2019高考数学(理科)二轮专题小题提速练(四)(带答案)

小题提速练(四)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．设集合A ＝{x|y ＝lg (x 2＋3x －4)}，B ＝{y|y ＝21－x 2}，则A ∩B ＝( )
A ．(0，2]
B ．(1，2]
C ．[2，4)
D ．(－4，0)
解析：选B .∵A ＝{x|x 2＋3x －4＞0}＝{x|x ＞1或x ＜－4}，B ＝{y|0＜y ≤2}，∴A ∩B ＝(1，2]，故选B . 2．已知复数z 满足z(1－i )2＝1＋i (i 为虚数单位)，则|z|为( ) A .12
B ．
22
C . 2
D ．1
解析：选B .解法一：因为复数z 满足z(1－i )2＝1＋i ，所以
z ＝1＋i
（1－i ）2＝1＋i －2i ＝－12＋12i ，所以|z|＝2
2
，故选B .
解法二：因为复数z 满足
z(1－i )2＝1＋i ，所以|z|＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪1＋i （1－i ）2＝|1＋i ||1－i |2＝2
2，故选B . 3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A ．y ＝－x 3
B ．y ＝ln |x|
C ．y ＝cos x
D ．y ＝2－|x|
解析：选D .显然函数y ＝2－|x|是偶函数，当
x ＞0
时，y ＝2－|x|＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
在区间(0，＋∞)上是减函数．故选D .
4．命题“∀x ＞0，x
x －1
＞0”的否定是( )
A ．∃x ＜0，
x
x －1
≤0 B ．∃x ＞0，0≤x ≤1
C．∀x＞0
，
x
x－1
≤0 D．∀x＜0，0≤x≤1
解析：选B.∵
x
x－1
＞0，∴x＜0或x＞1，∴
x
x－1
＞0的否定是0≤x≤1，∴命题的否定是∃x＞0，0≤x≤1，故选B.
5．某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为42的样本，则分别应抽取老年人、中年人、青年人的人数是( ) A．7，11，18 B．6，12，18
C．6，13，17 D．7，14，21
解析：选D.因为该单位共有27＋54＋81＝162(人)，样本容量为42，所以应当按
42
162
＝
7
27
的比例分别从老年人、中年人、青年人中抽取样本，且分别应抽取的人数是7、14、21，选D.
6．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成的三棱锥C ABD 的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为( )
A.
1
2
B．
2
2
C.
2
4
D．
1
4
解析：选D.由三棱锥C ABD的正视图、俯视图得三棱锥C ABD的侧视图为直角边长是
2
2
的等腰直角三角形，如图所示，所以三棱锥C ABD的侧视图的面积为
1
4
，故选D.
7．已知平面上的单位向量e1与e2的起点均为坐标原点O，它们的夹角为
π
3
.平面区域D由所有满足OP→＝
λe1＋μe2的点P组成，其中
⎩⎪
⎨
⎪⎧λ＋μ≤1，
0≤λ，
0≤μ，
那么平面区域D的面积为( )
A.12 B ． 3
C.32 D ．34
解析：选D.建立如图所示的平面直角坐标系，不妨令单位向量e 1＝(1，0)，e 2
⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋μ
2，
y ＝3μ2，
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫12，32，设向量OP →＝(x ，y )，因为OP →＝λe 1＋μe 2，所以即⎩⎪⎨
⎪
⎧λ＝x －3y 3
，
μ＝23y 3，
因为⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，λ≥0，μ≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤3，3x －y ≥0，y ≥0
表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，所以
平面区域D 的面积为S ＝12×1×32＝3
4
，故选D.
8．函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(
A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0，
⎭⎪⎫
|φ|≤π2的部分图象如图所示，若方程f (x )＝a 在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π2上有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是
( )
A.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫22，2 B ．⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－22，2
C.⎣⎢⎢⎡⎭
⎪⎪⎫－62，2 D ．⎣⎢⎢⎡⎭
⎪⎪⎫62，2
解析：选B.由函数f (x )的部分图象可得，T 4＝7π12－π3＝π
4，∴函数f (x )的最小正周期为π，最小值为－
2，
所以A ＝
2，ω＝2π
π
＝2，所以f (x )＝
2sin(2x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2的坐标代入得，sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
7π6＋φ＝－1，因为|φ|≤π2，所以φ＝π
3
，所以f (x )＝
2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x ＋π3.若f (x )＝a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π2上有两个不等的实根，即在⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤－π4，π2函数f (x )的图象与直线y ＝a 有两个不同的交点，结合图象(略)，得－2
2
≤a ＜
2，故选B.
9．已知(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2的值为( )
A ．39
B ．310
C ．311
D ．312
解析：选D.对(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9两边同时求导，得9(x ＋2)8＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋8a 8x 7
＋9a 9x 8，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9＝310，令x ＝－1，得a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9＝32.所以(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2＝(a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9)(a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9)＝312，故选D.
