
22
2
2
20
2
),,(),,(y
a h a a y
a y
a h a
dx z y x f dz dy dx z y x f dz dy 二、
364
1.三、 0.四、 2ln .
柱面坐标球面坐标习题 一、填空题:
1、若Ω由曲面和)(32
2
2
y x z +=162
2
2
=++z y x 所围,则三重积分
⎰⎰⎰
Ω
dv z y x f ),,(表示成直角坐标下的三次积分是
_________________;在柱面坐标下的三次积分是_________________;在球面坐标下的三次积分是__________________. 2、若Ω由曲面及222y x z --=
2
2y x z +=所围,将⎰⎰⎰Ω
zdv 表为柱面坐标下的三次积分_________,其值为_______.
3、若空间区域Ω为二曲面az y x =+2
2及2
22y x a z +-
=所围,则其体积可表为三重积分_______________;或二重积分
____________;或柱面坐标下的三次积分___________________. 4、若由不等式2
2
2
2
)(a a z y x ≤-++,2
2
2
z y x ≤+所确定,将⎰⎰⎰Ω
zdv 表为球面坐标下的三次积分为_________；其值为_______
二、计算下列三重积分: 1、⎰⎰⎰Ω
+dv y x )(22,其中Ω是由曲面=24z )(252
2y x +及平面z=5所围成的闭区域.
2、
⎰⎰⎰Ω
+dv y x )(2
2,其中Ω由不等式0,02
22≥≤++≤
<z A z y x a 所确定.
3、⎰⎰⎰Ω++dxdydz c z
b y
a x
)(2
2
22
22
,其中=Ω⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≤++1),,(22
2222c z
b y a x z y x . 三、求曲面225y x z --=
及z y x 42
2=+所围成的立体的体积.
四、曲面2
2
2
4a az y x =++将球体az z y x 42
2
2
≤++分成两部分,试求两部分的体积之比. 五、求由曲面,0,,2
2
==++=x a y x y x z 0,0==z y 所围成立体的重心(设密度1=ρ). 六、求半径为a,高为h 的均匀圆柱体对于过中心而垂直于母线的轴的转动惯量 (设密度)1=ρ. 答案 一、1、⎰
⎰
⎰--+----2
22
22
2
16)
(3442
2
),,(y x y x x
x
dz z y x f dy dx ⎰
⎰
⎰
+--------+
)
(316442
2
2
22
2
2
2
),,(y x y
x x
x dz z y x f dy dx ,
⎰
⎰
⎰
-2
1632
20
),sin ,cos (r r
dz z r r f rdr
d θθθ
π
⎰
⎰
⎰
---+
r
r
dz z r r f rdr
d 3162
20
2
),sin ,cos (θθθ
π
,
⎰⎰⎰
40
60
20
,cos sin (θϕϕθπ
π
r f d d dr r r r ϕϕθϕsin )cos ,sin sin 2
⎰⎰
⎰
+
4
6
520
,cos sin (θϕϕθ
π
π
πr f d d dr r r r ϕϕθϕsin )cos ,sin sin 2
；
2、
⎰
⎰⎰-2
2
21
20r
r
zdz rdr
d π
θ,
12
7π； 3、
⎰⎰⎰Ω
dv ,⎰⎰+-
+-
D
dxdy a
y x y x a )2(2
22
2,⎰
⎰
⎰
-r
a a
r
a
dz rdr
d 20
20
2
π
θ
；
4、
4
cos 20
3
40
20
6
7,
cos sin a dr r d d a πϕϕϕθϕ
π
π
⎰
⎰⎰
.
二、1、π8； 2、
)(15
45
5a A -π； 3、
abc π5
4.三、)455(3
2
-π.四、
2737
6
27637
3
3
21
=
=a a
V V ππ. 五、)30
7,
5
2,
5
2(
2
a a a .六、
)3
(4
2
2
h
a M +
(其中ρπh a M 2
=为圆柱体的质量).。