备战中考数学专题复习圆与相似的综合题附详细答案

备战中考数学专题复习圆与相似的综合题附详细答案

一、相似

1．如图，在中，，点M是AC的中点，以AB为直径作

分别交于点．

（1）求证：；

（2）填空：

若，当时， ________；

连接，当的度数为________时，四边形ODME是菱形．

【答案】（1）证明：∵∠ABC=90°，AM=MC，∴BM=AM=MC，∴∠A=∠ABM．∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠ADE+∠ABE=180°，又∠ADE+∠MDE=180°，∴∠MDE=∠MBA，同理证明：∠MED=∠A，∴∠MDE=∠MED，∴MD=ME

（2）2；

【解析】【解答】解：(2)①由（1）可知，∠A=∠MDE，∴DE∥AB，∴ =

．∵AD=2DM，∴DM：MA=1：3，∴DE= AB= ×6=2．

故答案为：2．

②当∠A=60°时，四边形ODME是菱形．理由如下：

连接OD、OE．

∵OA=OD，∠A=60°，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD=60°．∵DE∥AB，∴∠ODE=∠AOD=60°，∠MDE=∠MED=∠A=60°，∴△ODE，△DEM都是等边三角形，∴OD=OE=EM=DM，∴四边形OEMD是菱形．

故答案为：60°．

【分析】（1）要证MD=ME，只须证∠MDE=∠MED即可。根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=AM=MC，则∠A=∠ABM，由圆内接四边形的性质易得∠MED=∠A，∠MDE=∠MBA，所以可得∠MDE=∠MED；

（2）①由（1）易证得DE∥AB，可得比例式，结合①中的已知条件即可求解；

②当∠A=60°时，四边形ODME是菱形．理由如下：连接OD、OE，由题意易得△ODE，△DEM都是等边三角形，所以可得OD=OE=EM=DM，由菱形的判定即可求解。

2．

（1）问题发现

如图1，四边形ABCD为矩形，AB=a，BC=b，点P在矩形ABCD的对角线AC上，Rt△PEF

的两条直角边PE，PF分别交BC，DC于点M，N，当PM⊥BC，PN⊥CD时， =________（用含a，b的代数式表示）．

（2）拓展探究

在（1）中，固定点P，使△PEF绕点P旋转，如图2，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

（3）问题解决

如图3，四边形ABCD为正方形，AB=BC=a，点P在对角线AC上，M，N分别在BC，CD 上，PM⊥PN，当AP=nPC时，（n是正实数），直接写出四边形PMCN的面积是________（用含n，a的代数式表示）

【答案】（1）

（2）解：如图3，过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，

则∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90°

∵Rt△PEF中，∠FPE=90°

∴∠GPM=∠HPN

∴△PGM∽△PHN

∴

由PG∥AB，PH∥AD可得， ,

∵AB=a，BC=b

∴，即 ,

∴，

故答案为

（3）

【解析】【解答解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AB⊥BC，

∵PM⊥BC，

∴△PMC∽△ABC

∴

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BCD=90°，

∵PM⊥BC，PN⊥CD，

∴∠PMC=∠PNC=90°=∠BCD，

∴四边形CNPM是矩形，

∴CM=PN，

∴，

故答案为；

（ 3 ）∵PM⊥BC，AB⊥BC

∴△PMC∽△ABC

∴

当AP=nPC时（n是正实数），

∴PM= a

∴四边形PMCN的面积= ，

故答案为：．

【分析】（1）由题意易得△PMC∽△ABC，可得比例式，由矩形的性质可得CM=PN，则结论可得证；

（2）过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，由辅助线和已知条件易得△PGM∽△PHN，则得比例式，由（1）可得比例式，即比值不变；

（3）由（2）的方法可得，则四边形PMCN的面积= .

3．如图,在一个长40 m、宽30 m的矩形小操场上,王刚从A点出发,沿着A→B→C的路线以3 m/s的速度跑向C地.当他出发4 s后,张华有东西需要交给他,就从A地出发沿王刚走的路

线追赶,当张华跑到距B地2 m的D处时,他和王刚在阳光下的影子恰好落在一条直线上.

（1）此时两人相距多少米(DE的长)?

（2）张华追赶王刚的速度是多少?

【答案】（1）解：在Rt△ABC中：

∵AB=40，BC=30，

∴AC=50 m.

由题意可得DE∥AC，

∴Rt△BDE∽Rt△BAC，

∴ = ，

即 = .

解得DE= m.

答：此时两人相距 m.

（2）解：在Rt△BDE中：

∵DB=2，DE=，

∴BE=2 m.

∴王刚走的总路程为AB+BE=42 m.

∴王刚走这段路程用的时间为 =14(s).

∴张华用的时间为14-4=10(s)，

∵张华走的总路程为AD=AB-BD=40-2=37（m）,

∴张华追赶王刚的速度是37÷10≈3.7（m/s）.

答：张华追赶王刚的速度约是3.7m/s.

【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC=50 m，利用平行投影的性质得DE∥AC，再利用相似三角形的性质得出对应边的比相等可求得DE长.

（2）在Rt△BDE中,根据勾股定理得BE=2 m，根据题意得王刚走的总路程为42 m，根据时间=路程÷速度求得王刚用的时间，减去4即为张华用的时间，

再根据速度=路程÷时间解之即可得出答案.

4．正方形ABCD的边长为6cm，点E，M分别是线段BD，AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N.

（1）如图①，若点M与点D重合，求证：AF＝MN；

（2）如图②，若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B 出发，以 cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为ts.

①设BF＝ycm，求y关于t的函数表达式；

②当BN＝2AN时，连接FN，求FN的长．

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴AD＝AB，∠DAN＝∠FBA＝90°.

∵MN⊥AF，

∴∠NAH＋∠ANH＝90°.

∵∠NDA＋∠ANH＝90°，

∴∠NAH＝∠NDA，

∴△ABF≌△MAN，

∴AF＝MN.

（2）解：①∵四边形ABCD为正方形，

∴AD∥BF，

∴∠ADE＝∠FBE.

∵∠AED＝∠BEF，

∴△EBF∽△EDA，

∴＝ .

∵四边形ABCD为正方形，

∴AD＝DC＝CB＝6cm，