10．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1，过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行直线，则该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积为( )
A.2
4 B ．
22
C.28
D ．
216
解析：选C.设双曲线C 1的左顶点为A ，则A ⎝ ⎛⎭
⎪
⎪⎫－22，0，双曲线的渐近线方程为y ＝±
2x ，不妨设题
中过点A 的直线与渐近线y ＝
2x 平行，则该直线的方程为
y ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫x ＋
22，即y ＝
2x ＋1.联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－ 2x ，
y ＝2x ＋1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2
4，y ＝12.
所以该直线与另一条渐近线
及x 轴所围成的三角形的面积S ＝12|OA |·12＝12×22×12＝2
8
，故选C.
11．在球O 内任取一点P ，则点P 在球O 的内接正四面体中的概率是( ) A.1
12π
B ．3
12π
C.2 39π
D ．36π
解析：选C.设球O 的半径为R ，球O 的内接正四面体的棱长为 2a ，所以正四面体的高为
2
33
a ，所以
R 2＝
⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫63a 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫23a 3－R 2，
即3a ＝2R ，所以正四面体的棱长为26R 3，底面面积为12×26R 3×2R ＝
233R 2，高为
4R 3，所以正四面体的体积为8 327R 3，又球O 的体积为4π
3
R 3，所以P 点在球O 的内接正四面体中的
概率为2 3
9π
，故选C.
12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
－1，x ＜2，a n ＝f (n )(n ∈N *
)，若数列{a n }是单调递减数列，则实数a 的取值范
围为( )
A ．(－∞，2)
B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫
－∞，74
C.⎝
⎛⎦⎥⎤
－∞，138
D ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
138，2
解析：选B.∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
－1，x ＜2，
∴a n ＝f (n )＝⎩⎪⎨⎪
⎧（a －2）n ，n ≥2，
－12
，n ＝1，∵数列{a n }是单调递减数列，
∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，
－12
＞2a －4，
解得a ＜74，故选B.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是________________________________________________________________________．
解析：记题中圆的圆心为O，则O(1，0)，因为P(2，－1)是弦AB的中点，所以直线AB与直线OP垂直，易知直线OP的斜率为－1，所以直线AB的斜率为1，故直线AB的方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0.
答案：x－y－3＝0
14．某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表：
货物体积(升/件)重量(千克/件)利润(元/件)
甲20108
乙102010
运输限制110100
解析：设该货运员运送甲种货物x件，乙种货物y件，获得的利润为z元，则由题意得
⎩⎪
⎨
⎪⎧20x＋10y≤110，
10x＋20y≤100，
x∈N，
y∈N，
即
⎩⎪
⎨
⎪⎧2x＋y≤11，
x＋2y≤10，
x∈N，
y∈N，
z＝8x＋10y，作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，结合图象可知，当直线z＝8x＋10y经过点A(4，3)时，目标函数z＝8x＋10y取得最小值，z min＝62，所以获得的最大利润为62元．
答案：62
15．已知0＜x＜
3
2
，则y＝
2
x＋
9
3－2x
的最小值为________．
解析：解法一：∵y＝
2
x＋
9
3－2x
＝
5x＋6
x（3－2x），设5
x＋6＝t，则x＝
t－6
5
，∵0＜x＜
2
3
，∴6＜t＜
28
3
，∴y＝
5x ＋6
x （3－2x ）＝
25t
－2t 2＋39t －162
＝
25
－2⎝
⎛⎭⎪⎫t ＋81t ＋39
⎝
⎛⎭⎪⎫
6＜t ＜283，
记f (t )＝t ＋81t ⎝ ⎛
⎭⎪⎫6＜t ＜283，易知f (t )在(6，9)上是减函数，在⎣
⎢⎡⎭⎪⎫9，283上是增函数，∴当t ＝9时函数f (t )＝
t ＋81
t
取得最小值，最小值为18，∴当t ＝9时函数y ＝
25
－2⎝
⎛⎭
⎪⎫t ＋81t ＋39
取得最小值，最小值为25
3.
解法二：y ＝4
2x ＋9
3－2x ＝1
3[2x ＋(3－2x )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫42x ＋
93－2x ＝13⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13＋18x 3－2x ＋4（3－2x ）2x ≥13⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤13＋2
18x 3－2x ·4（3－2x ）2x ＝253(当且仅当18x 3－2x ＝4（3－2x ）2x 即x ＝35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时取等号)． 答案：253
16．已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2(a ＞0)，若对任意两个不相等的正实数x 1，x 2，都有f （x 1）－f （x 2）
x 1－x 2
＞2
恒成立，则a 的取值范围是________．
解析：因为x 1≠x 2，所以
f （x 1）－f （x 2）
x 1－x 2
表示函数f (x )图象上任意两点的连线的斜率，若对任意两个不相
等的正实数x 1，x 2，都有
f （x 1）－f （x 2）
x 1－x 2
＞2恒成立，则f ′(x )＝x ＋a x
≥2(a ＞0)对任意正实数x 恒成立，又x
＋a x
≥2
a ，所以2 a ≥2，所以a ≥1.
答案：a ≥1。