人教版高中数学必修一《函数的应用》章末复习提升学案

知识点一函数的零点
1.对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
2.方程的根与函数的零点的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
3.函数的零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.
(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]内若不连续，则f(a)·f(b)＜0与函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点个数没有关系(即：零点存在定理仅对连续函数适用).
(2)连续函数y＝f(x)若满足f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内至少有一个零点；反过来，函数y ＝f(x)在区间(a，b)内有零点不一定使f(a)·f(b)＜0成立，若y＝f(x)为单调函数，则一定有f(a)·f(b)＜0.
知识点二二分法
二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验.
知识点三函数的应用
解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力.一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面.求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为
题型一 函数的零点
根据函数零点的定义，函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有根，有几个根.从图形上说，函数的零点就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图象与x 轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题.在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的重视. 例1 在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A.(－1
4，0)
B.(0，14)
C.(14，12)
D.(12，34
) 答案 C
解析 ∵f (－1
4
)＝e 41
-－4<0，f (0)＝e 0＋4×0－3＝－2<0，
f (14)＝e 41－2<0，f (12)＝e 21－1>0，f (3
4)＝e 43
>0， ∴f (14)·f (12
)<0.
跟踪训练1 设函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2
的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案 B
解析 设g (x )＝x 3－22－
x ，则g (0)＝－4，g (1)＝－1，
g (2)＝7，g (3)＝26 12，g (4)＝63 34
，
显然g (1)·g (2)＜0，于是函数g (x )的零点在(1,2)内， 即y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2
的图象的交点在(1,2)内. 题型二 函数模型及应用
针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画.这当然需要我们深刻理解基本函数的图象和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰的认识.对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，
也有的是以图象的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果.
例2 某上市股票在30天内每股的交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )，点(t ，P )落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示：
(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式； (2)根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式；
(3)用y 表示该股票日交易额(万元)，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？
解 (1)由图象知，前20天满足的是递增的直线方程，且过两点(0,2)，(20,6)，容易求得直线方程为P ＝1
5
t ＋2；
从20天到30天满足递减的直线方程，且过两点(20,6)，(30,5)，求得方程为P ＝－1
10t ＋8，
故P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式为：
P ＝⎩⎨⎧
1
5
t ＋2，0≤t ≤20，t ∈N *，－1
10t ＋8，20＜t ≤30，t ∈N *
.
(2)由图表，易知Q 与t 满足一次函数关系， 即Q ＝－t ＋40,0≤t ≤30，t ∈N *. (3)由(1)(2)可知
y ＝⎩⎨
⎧ ⎝⎛⎭⎫
1
5t ＋2(－t ＋40)，0≤t ≤20，t ∈N *
，⎝⎛⎭
⎫－110t ＋8(－t ＋40)，20＜t ≤30，t ∈N *
＝⎩⎨⎧
－1
5(t －15)2
＋125，0≤t ≤20，t ∈N *
，1
10(t －60)2
－40，20＜t ≤30，t ∈N *
.
当0≤t ≤20，t ＝15时，y max ＝125，
当20<t ≤30时，y 随t 的增大而减小.
所以，在30天中的第15天，日交易额的最大值为125万元.
跟踪训练2 某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系用如图所示的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间的函数关系是Q ＝－t ＋40 (0<t ≤30，t ∈N *). (1)根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P 与时间t 的函数关系式；
(2)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量) 解 (1)根据图象，可得
P ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
t ＋20，0<t <25，t ∈N *
，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N *. (2)设日销售额为y 元，则y ＝P ·Q
＝⎩⎪⎨⎪⎧
(t ＋20)(－t ＋40)，0<t <25，t ∈N *
，(－t ＋100)(－t ＋40)，25≤t ≤30，t ∈N *
， 即有y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－(t －10)2＋900，0<t ≤24，t ∈N *
，
(t －70)2－900，25≤t ≤30，t ∈N *
. ①若0<t <25，t ∈N *，则当t ＝10时，y max ＝900； ②若25≤t ≤30，t ∈N *，则当t ＝25时，y max ＝1 125. 故第25天的日销售金额最大，最大值为1 125元.
数形结合思想
在解数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，就是使抽象思维和形象思维联系在一起，实现抽象概念与具体图象之间的相互转化，即数量关系转化为图形的性质或者把图形的性质转化为数量关系来研究.
例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x ，x ≥2，(x －1)3，x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则k 的
取值范围是______.
解析 易知函数f (x )的图象如图所示：
由图可知0<k <1. 答案 0<k <1
跟踪训练3 已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( ) A.x 1>x 2>x 3 B.x 2>x 1>x 3 C.x 1>x 3>x 2 D.x 3>x 2>x 1
答案 D
解析 在同一坐标系内分别画出⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝－x ，
y ＝2x
，⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝－x ，
y ＝ln x ， 和⎩⎨⎧
y ＝－x ，
y ＝－x －1
的图象，
由图可知每组中的两图象各有一个交点，它们的横坐标就是三个函数的零点，由图可知：x 3>x 2>x 1，故选D.
转化与化归思想
转化是将数学命题由一种形式转向另一种形式的转换过程；化归是将待解决的问题通过某种转化的过程，归结为一类已解决或比较容易解决的问题.在解决函数问题时，常进行数与形或数与数的转化，从而达到解决问题的目的.
例4 设a ∈R ，试讨论关于x 的方程lg(x －1)＋lg(3－x )＝lg(a －x )的实根的个数. 解 原方程等价于
⎩⎪⎨⎪⎧
x －1>0，3－x >0，a －x >0，(x －1)(3－x )＝a －x ，
⇒⎩⎪⎨⎪
⎧
x －1>0，3－x >0，(x －1)(3－x )＝a －x ， 整理得－x 2＋5x －3＝a (1<x <3).
在同一平面直角坐标系中分别作出函数y ＝a ，及y ＝－x 2＋5x －3，x ∈(1,3)的图象，如图所示.
(1)当a >13
4或a ≤1时，两个函数的图象无交点，故原方程无实数根；
(2)当a ＝13
4或1<a ≤3时，两个函数的图象有一个交点，故原方程有一
个实数根；
(3)当3<a <13
4
时，两个函数的图象有两个交点，故原方程有两个实数根.
跟踪训练4 当a 为何值时，函数y ＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2的一个零点在区间(0,1)上，另一个零点在区间(1,2)上？
解 已知函数对应的方程为7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0，
函数的大致图象如图所示.根据方程的根与函数的零点的关系，方程的根一个在(0,1)上，另一个在(1,2)上，则： ⎩⎪⎨⎪
⎧
f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＞0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
－a －2＞0，a 2
－2a －8＜0，a 2－3a ＞0，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＜－1或a ＞2，－2＜a ＜4，
a ＜0或a ＞3，
∴－2＜a ＜－1或3＜a ＜
4.。